数值分析实验中的病态问题

——病态问题

实验1.1病态问题

实验目的：算法有“优”和“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别，对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感，反正属于好问题。 问题提出：

考虑一个高次的代数多项式

p(x)(x1)(x2)(x20)(xk)

k120显然该多项式的全部根为1，2，„„，20，共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动

p(x)x190，

其中，ε是一个非常小的数，这相当于是对方程中的x19的系数做一个小的扰动，比较两个方程根的差别，从而分析方程的解对扰动的敏感性。

function t_charp1_1

%数值实验1.1变态问题

%输入：[0 20]之间的扰动项及小的扰动常数 %输出：加扰动都得到的全部根 clc

result=inputdlg({'请输入扰动项：在[0 20]之间的整数：'},'charpt 1-1',1,{'19'});

Numb=str2num(char(result));

if((Numb>20)|(Numb<0)) errordlg('请输入正确的扰动项:[0 20]之间的整数!');return;end

result=inputdlg({'请输入（0 1）间的扰动常数：'},'charpt 1_1',1,{'0.00001'});

ess=str2num(char(result)); ve=zeros(1,21); ve(21-Numb)=ess;

root=roots(poly(1:20)+ve);

disp(['对扰动项',num2str(Numb),'加扰动',num2str(ess),'得到的全部根为：']);

disp(num2str(root));

结果分析：

请输入扰动项：在[0 20]之间的整数：19 请输入（0 1）间的扰动常数：0.00001 对扰动项19加扰动1e-005得到的全部根为：

22.5961+2.3083i 22.5961-2.3083i 18.8972+5.00563i 18.8972-5.00563i 14.9123+4.95848i 14.9123-4.95848i 12.0289+3.73551i 12.0289-3.73551i 10.059+2.33019i 10.059-2.33019i 8.63833+1.05643i 8.63833-1.05643i 7.70881+0i 7.02809+0i 5.99941+0i 5.00001+0i 4+0i 3+0i

2+0i 1+0i

请输入扰动项：在[0 20]之间的整数：14 请输入（0 1）间的扰动常数：0.00001 对扰动项14加扰动1e-005得到的全部根为： 20 19.0003 17.998 17.0062 15.9879 15.0149 13.9885 13.0046 12.0009 10.9976 10.0017 8.99932 8.00017 6.99997 6 5

4 3 2 1

请输入扰动项：在[0 20]之间的整数：13 请输入（0 1）间的扰动常数：0.00001 对扰动项13加扰动1e-005得到的全部根为：

20.0002 18.9987 18.0038 16.9952 15.9995 15.0117 13.9791 13.0207 11.9868 11.0058 9.99846 9.00018 8.00004 6.99998 6 5 4 3

2 1

请输入扰动项：在[0 20]之间的整数：1 请输入（0 1）间的扰动常数：0.00001 对扰动项1加扰动1e-005得到的全部根为：

20.0002 18.9987 18.0038 16.9952 15.9995 15.0117 13.9791 13.0207 11.9868 11.0058 9.99846 9.00018 8.00004 6.99998 6 5 4 3 2 1

结果分析：

如图1、2所示，由上述结果可以看出，对加相同的干扰值ε在X的不同项上与不加干扰得到的结果相比可以看出，对扰动项x19加扰动1e-005得到的全部根、对扰动项x14加扰动1e-005得到的全部根与没有加扰动时的结果相比，相差较大，而且对扰动项x19加1e-005的结果干扰较大。从对扰动项13加扰动1e-005得到的全部根、对扰动项1加扰动1e-005得到的全部根与不加扰动时的结果相比,与不加干扰时的结果相同，可以看出以加在干扰项的次数越低对结果的干扰影响越小，由于计算的精度问题。可以看出到加到13项时对结果基本没有影响。

虽然加的干扰很小，但是，加在不同的项上，对结果的影响也会相差也会不同，而且，从结果中可以看出，对数值较大的计算结果影响较大，而对于数值较小的影响会很小，甚至没有影响。

图1、Y轴为计算结果的虚部

图2、Y轴为计算结果的实部

对扰动项19加扰动1e-008得到的全部根 为：

19.8692+0.482991i 19.8692-0.482991i 17.8767+1.52568i 17.8767-1.52568i 15.4031+1.75072i 15.4031-1.75072i 13.1302+1.27959i 13.1302-1.27959i 11.2511+0.480634i 11.2511-0.480634i 9.93016+0i 9.01013+0i 7.99898+0i 7.0001+0i 5.99999+0i 5+0i 4+0i 3+0i 2+0i 1+0i

对扰动项19加扰动1e-013得到的全部根为：

20.0002 18.9977 18.012 16.9595 16.0801 14.8639 14.1504 12.8767 12.0873 10.9597 10.0163 8.99534 8.00102 6.99984 6.00002 5 4 3 2 1

对扰动项19加扰动1e-014得到的全部根为：

20.0002 18.9987 18.0038 16.9952 15.9995 15.0117 13.9791 13.0207 11.9868 11.0058 9.99846 9.00018 8.00004 6.99998 6 5 4 3 2 1

对扰动项19加扰动1e-023得到的全部根为：

20.0002 18.9987 18.0038 16.9952 15.9995 15.0117 13.9791 13.0207 11.9868 11.0058 9.99846 9.00018 8.00004 6.99998 6 5 4 3 2 1

结果分析：

由上述结果可以看出，加在相同扰动项上的干扰越大对计算结果影响越大，对扰动项19加扰动1e-008得到的全部根可以看出此时对计算结果影响最大，而当干扰减小时，计算结果越来越接近没受干扰时的计算结果。从数据和图形看出，计算结果越大，扰动对它的影响越大，对计算结果较小的数值几乎没有影响。

图3、Y轴为计算结果的实部

图2、Y轴为计算结果的虚部