一、选择题
1． 下列推断错误的是（ ）
A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0” B．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________ C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题 D．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件
2． 已知函数f(x)2sin(x)(0小距离为
2)与y轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最
，则使f(xt)f(xt)0成立的t的最小值为（ ）1111] 22A． B． C． D．
36323． △ABC的外接圆圆心为O，半径为2，A．﹣3 B．﹣A．（1，+∞）
C．
D．3
D．（﹣∞，﹣1） +
+
=，且|
|=|
|，
在
方向上的投影为（ ）
4． 已知函数f（x）=2ax3﹣3x2+1，若 f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（ ）
B．（0，1） C．（﹣1，0）
5． 487被7除的余数为a（0≤a＜7），则A．4320 B．﹣4320
C．20
D．﹣20
展开式中x﹣的系数为（ ）
3
6． 如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（ ）
A．11 B．11.5 C．12 D．12.5
、
7． 在“唱响内江”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别
，则下列判断正确的是（ ）
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A．＜，乙比甲成绩稳定 B．＜，甲比乙成绩稳定
C．D．＞，甲比乙成绩稳定 ＞，乙比甲成绩稳定
8． 自主招生联盟成行于2009年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟．在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况，得到如下结果： ①报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟 ②报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟 ③报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联盟 ④不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟 根据上述调查结果，下列结论错误的是（ ） A．没有同时报考“华约” 和“卓越”联盟的学生 B．报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多 C．报考“北约” 联盟的考生也报考了“卓越”联盟
D．报考“京派” 联盟的考生也报考了“北约”联盟
9． 已知定义在区间[0，2]上的函数y=f（x）的图象如图所示，则y=f（2﹣x）的图象为（ ）
A． B． C． D．
10．与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（ ） A．（，1，1） B．（﹣1，﹣3，2） C．（﹣，，﹣1） D．（
11．已知函数f（x）=31+|x|﹣A．
12．已知等差数列{an}满足2a3﹣aA．2
B．4
C．8
D．16
+2a13=0，且数列{bn} 是等比数列，若b8=a8，则b4b12=（ ）
B．
，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（ ）
C．（﹣，） D．
，﹣3，﹣2
）
二、填空题
13．已知函数f(x)asinxcosxsinx___________．
21的一条对称轴方程为x，则函数f(x)的最大值为26第 2 页，共 16 页
【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．
14．数据﹣2，﹣1，0，1，2的方差是 ．
15．设曲线y=xn+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an=lgxn，则a1+a2+…+a99的值为 ．
16．设f（x）为奇函数，且在（﹣∞，0）上递减，f（﹣2）=0，则xf（x）＜0的解集为 ．
17．某辆汽车每次加油都把油箱加满，如表记录了该车相邻两次加油时的情况． 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） 35000 2015年5月1日 12 48 2015年5月15日 35600 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 升．
18．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动．现有下列命题：
①若点P总保持PA⊥BD1，则动点P的轨迹所在曲线是直线； ②若点P到点A的距离为
，则动点P的轨迹所在曲线是圆；
③若P满足∠MAP=∠MAC1，则动点P的轨迹所在曲线是椭圆；
④若P到直线BC与直线C1D1的距离比为1：2，则动点P的轨迹所在曲线是双曲线； ⑤若P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹所在曲线是抛物丝． 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
三、解答题
19．已知直线l经过两条直线2x+3y﹣14=0和x+2y﹣8=0的交点，且与直线2x﹣2y﹣5=0平行． （Ⅰ） 求直线l的方程；
（Ⅱ） 求点P（2，2）到直线l的距离．
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20．如图的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）．
（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（3）在所给直观图中连结BC′，证明：BC′∥面EFG．
21．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为建立极坐标系，圆C的极坐标方程为（1）写出圆C的直角坐标方程；
（2）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
22．一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分，现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆
32
上），设∠BOC=θ，直四棱柱木梁的体积为V（单位：m），侧面积为S（单位：m）．
为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴
．
（Ⅰ）分别求V与S关于θ的函数表达式； （Ⅱ）求侧面积S的最大值；
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（Ⅲ）求θ的值，使体积V最大．
23．已知函数f（x）=ax3+2x﹣a， （Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
*3
（Ⅱ）若a=n且n∈N，设xn是函数fn（x）=nx+2x﹣n的零点．
（i）证明：n≥2时存在唯一xn且
；
（i i）若bn=（1﹣xn）（1﹣xn+1），记Sn=b1+b2+…+bn，证明：Sn＜1．
24．已知函数f（x）=x|x﹣m|，x∈R．且f（4）=0 （1）求实数m的值．
（2）作出函数f（x）的图象，并根据图象写出f（x）的单调区间 （3）若方程f（x）=k有三个实数解，求实数k的取值范围．
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安平县高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
22
【解析】解：对于A，命题“若x﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x﹣3x+2≠0”，正确；
22
对于B，命题p：存在x0∈R，使得x0+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x+x+1≥0，正确；
对于C，若p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故C错误；
22
对于D，x﹣3x+2＞0⇒x＞2或x＜1，故“x＜1”是“x﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，正确．
综上所述，错误的选项为：C， 故选：C．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题的理解与应用，考查复合命题与充分必要条件的真假判断，属于中档题．
2． 【答案】A 【解析】
考
点：三角函数的图象性质． 3． 【答案】C
【解析】解：由题意，
++=，得到
=
；
，又||=||=||，△OAB是等边三角形，所以四边
形OCAB是边长为2的菱形， 所以
在
方向上的投影为ACcos30°=2×
故选C．
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【点评】本题考查了向量的投影；解得本题的关键是由题意，画出图形，明确四边形OBAC的形状，利用向量解答．
4． 【答案】D
2
【解析】解：若a=0，则函数f（x）=﹣3x+1，有两个零点，不满足条件． 2
若a≠0，函数的f（x）的导数f′（x）=6ax﹣6x=6ax（x﹣），
若 f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，
若a＞0，由f′（x）＞0得x＞或x＜0，此时函数单调递增， 由f′（x）＜0得0＜x＜，此时函数单调递减，
故函数在x=0处取得极大值f（0）=1＞0，在x=处取得极小值f（），若x0＞0，此时还存在一个小于0的零点，此时函数有两个零点，不满足条件． 若a＜0，由f′（x）＞0得＜x＜0，此时函数递增， 由f′（x）＜0得x＜或x＞0，此时函数单调递减，
即函数在x=0处取得极大值f（0）=1＞0，在x=处取得极小值f（）， 若存在唯一的零点x0，且x0＞0，
32
则f（）＞0，即2a（）﹣3（）+1＞0， 2
（）＜1，即﹣1＜＜0，
解得a＜﹣1， 故选：D
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【点评】本题主要考查函数零点的应用，求函数的导数，利用导数和极值之间的关系是解决本题的关键．注意分类讨论．
5． 【答案】B
解析：解：487=（49﹣1）7=∵487被7除的余数为a（0≤a＜7）， ∴a=6， ∴
展开式的通项为Tr+1=
，
﹣
+…+
﹣1，
令6﹣3r=﹣3，可得r=3， ∴
故选：B．.
6． 【答案】C
【解析】解：由题意，0.06×5+x×0.1=0.5，所以x为2，所以由图可估计样本重量的中位数是12． 故选：C．
7． 【答案】A
【解析】解：由茎叶图可知
=（75+86+88+88+93）=故选：A
【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据平均数和数据的稳定性是解决本题的关键．
8． 【答案】D
【解析】集合A表示报考“北约”联盟的学生，集合B表示报考“华约”联盟的学生， 集合C表示报考“京派”联盟的学生，集合D表示报考“卓越”联盟的学生，
=（77+76+88+90+94）==86，则
＜
，
，
展开式中x﹣的系数为
3
=﹣4320，
乙的成绩主要集中在88附近，乙比甲成绩稳定，
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ABADBCA 由题意得，∴BC， DCðDBDUðUDB选项A．BD，正确；
选项B．BC，正确； 选项C．AD，正确． 9． 【答案】A
B=C【解析】解：由（0，2）上的函数y=f（x）的图象可知f（x）=当0＜2﹣x＜1即1＜x＜2时，f（2﹣x）=2﹣x 当1≤2﹣x＜2即0＜x≤1时，f（2﹣x）=1 ∴y=f（2﹣x）=故选A．
10．【答案】C
【解析】解：对于C中的向量：（﹣，，﹣1）=﹣（1，﹣3，2）=﹣因此与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是故选：C．
【点评】本题考查了向量共线定理的应用，属于基础题．
11．【答案】A
【解析】解：函数f（x）=3当x≥0时，f（x）=3∵此时y=3
1+x
1+x
1+|x|
，根据一次函数的性质，结合选项可知，选项A正确
， ．
﹣
为偶函数，
﹣
为增函数，y=为减函数，
∴当x≥0时，f（x）为增函数， 则当x≤0时，f（x）为减函数， ∵f（x）＞f（2x﹣1）， ∴|x|＞|2x﹣1|， ∴x2＞（2x﹣1）2， 解得：x∈故选：A．
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数的单调性，难度中档．
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，
12．【答案】D
【解析】解：由等差数列的性质可得a3+a13=2a8，
2
即有a8=4a8，
解得a8=4（0舍去）， 即有b8=a8=4，
2
由等比数列的性质可得b4b12=b8=16．
故选：D．
二、填空题
13．【答案】1 【
解
析
】
14．【答案】 2 ．
【解析】解：∵数据﹣2，﹣1，0，1，2， ∴=
，
222222
∴S= [（﹣2﹣0）+（﹣1﹣0）+（0﹣0）+（1﹣0）+（2﹣0）]=2，
故答案为2；
【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数，是一道基础题；
15．【答案】 ﹣2 ．
n+1*
【解析】解：∵曲线y=x（n∈N），
n
∴y′=（n+1）x，∴f′（1）=n+1，
∴曲线y=x
n+1
*
（n∈N）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），
该切线与x轴的交点的横坐标为xn=∵an=lgxn，
∴an=lgn﹣lg（n+1）， ∴a1+a2+…+a99
，
=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+（lg4﹣lg5）+（lg5﹣lg6）+…+（lg99﹣lg100） =lg1﹣lg100=﹣2．
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故答案为：﹣2．
16．【答案】 （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
【解析】解：∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）上递减， ∴f（x）在（0，+∞）上递减，
由f（﹣2）=0，得f（﹣2）=﹣f（2）=0， 即f（2）=0，
由f（﹣0）=﹣f（0），得f（0）=0， 作出f（x）的草图，如图所示： 由图象，得xf（x）＜0⇔解得x＜﹣2或x＞2，
∴xf（x）＜0的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
或
，
17．【答案】 8 升．
【解析】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8．故答案是：8．
18．【答案】 ①②④
【解析】解：对于①，∵BD1⊥面AB1C，∴动点P的轨迹所在曲线是直线B1C，①正确； 对于②，满足到点A的距离为②正确；
对于③，满足条件∠MAP=∠MAC1 的点P应为以AM为轴，以AC1 为母线的圆锥，平面BB1C1C是一个与轴AM平行的平面，
又点P在BB1C1C所在的平面上，故P点轨迹所在曲线是双曲线一支，③错误； 对于④，P到直线C1D1 的距离，即到点C1的距离与到直线BC的距离比为2：1， ∴动点P的轨迹所在曲线是以C1 为焦点，以直线BC为准线的双曲线，④正确； 对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE⊥BC，EF⊥AD，PG⊥CC1，连接PF，
的点集是球，∴点P应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，
第 12 页，共 16 页
设点P坐标为（x，y，0），由|PF|=|PG|，得∴P点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误． 故答案为：①②④．
22
，即x﹣y=1，
【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）联立
，解得其交点坐标为（4，2）．…
因为直线l与直线2x﹣2y﹣5=0平行，所以直线l的斜率为1．… 所以直线l的方程为y﹣2=1×（x﹣4），即x﹣y﹣2=0．… （Ⅱ） 点P（2，2）到直线l的距离为
．…
【点评】本题考查直线方程的求法，点到直线距离公式的应用，考查计算能力．
20．【答案】 【解析】解：（1）如图
（2）它可以看成一个长方体截去一个小三棱锥，
3
设长方体体积为V1，小三棱锥的体积为V2，则根据图中所给条件得：V1=6×4×4=96cm，
V2=••2•2•2=cm3，
∴V=v1﹣v2=
cm3
（3）证明：如图，
第 13 页，共 16 页
在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，连接AD′，则AD′∥BC′
因为E，G分别为AA′，A′D′中点，所以AD′∥EG，从而EG∥BC′， 又EG⊂平面EFG，所以BC′∥平面EFG；
2016年4月26日
21．【答案】
【解析】解：（1）圆C的极坐标方程为（2）设P（3+∵C（0，∴|PC|=
），
=
，
，
t），
22
，可得直角坐标方程为x+y=22
，即x+（y﹣）
2
=3；
∴t=0时，P到圆心C的距离最小，P的直角坐标是（3，0）．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD） =10（2+4sin
+2cosθ）=20（cosθ+2sin
+1），θ∈（0，
），
），
梯形ABCD的面积SABCD=
﹣sinθ=sinθcosθ+sinθ，θ∈（0，
）；
体积V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，
第 14 页，共 16 页
（Ⅱ）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD）=10（2+4sin=20（cos设g（θ）=cos∴当sin 即θ=所以θ=
=，θ∈（0，
+1），θ∈（0，
），
+2sin
+2cosθ）
+1，g（θ）=﹣2sin2），
+2，
时，木梁的侧面积s最大． 时，木梁的侧面积s最大为40m．
2
2
（Ⅲ）V′（θ）=10（2cosθ+cosθ﹣1）=10（2cosθ﹣1）（cosθ+1）
令V′（θ）=0，得cosθ=，或cosθ=﹣1（舍）∵θ∈（0，当θ∈（0，当θ∈（∴当θ=
，
），∴θ=．
）时，＜cosθ＜1，V′（θ）＞0，V（θ）为增函数； ）时，0＜cosθ＜，V′（θ）＞0，V（θ）为减函数．
时，体积V最大．
23．【答案】
2
【解析】解：（Ⅰ）f'（x）=3ax+2，
若a≥0，则f'（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增； 若a＜0，令f'（x）＞0，∴函数f（x）的单调递增区间为
或
， 和
；
3
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）得，fn（x）=nx+2x﹣n在R上单调递增，
又fn（1）=n+2﹣n=2＞0， fn（=
2
当n≥2时，g（n）=n﹣n﹣1＞0，
）==
=﹣
，
，∴
n≥2时存在唯一xn且（i i）当n≥2时，∴∴
又f1（x）=x3+2x﹣1，
（零点的区间判定）
，（数列裂项求和） ，
，（函数法定界）
第 15 页，共 16 页
，又
∴∴
命题得证．
， ，
，（不等式放缩技巧）
【点评】本题主要考查了导数的求单调区间的方法和利用数列的裂项求和和不等式的放缩求和技巧解题，属于难题．
24．【答案】
【解析】解：（1）∵f（4）=0， ∴4|4﹣m|=0 ∴m=4，
（2）f（x）=x|x﹣4|=
图象如图所示：
由图象可知，函数在（﹣∞，2），（4，+∞）上单调递增，在（2，4）上单调递减． （3）方程f（x）=k的解的个数等价于函数y=f（x）与函数y=k的图象交点的个数， 由图可知k∈（0，4）．
第 16 页，共 16 页
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