初三 相似三角形综合复习

个性化教学辅导教案

学科：数学 年级：九年级 任课教师： 授课时间： 2017 年 秋季班 第20周 教学 课题 教学 目标 教学 重难点 查漏补缺 查漏补缺 相似三角形综合复习 教学过程 【知识要点】 1、成比例线段

概念：像这样，对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比， 如：（或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。 基本性质：如果

acabcdacabcd，那么；如果ad=bc， ad=bcbdbdbdbd合比性质：

acabcd bdbdacemace...ma...(bdfn0)，那么． bdfnbdf...nb等比性质：如果

注意：(1)此性质的证明运用了“设k法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．

(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．

(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再用等比性质也成立． 2、平行线分线段成比例定理

BCEFABDEABAC如下图，如果l1∥l2∥l3，则，，. ACDFACDFDEDFABCDEFl1l2l33、平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE∥BC，则ADAEDE ABACBCAEEAD4、平行的判定定理：如下图，如果有

5、相似多边形

ADAEDE，那么DE∥ BC ABACBCBDCBC定义：各角对应 各边对应 的两个多边形叫做相似多边形

1

相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比 相似图形：形状相同的图形称为相似图形 性质：⑴相似多边形对应角 对应边

⑵相似多边形周长的比等于 面积的比等于 6、相似多边形

如图：点C把线段AB分成两条线段AC和AB，如果

ACBC=ABAC那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。

【例题解析】

例1、（1）若

（2）已知

abacbck，（a,b,c都是实数），则k=______ cbaxyz2x3y4zxyz ②. 0，求下列各式的值：①

y5x3yz357

例2、如图，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC.求证：AE·CB＝AC·CF.

例3、如图，在矩形ABCD中，E是边CB延长线上的点，且EB＝AB，

DE与AB相交于点F，AD＝2，CD＝1，求AE及DF的长．

【课堂练习】

一、选择题 1．在比例尺为1∶5 000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25 cm，则甲、乙两地的实际距离是( )

A．1 250千米 B．125千米 C．12.5千米 D．1.25千米 2．a，b，c，d是四条线段，下列各组中这四条线段成比例的是( )

2

A．a＝2 cm，b＝5 cm，c＝5 cm，d＝10 cm B．a＝5 cm，b＝3 cm，c＝10 cm，d＝6 cm C．a＝30 cm，b＝2 cm，c＝0.8 cm，d＝2 cm D．a＝5 cm，b＝0.02 cm，c＝7 cm，d＝0.3 cm

a－bb5

3．已知＝，则的值是( )

a13a＋b

2A. 3

39B. C. 24

4

D. 9

4．下列结论不正确的是( )

A．所有的矩形都相似 B．所有的正方形都相似 C．所有的等腰直角三角形都相似 D．所有的正八边形都相似

5．一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则这个多边形的最短边长为( )

A．6 B．8 C．12 D．10

6．(上海中考)如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于( )

A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5

7．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列结论： AEBFADABEFDECEEA①＝；②＝；③＝；④＝. ECFCBFBCABBCCFBF其中正确比例式的个数有( )

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题

8．在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2 cm变成了6 cm，这次复印的放缩比例是________．

ace

9．若＝＝＝2，且b＋d＋f＝4，则a＋c＋e＝________．

bdf10．(漳州中考)如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，

AB2

B，C和点D，E，F，＝，DE＝6，则EF＝________．

BC3

11．已知三个数：1，2，3，请你添上一个数，使它们能构成一个比例式，则这个数是________________(只填一个)．

12．北京紫禁城是中国古代汉族宫廷建筑之精华．经测算发现，太和殿，中和殿，保和殿这三大殿的矩形宫院ABCD(北至保和殿，南至太和门，西至弘义阁，东至体仁阁)与三大殿下的工字形大台基所在的矩形区域EFGH为相似形．若比较宫院与台基之间的比例关系，可以发现接近于9∶5，取“九五至尊”之意．根据测量数据，三大殿台基的宽为40丈，请你估算三大殿宫院的宽为________丈．

三、解答题 13．如图，已知点C是线段AB上的点，D是AB延长线上的点，且AD∶BD＝3∶2，AB∶AC＝5∶3，AC＝3.6，求AD的长．

3

a＋ba－baa5

14．(1)已知＝2，求； (2)已知＝，求.

bbb2a＋b

15小华的父亲计划修建一个矩形草坪，按1∶100的比例尺画出了草坪图(如图)，他准备在草坪内栽种面积为0.02平方米的小矩形草皮，在草坪四周每隔50厘米种一株小杜鹃，你能帮助小华的父亲算算他需购买多少块小矩形草皮与多少株杜鹃吗？

16．如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC，求证：AF·BD＝AD·FD.

【知识要点】

1、相似三角形的判定：AA、SAS、SSS

2、一线三等角型（重要模型!!!）

EBACD

3、相似三角形的常见图形

（1）平行线型：若DE∥BC，则△ADE∽△ABC； （2）相交线型：若∠AED=∠B，则△AED∽△ABC；

4

（3）“子母”型：若∠ACD=∠B，则△ACD∽△ABC。

【例题解析】

例1、三点定型法

DCCF

如图，在▱ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F.求证：＝.

AEAD

例2、等线段代换法

如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，求证：BP2＝PE·PF.

例3、 等积代换法

AEAC如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：＝.

AFAB

例4、等比过渡法

如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.求证：(1)△DEF∽△BDE；(2)DG·DF＝DB·EF.

5

例5、两次相似法

如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于BFAB

E，交AD于F.求证：＝. BEBC

例6、相似三角形中的动点

如图1，已知，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=6，D在AB上，AD=1，在AC上找一点E，使△

AADE与△ABC相似，求出AE的长；

DB图1C【课堂练习】

一、选择题

1．下列说法不正确的是( )

A．两对应角相等的三角形是相似三角形 B．两对应边成比例的三角形是相似三角形 C．三边对应成比例的三角形是相似三角形 D．以上有两个说法是正确的 2．已知点P是线段AB的一个黄金分割点(AP＞PB)，则PB∶AB的值为( )

3－5A.

2

B.5－11＋5

C. 22

3－5

D.

4

3．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是( )

A．∠A＝55°，∠D＝35° B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8 C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8 D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9 4．如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列四个图中的三角形(阴影部分)与△EFG相似的是( )

5．(随州中考)如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是( )

A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C

6

ADACC.＝ AEAB

ADAED.＝ ABAC

6．如图，已知：△ABC、△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠D＝90°，两条直角边AB、AD重合，把AD绕点A逆时针旋转α角(0°＜α＜90°)，到如图所示的位置时，BC分别与AD、AE相交于点F、G，则图中共有________对相似三角形( )

A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题

7．一支铅笔长16 cm，把它按黄金分割后，较长部分涂上橘红色，较短部分涂上浅蓝色，那么橘红色部分的长是________cm，浅蓝色部分的长是________cm.(结果保留一位小数)

8．在△ABC中，AB＝6 cm，BC＝10 cm，AC＝12 cm，D为AC上点，E为AB上点，AD＝4 cm，当AE＝________cm时，△ADE∽△ABC.

9．顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD是三角形ABC的角平分线，那么BD＝________．

10．如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3 cm，BC＝6 cm.某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1 cm/s的速度向B点匀速运动；同时动点N从D点出发沿DA方向以2 cm/s的速度向A点匀速运动．若以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似，则运动的时间t为____________秒．

三、解答题

11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E.求证：AM2＝MD·ME.

12．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.求证：CE2＝DE·PE.

13．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：∠ABC＝________°，BC＝________；

7

(2)判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．

14．如图，在▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N.求证：

(1)△AMB∽△AND；(2)AMMN

AB＝AC

.

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