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《二次函数的图象和性质》练习题

姓名： 班级： 一、选择题

1、下列函数中①y＝3x＋1；②y＝4x2－3x；③y42x2x;④y＝5－2x2，是二次函数的有（ ） A．② B．②③④ C．②③

D．②④

2、对于抛物线y＝ax2，下列说法中正确的是（ ） A．a越大，抛物线开口越大 B．a越小，抛物线开口越大 C．｜a｜越大，抛物线开口越大

D．｜a｜越小，抛物线开口越大

3、抛物线y＝－3x2－4的开口方向和顶点坐标分别是（ ） A．向下，(0，4) B．向下，(0，－4) C．向上，(0，4)

D．向上，(0，－4)

4、二次函数y＝ax2＋x＋1的图象必过点（ ） A．(0，a) B．(－1，－a) C．(－1，a)

D．(0，－a)

5、要得到抛物线y13(x4)2，可将抛物线y13x2（ ）

A．向上平移4个单位 B．向下平移4个单位 C．向右平移4个单位 D．向左平移4个单位

6、要得到y＝－2(x＋2)2－3的图象，需将抛物线y＝－2x2作如下平移（ ）

A．向右平移2个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移2个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移2个单位，再向上平移3个单位 D．向左平移2个单位，再向下平移3个单位

7、一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的解析式为（A．y＝－2(x－1)2＋3 B．y＝－2(x＋1)2＋3 C．y＝－(2x＋1)2＋3

D．y＝－(2x－1)2＋3

8．下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是（ ） A．y＝2x2与y＝3x2 B．y1x22与y2x2122

C．y＝2x2与y＝x2＋2 D．y＝x2与y＝x2－2．

9、抛物线y12x2x的顶点坐标是（ ） ）

1A．(1,)

2二、填空题。

1B．(1,)

2C．(,1)

12D．(1，0)

1、写出下列二次函数的a，b，c． (1)y3xx2 (2)y＝x2 (3)ya＝______，b＝______，c＝______． a＝______，b＝______，c＝______． a＝______，b＝______，c＝______． a＝______，b＝______，c＝______．

12x5x10 21(4)y6x2

32、已知函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数)．

(1)若它是二次函数，则系数应满足条件______．(2)若它是一次函数，则系数应满足条件______． (3)若它是正比例函数，则系数应满足条件______．

3、若二次函数y＝x2－2x＋a2－1的图象经过点(1，0)，则a的值为______．

4、抛物线y＝ax2＋bx＋c与y＝3－2x2的形状完全相同，只是位置不同，则a＝______． 5、二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的顶点坐标是 ，对称轴是 ， 当x＝ 时，y有最值 ；当a＞0时，若x 时，y随x增大而减小。 6、填表．

解析式 y＝(x－2)2－3 y＝－(x＋3)2＋2 开口方向 顶点坐标 对称轴 1y(x5)25 215y(x)21 32y＝3(x－2)2 y＝－3x2＋2

三、解答题。

1、已知抛物线y＝ax2经过点A(2，1)。

(1)求这个函数的解析式； (2)写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标； (3)求△OAB的面积。 2、抛物线y＝ax2＋bx＋c过(0，4)，(1，3)，(－1，4)三点，求抛物线的解析式．

．

3、、抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为(2，4)，且过(1，2)点，求抛物线的解析式．

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《二次函数的应用》中考题集锦

10题已知抛物线yx2mx2m2(m0)．

（1）求证：该抛物线与x轴有两个不同的交点；

（2）过点P(0，n)作y轴的垂线交该抛物线于点A和点B（点A在点P的左边），是否存在实数m，n，使得

，n满足的条件；若不存在，请说明理由． AP2PB？若存在，则求出m

答案：解：（1）证法1：

2m9yxmx2mxm2，

2422当m0时，抛物线顶点的纵坐标为92m0， 4顶点总在x轴的下方．

而该抛物线的开口向上，

该抛物线与x轴有两个不同的交点．

2m)在x轴下方，而该抛物线的开口向上，该抛物线与x轴有两（或者，当m0时，抛物线与y轴的交点(0，个不同的交点．）

2证法2 ：

m241(2m2)9m2，

当m0时，9m0，

2该抛物线与x轴有两个不同的交点．

（2）存在实数m，n，使得AP2PB．

设点B的坐标为(t，n)，由AP2PB知，

①当点B在点P的右边时，t0，点A的坐标为(2t，n)， 且t，2t是关于x的方程xmx2mn的两个实数根．

22y A P O B x 9m24(2m2n)9m24n0，即nm2．

42)tmn且t(2t)m（I），t(由（I）得，tm，即m0．

将tm代入（II）得，n0．

当m0且n0时，有AP2PB．

②当点B在点P的左边时，t0，点A的坐标为(2t，n)， 且t，2t是关于x的方程xmx2mn的两个实数根．

222（II）

y O x 9m24(2m2n)9m24n0，即 nm2．

4且t2tm（I），t2t2mn（II）

2A B P m，即m0． 3m2029将t代入（II）得，nm且满足nm2．

39420当m0且nm2时，有AP2PB

9由（I）得，t

第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S（米）与时间

的关系式为S10tt2，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（ ） Ａ．24米 Ｂ．12米 Ｃ．123米 答案：Ｂ

Ｄ．6米

t（秒）间

第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y（元）与上市时间t（天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z（元）与上市时间t（天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．

140 120 100 80 60 40 20 O 20 40 60 80 100 120 图(1)

160 y (天) 60 z(元) （180，92） 50 40 85 320 10 100 120 20 40 60 80 110 140 160 180 t(天)

140 160 150 180 t(天)

O 图(2)

（1）直接写出图（1）中表示的市场销售单价y（元）与上市时间t（天）（t0）的函数关系式； （2）求出图（2）中表示的种植成本单价z（元）与上市时间t（天）（t0）的函数关系式； （3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？ （说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）

答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：

23t160 (0t120)， y80 (120≤t150)，2t20 (150≤t≤180)．5（2）由题目已知条件可设za(t110)20． 图象过点(60，)，

2853851． a(60110)220．a33001． z(t110)220 (t0)300（3）设纯收益单价为W元，则W=销售单价成本单价．

122t160(t110)20 (0t120)，33001故W80 (t110)220 (120≤t150)，300122t20(t110)20 (150≤t≤180)．5300化简得

12(t10)100 (0t120)，3001W(t110)260 (120≤t150)，

30012300(t170)56 (150≤t≤180)．1(t10)2100(0t120)时，有t10时，W最大，最大值为100； 30012(t110)260(120≤t150)时，由图象知，有t120时，W最大，最大值为59； ②当W30031(t170)256(150≤t≤180)时，有t170时，W最大，最大值为56． ③当W300综上所述，在t10时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．

①当W

第13题如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点

6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． （1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取437）

（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取265）

2y 4 2 1 A O M B C D x

答案：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时， 抛物线的表达式为ya(x6)4．

y ．由已知：当x0时y1

即136a4，a1 ．121表达式为y(x6)24．

1212（或yxx1）

121（2）（3分）令y0， (x6)240．124 2 E1 A O M FNB C D x

． (x6)248．x1436≈13，x24360（舍去）

足球第一次落地距守门员约13米．

（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD

根据题意：CDEF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位）

21(x6)24解得x1626，x2626． 12 CDx1x246≈10．． BD1361017（米）

12解法二：令(x6)40．

12解得x1643（舍），x2643≈13．

点C坐标为（13，0）．

12设抛物线CND为y(xk)2．

12

将C点坐标代入得：1 (13k)220．12解得：k1132613（舍去）， k264326≈67518．1(x18)22 1212令y0，0(x18)2．

12y，x21826≈23． x11826（舍去）． BD23617（米）

解法三：由解法二知，k18， 所以CD2(1813)10， 所以BD(136)1017． 答：他应再向前跑17米．

第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元． （1）基地的菜农共修建大棚x（公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y（万元），写出y关于x的函数关系

式．

（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可） （3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．

答案：（1）y7.5x2.7x0.9x20.3x0.9x24.5x． （2）当0.9x4.5x5时，即9x45x500，x1从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建（3）设3年内每年的平均收益为Z（万元）

22105，x2

335公顷大棚． 32Z7.5x0.9x0.3x20.3x0.3x26.3x0.3x10.533.075（10分）

不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．

建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．

2③当0.3x6.3x0时，x10，x221．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条

即可）

第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．

（1）求出月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不必写x的取值范围）；

（2）求出月销售利润z（万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不必写x的取值范围）； （3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元．

答案：略．

第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系

（1）求抛物线的解析式；

（2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？

（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？

y

P A O B C x 答案：（1）由题意可知抛物线经过点A0，2，P4，6，B8，2

设抛物线的方程为yaxbxc 将A，P，D三点的坐标代入抛物线方程． 解得抛物线方程为y（2）令y4，则有212x2x2 412x2x24 4解得x1422，x2422

x2x1422

货车可以通过．

1（3）由（2）可知x2x1222

2货车可以通过．

第17题如图，在矩形ABCD中，线段EF10．在EF上取一点M，分别以EM，MF为一边作矩形EMNH、AB2AD，

矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD．令矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？

D H E A N C MNx，当x为何值时，

B G

M F

答案：解：矩形MFGN∽矩形ABCD，

MNMF． ADABAB2AD，MNx，

MF2x．

EMEFMF102x． Sx(102x)

2x210x 525 2x．

22当x2525时，S有最大值为． 22

第18题某企业信息部进行市场调研发现：

信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润yA（万元）与投资金额x（万元）之间存在正比例函数关系：yAkx，并且当投资5万元时，可获利润2万元．

2信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：yBaxbx，

并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元． （1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；

，B两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能（2）如果企业同时对A获得的最大利润是多少？

25k，k0.4， 答案：解：（1）当x5时，y12，yA0.4x，当x2时，yB2.4；当x4时，yB3.2．

2.44a2b 3.216a4b解得a0.2

b1.6yB0.2x21.6x．

（2）设投资B种商品x万元，则投资A种商品(10x)万元，获得利润W万元，根据题意可得

W0.2x21.6x0.4(10x)0.2x21.2x4 W0.2(x3)25.8

当投资B种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资A种商品7万元，B种商品3万元，这样投资可以

获得最大利润5.8万元．

第19题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m，支柱A3B350m，

5根支柱A1B1，A2B2，A3B3，A4B4，A5B5之间的距离均为15m，B1B5∥A1A5，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中． （1）直接写出图（2）中点B1，B3，B5的坐标； （2）求图（2）中抛物线的函数表达式； （3）求图（1）中支柱A2B2，A4B4的长度．

B2 B3 B4 30m y B3 B5 B1 B5 B1 A1 A2 A3 A4 A5 图(1)

O 图(2)

l

30)，B5(30，0)； 答案：（1）B1(30，0)，B3(0， （2）设抛物线的表达式为ya(x30)(x30)，

30)代入得ya(030)(030)30． 把B3(0， ∴a1． 301(x30)(x30)． 30 ∵所求抛物线的表达式为：y （3）∵B4点的横坐标为15， ∴B4的纵坐标y4145(1530)(1530)． 302 ∵A3B350，拱高为30，

4585(m)． 2285 由对称性知：A2B2A4B4(m)。

2第20题某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个．根据销售经验，售价每提高1元．销售量相应减少10个．

（1）假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是________元；这种篮球每月的销售量是_________个．（用含x的代数式表示）（4分）

（2）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此时篮球的

∴立柱A4B420售价应定为多少元？（8分）

答案：（1）10x，50010x； （2）设月销售利润为y元，

由题意y10x50010x， 整理，得y10x209000． 当x20时，y的最大值为9000，

2205070．

答：8000元不是最大利润，最大利润为9000元，此时篮球的售价为70元．