一、选择题（每小题3分，共24分）
1．在﹣2，0，3，这四个数中，最大的数是（ ） A．﹣2 B．3 C．0 D． 2． 如图所示的几何体是由一个圆柱体和一个长方形组成的，则这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．十八大报告指出：“建设生态文明，是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计”，这些年党和政府在生态文明的发展进程上持续推进，在“十一五”期间，中国减少二氧化碳排放1 460 000 000吨，赢得国际社会广泛赞誉．将1 460 000 000用科学记数法表示为（ ） A．146×107 B．1.46×107 C．1.46×109 D．1.46×1010
4．如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为（ ）
A．30° B．36° C．38° D．45° 5．若方程组
的解x，y满足0＜x+y＜1，则k的取值范围是（ ）
A．﹣4＜k＜0 B．﹣1＜k＜0 C．0＜k＜8 D．k＞﹣4
6．用正三角形、正四边形和正六四边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个．则第n个图案中正三角形的个数为（ ） （用含n的代数式表示）．
A．2n+1 B．3n+2 C．4n+2 D．4n﹣2
7．在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，且A，C在坐标轴上，满足OA=，OC=1．将矩形OABC绕原点0以每秒15°的速度逆时针旋转．设运动时间为t秒（0≤t≤6），旋转过程中矩形在第二象限内的面积为S，表示S与t的函数关系的图象大致如图所示，则矩形OABC的初始位置是（ ）
第1页（共26页）
A． B． C． D．
8．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题（每小题3分，共21分）
9．计算：（﹣1）2020+（π﹣3.14）0﹣（）﹣2=______．
10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列关系式中：①a＜0；②abc＞0；③a+b+c＞0；④b2﹣4ac＞0．其中不正确的序号是______．
11．小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．记甲立方体朝上一面上的数字为x，乙立方体朝上一面上分别标有数字为y，这样就确定点P的一个坐标（x，y），那么点P落在双曲线y=上的概率为______． 12．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为______．
第2页（共26页）
13．如图所示，直角三角形中较长的直角边是较短的直角边长度的2倍，且两个顶点在数轴上对应的数分别为﹣1和1，以斜边为半径的弧交数轴于点A，点C所表示的数为2，点A与点B关于点C对称，则点B表示的数为______．
14．如图，点A，B分别在函数y=（k1＞0）与y=（k2＜0）的图象上，线段AB的
中点M在y轴上．若△AOB的面积为2，则k1﹣k2的值是______．
15．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和4，∠A=120°．则阴影部分面积是______．（结果保留根号）
三、计算题（本题共8个小题，75分） 16．先化简，再求值：
，其中x+2=
．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，点E是边BC的中点．
（1）求证：BC2=BD•BA；
（2）判断DE与⊙O位置关系，并说明理由．
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18．居民区内的“广场舞”引起媒体关注，小明想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行了一次抽样调查，把居民对“广场舞”的看法分为四个层次：A．非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同．并将调查结果绘制了图1和图2两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供信息回答下列问题： （1）求本次被抽查的居民有多少人？ （2）将图1和图2补充完整；
（3）求图2中“C”层次所在扇形的圆心角的度数；
（4）估计该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同（包括A层次和B层次）的大
约有多少人．．
19．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式y2+4y+8的最小值． 解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4 ∵（y+2）2≥0 ∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4．
（1）求代数式m2+m+4的最小值； （2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；
（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
20．为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为m．
（1）求BT的长（不考虑其他因素）．
第4页（共26页）
（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．某人以20km/h的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是
，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大
灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理由． （参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin31°≈
，tan31°≈）
21．黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富．一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼．捕
捞一段时间后，发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航，渔政船接到报告后，立即从该港口出发赶往黄岩岛．下图是渔政船及渔船与港口的距离s和渔船离开港口的时间t之间的函数图象．（假设渔船与渔政船沿同一航线航行） （1）直接写出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式． （2）求渔船和渔政船相遇时，两船与黄岩岛的距离．
（3）在渔政船驶往黄岩岛的过程中，求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里？
22．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0）、B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．
（1）如图1，当∠BOP=30°时，求点P的坐标； （2）如图2，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；
（3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时如图3，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
第5页（共26页）
23．如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？
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2020年河南省普通高中招生考试数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．在﹣2，0，3，这四个数中，最大的数是（ ） A．﹣2 B．3 C．0 D． 【考点】实数大小比较．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得 ﹣2＜0＜＜3，
故在﹣2，0，3，这四个数中，最大的数是3， 故选：B．
2． 如图所示的几何体是由一个圆柱体和一个长方形组成的，则这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案． 【解答】解：从上面看外边是一个矩形，里面是一个圆， 故选：C．
3．十八大报告指出：“建设生态文明，是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计”，这些年党和政府在生态文明的发展进程上持续推进，在“十一五”期间，中国减少二氧化碳排放1 460 000 000吨，赢得国际社会广泛赞誉．将1 460 000 000用科学记数法表示为（ ） A．146×107 B．1.46×107 C．1.46×109 D．1.46×1010 【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于1 460 000 000有10位，所以可以确定n=10﹣1=9． 【解答】解：1 460 000 000=1.46×109． 故选C．
4．如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为（ ）
第7页（共26页）
A．30° B．36° C．38° D．45°
【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角． 【分析】首先根据多边形内角和计算公式计算出每一个内角的度数，再根据等腰三角形的性质计算出∠AEB，然后根据平行线的性质可得答案． 【解答】解：∵ABCDE是正五边形， ∴∠BAE=（5﹣2）×180°÷5=108°， ∴∠AEB=÷2=36°， ∵l∥BE， ∴∠1=36°， 故选：B．
5．若方程组A．﹣4＜k＜0
的解x，y满足0＜x+y＜1，则k的取值范围是（ ） B．﹣1＜k＜0
C．0＜k＜8 D．k＞﹣4
【考点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组．
【分析】理解清楚题意，运用二元一次方程组的知识，解出k的取值范围． 【解答】解：∵0＜x+y＜1，
观察方程组可知，上下两个方程相加可得：4x+4y=k+4， 两边都除以4得，x+y=所以
＞0，
，
解得k＞﹣4；
＜1，
解得k＜0．
所以﹣4＜k＜0． 故选A．
6．用正三角形、正四边形和正六四边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个．则第n个图案中正三角形的个数为（ ） （用含n的代数式表示）．
A．2n+1 B．3n+2 C．4n+2 D．4n﹣2 【考点】规律型：图形的变化类．
第8页（共26页）
【分析】由题意可知：每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，由此规律得出答案即可．
【解答】解：第一个图案正三角形个数为6=2+4； 第二个图案正三角形个数为2+4+4=2+2×4； 第三个图案正三角形个数为2+2×4+4=2+3×4； …；
第n个图案正三角形个数为2+（n﹣1）×4+4=2+4n=4n+2． 故选：C．
7．在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，且A，C在坐标轴上，满足OA=，OC=1．将矩形OABC绕原点0以每秒15°的速度逆时针旋转．设运动时间为t秒（0≤t≤6），旋转过程中矩形在第二象限内的面积为S，表示S与t的函数关系的图象大致如图所示，则矩形OABC的初始位置是（ ）
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】根据图象计算0秒、2秒、6秒的时候，矩形在第二象限内的面积为S，即可分析出矩形OABC的初始位置．
【解答】解：由图象可以看出在0秒时，S=0，在2秒时，S=
，在6秒时，S=
；由题，不
意知，矩形OABC绕原点0以每秒15°的速度逆时针旋转，6秒逆时针旋转90°，S=难发现B和D都符合，但在2秒时，S=S=
，则只有D符合条件．
，即矩形OABC绕原点0逆时针旋转30°时，
故选：D．
8．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ）
第9页（共26页）
A． B． C． D．2
【考点】正多边形和圆．
【分析】首先设⊙O的半径是r，则OF=r，根据AO是∠EAF的平分线，求出∠COF=60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少；然后判断出OI、CI的关系，再根据GH∥BD，求出GH的值是多少，再用EF的值比上GH的值，求出
的值是多少即可．
【解答】解：如图，连接AC、BD、OF，，
设⊙O的半径是r， 则OF=r，
∵AO是∠EAF的平分线， ∴∠OAF=60°÷2=30°， ∵OA=OF，
∴∠OFA=∠OAF=30°， ∴∠COF=30°+30°=60°， ∴FI=r•sin60°=∴EF=∵AO=2OI， ∴OI=∴∴∴即则
=的值是
， ．
，CI=r﹣
，
， =
，
， ，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共21分）
第10页（共26页）
9．计算：（﹣1）2020+（π﹣3.14）0﹣（）﹣2= ﹣2 ．
【考点】负整数指数幂；零指数幂．
【分析】首先根据有理数的乘方的运算方法，求出（﹣1）2020的值是多少；然后根据零指数幂的运算方法，求出（π﹣3.14）0的值是多少；最后根据负整数指数幂的运算方法，求出（）﹣2的值是多少；再从左向右依次计算，求出算式（﹣1）2020+（π﹣3.14）0﹣（）﹣
2
的值是多少即可．
【解答】解：（﹣1）2020+（π﹣3.14）0﹣（）﹣2 =1+1﹣4 =2﹣4 =﹣2．
故答案为：﹣2．
10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列关系式中：①a＜0；②abc＞0；③a+b+c＞0；④b2﹣4ac＞0．其中不正确的序号是 ③ ．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据函数图象可得各系数的关系：a＜0，b＜0，c＞0，再结合图象判断各结论． 【解答】解：由函数图象可得各系数的关系：a＜0，b＜0，c＞0， 则①a＜0，正确；②abc＞0，正确； ③当x=1时，y=a+b+c＜0，错误；
④抛物线与x轴有两个不同的交点，b2﹣4ac＞0，正确． 故不正确的序号是③．
11．小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．记甲立方体朝上一面上的数字为x，乙立方体朝上一面上分别标有数字为y，这样就确定点P的一个坐标（x，y），那么点P落在双曲线y=上的概率为
．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；列表法与树状图法．
【分析】利用列表法找出点P的所有坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征找出符合题意的点的个数，由此即可得出结论． 【解答】解：∵点P在双曲线y=的图象上， ∴xy=6．
利用列表法找出所用点P的坐标，如下表所示．
第11页（共26页）
其中满足xy=6的点有：（1，6）、（2，3）、（3，2）、（6，1）． ∴点P落在双曲线y=上的概率为：故答案为：．
12．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为 22cm ．
=．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段垂直平分线性质求出AD=DC，根据△ABD的周长求出AB+BC=14cm，即可求出答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE=4cm， ∴AC=2AE=8cm，AD=DC， ∵△ABD的周长为14cm， ∴AB+AD+BD=14cm，
∴AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=14cm，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=14cm+8cm=22cm， 故答案为：22cm
13．如图所示，直角三角形中较长的直角边是较短的直角边长度的2倍，且两个顶点在数轴上对应的数分别为﹣1和1，以斜边为半径的弧交数轴于点A，点C所表示的数为2，点A与点B关于点C对称，则点B表示的数为 5﹣ ．
【考点】实数与数轴．
【分析】先根据勾股定理计算出斜边的长，进而得到A的坐标，再根据A点表示的数，可得B点表示的数．
【解答】解：∵直角三角形中较长的直角边是较短的直角边长度的2倍，
第12页（共26页）
∴斜边的长==，
∴A点表示的数为﹣1，
∵C所表示的数为2，点A与点B关于点C对称， ∴点B表示的数为5﹣， 故答案为：5﹣．
14．如图，点A，B分别在函数y=
（k1＞0）与y=
（k2＜0）的图象上，线段AB的
中点M在y轴上．若△AOB的面积为2，则k1﹣k2的值是 4 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义． 【分析】设A（a，b），B（﹣a，d），代入双曲线得到k1=ab，k2=﹣ad，根据三角形的面积公式求出ad+ad=4，即可得出答案．
【解答】解：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D， ∴AC∥BD∥y轴， ∵M是AB的中点， ∴OC=OD， 设A（a，b），B（﹣a，d）， 代入得：k1=ab，k2=﹣ad， ∵S△AOB=2，
∴（b+d）•2a﹣ab﹣ad=2， ∴ab+ad=4， ∴k1﹣k2=4， 故选：4．
15．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和4，∠A=120°．则阴影部分面积是 ．（结果保留根号）
第13页（共26页）
【考点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质．
【分析】设BF交CE于点H，根据菱形的对边平行，利用相似三角形对应边成比例列式求出CH，然后求出DH，根据菱形邻角互补求出∠ABC=60°，再求出点B到CD的距离以及点G到CE的距离；然后根据阴影部分的面积=S△BDH+S△FDH，根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解．
【解答】解：如图，设BF交CE于点H，
∵菱形ECGF的边CE∥GF， ∴△BCH∽△BGF， ∴即
， ，
解得CH=，
所以，DH=CD﹣CH=2﹣
，
∵∠A=120°，
∴∠ECG=∠ABC=180°﹣120°=60°， ∴点B到CD的距离为2×点G到CE的距离为4×
， ，
∴阴影部分的面积=S△BDH+S△FDH， ==
，
．
故答案为：
三、计算题（本题共8个小题，75分） 16．先化简，再求值：【考点】分式的化简求值．
第14页（共26页）
，其中x+2=．
【分析】通分计算括号里面的加法，再算除法，由此顺序化简，进一步代入求得答案即可．【解答】解：原式=
•
=x+1，
∵x+2=， ∴x=﹣2，
则原式=x+1=﹣1．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，点E是边BC的中点．
（1）求证：BC2=BD•BA；
（2）判断DE与⊙O位置关系，并说明理由．
【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质． 【分析】（1）通过证明△BCD∽△BAC，利用相似比得到结论；
（2）连结DO，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由∠BDC=90°，E为BC的中点得到DE=CE=BE，则利用等腰三角形的性质得∠EDC=∠ECD，∠ODC=∠OCD，由于∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，所以∠EDC+∠ODC=90°，即∠EDO=90°，于是根据切线的判定定理即可得到DE与⊙O相切． 【解答】（1）证明：∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠BDC=90°， 又∵∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠BDC， 又∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△BAC， ∴
，
即BC2=BA•BD；
（2）解：DE与⊙O相切．理由如下： 连结DO，如图，
∵∠BDC=90°，E为BC的中点， ∴DE=CE=BE， ∴∠EDC=∠ECD， 又∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
而∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠EDC+∠ODC=90°，即∠EDO=90°， ∴DE⊥OD，
第15页（共26页）
∴DE与⊙O相切．
18．居民区内的“广场舞”引起媒体关注，小明想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行了一次抽样调查，把居民对“广场舞”的看法分为四个层次：A．非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同．并将调查结果绘制了图1和图2两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供信息回答下列问题： （1）求本次被抽查的居民有多少人？ （2）将图1和图2补充完整；
（3）求图2中“C”层次所在扇形的圆心角的度数；
（4）估计该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同（包括A层次和B层次）的大
约有多少人．．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可知A有90人占调查总数的30%，从而可以求出被调查的居民数；
（2）根据条形统计图和扇形统计图可知A有90人占调查总数的30%，可以求得选B和选C的人数以及B、D所占的百分比，从而可以将统计图补充完整；
（3）由C所占的百分比可以求得图2中“C”层次所在扇形的圆心角的度数；
（4）根据条形统计图和扇形统计图，估计该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有多少人．． 【解答】解：（1）由条形统计图和扇形统计图可知A有90人占调查总数的30%， ∴本次被抽查的居民有：90÷30%=300（人）， 即本次被抽查的居民有300人；
（2）由条形统计图和扇形统计图可得，
选B的人数有：300﹣（30%+20%）×300﹣30=120（人）， 选C的人数有：300×20%=60人， B所占的百分比为：120÷300=40%， D所占的百分比为：30÷300=10%， ∴补全的图1和图2如右图所示， （3）由题意可得，
图2中“C”层次所在扇形的圆心角的度数是：360°×20%=72°， 即图2中“C”层次所在扇形的圆心角的度数是72°；
第16页（共26页）
（4）由题意可得，
该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有：4000×（30%+40%）=2800（人），
即该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有2800人．
19．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2+4y+8的最小值． 解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4 ∵（y+2）2≥0 ∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4．
（1）求代数式m2+m+4的最小值； （2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；
（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方． 【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值； （2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值；
（3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及x的值即可．
【解答】解：（1）m2+m+4=（m+）2+∵（m+）2≥0， ∴（m+）2+
≥
， ；
，
则m2+m+4的最小值是
第17页（共26页）
（2）4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5， ∵﹣（x﹣1）2≤0， ∴﹣（x﹣1）2+5≤5，
则4﹣x2+2x的最大值为5；
（3）由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）=﹣2x2+20x， ∵﹣2x2+20x=﹣2（x﹣5）2+50=﹣2（x﹣5）2≤0， ∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，
∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x=5，
则当x=5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．
20．为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为m．
（1）求BT的长（不考虑其他因素）．
（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．某人以20km/h的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是
，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大
灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理由． （参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin31°≈
，tan31°≈）
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】（1）在直角△ACT中，根据三角函数的定义，若AT=3x，则CT=5x，在直角△ABT中利用三角函数即可列方程求解；
（2）求出正常人作出反应过程中电动车行驶的路程，加上刹车距离，然后与BT的长进行比较即可． 【解答】解：（1）根据题意及图知：∠ACT=31°，∠ABT=22° ∵AT⊥MN ∴∠ATC=90°
在Rt△ACT中，∠ACT=31° ∴tan31°=
可设AT=3x，则CT=5x
在Rt△ABT中，∠ABT=22° ∴tan22°=
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即：
解得：∴∴（2）
，
； ， ，
∴该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求． 21．黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富．一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼．捕捞一段时间后，发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航，渔政船接到报告后，立即从该港口出发赶往黄岩岛．下图是渔政船及渔船与港口的距离s和渔船离开港口的时间t之间的函数图象．（假设渔船与渔政船沿同一航线航行） （1）直接写出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式． （2）求渔船和渔政船相遇时，两船与黄岩岛的距离．
（3）在渔政船驶往黄岩岛的过程中，求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里？
【考点】一次函数的应用． 【分析】（1）由图象可得出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式，分为三段求函数关系式；
（2）由图象可知，当8＜t≤13时，渔船和渔政船相遇，利用“两点法”求渔政船的函数关系式，再与这个时间段，渔船的函数关系式联立，可求相遇时，离港口的距离，再求两船与黄岩岛的距离；
（3）在渔政船驶往黄岩岛的过程中，8＜t≤13，渔船与渔政船相距30海里，有两种可能：①s渔﹣s渔政=30，②s渔政﹣s渔=30，将函数关系式代入，列方程求t． 【解答】解：（1）当0≤t≤5时，s=30t， 当5＜t≤8时，s=150，
当8＜t≤13时，s=﹣30t+390；
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（2）设渔政船离港口的距离s与渔政船离开港口的时间t之间的函数关系式为s=kt+b（k≠0），则
，
解得．
所以s=45t﹣360； 联立
，
解得．
所以渔船离黄岩岛的距离为150﹣90=60（海里）；
（3）s渔=﹣30t+390，s渔政=45t﹣360， 分两种情况：
①s渔﹣s渔政=30，﹣30t+390﹣（45t﹣360）=30，解得t=②s渔政﹣s渔=30，45t﹣360﹣（﹣30t+390）=30，解得t=
（或9.6）； （或10.4）．
所以，当渔船离开港口9.6小时或10.4小时时，两船相距30海里．
22．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0）、B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．
（1）如图1，当∠BOP=30°时，求点P的坐标； （2）如图2，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；
（3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时如图3，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
【考点】几何变换综合题． 【分析】（1）根据题意得，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；
（2）由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，可知△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP， 易证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；
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（3）首先过点P作PE⊥OA于E，易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′A的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与m和t的关系，即可求得t的值． 【解答】解：（1）根据题意，∠OBP=90°，OB=6， 在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t． ∵OP2=OB2+BP2， 即（2t）2=62+t2，
解得：t1=2，t2=﹣2（舍去）． ∴点P的坐标为（2，6）； （2）
∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的， ∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP， ∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC， ∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°， ∴∠OPB+∠QPC=90°， ∵∠BOP+∠OPB=90°， ∴∠BOP=∠CPQ， 又∵∠OBP=∠C=90°， ∴△OBP∽△PCQ， ∴
，
由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11﹣t，CQ=6﹣m． ∴∴m=t2﹣
，
t+6（0＜t＜11）；
（3）过点P作PE⊥OA于E，如图3，
∴∠PEA=∠QAC′=90°， ∴∠PC′E+∠EPC′=90°， ∵∠PC′E+∠QC′A=90°， ∴∠EPC′=∠QC′A， ∴△PC′E∽△C′QA， ∴
，
在△PC′E和△OC′B′中，
∴△PC′E≌△OC′B′， ∴PC'=OC'=PC， ∴BP=AC'，
∵AC′=PB=t，PE=OB=6，AQ=m，EC′=11﹣2t， ∴
，
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∵m=t2﹣
t+6，
∴3t2﹣22t+36=0， 解得：t1=故点P的坐标为（
，t2=
，6）或（
，6）．
23．如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？
【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）将点A、B代入抛物线解析式，求出a、b值即可得到抛物线解析式；
（2）根据已知求出点D的坐标，并且由线段OC、OB相等、CD∥x轴及等腰三角形性质证明△CDB≌△CGB，利用全等三角形性质求出点G的坐标，写出直线BP解析式，联立二次函数解析式，求出点P坐标；
（3）分两种情况，第一种情况重叠部分为四边形，利用大三角形减去两个小三角形求得解析式，第二种情况重叠部分为三角形，可利用三角形面积公式求得． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入抛物线y=ax2+bx+3（a≠0），
，
解得：a=﹣1，b=2．
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故抛物线解析式为：y=﹣x2+2x+3．
（2）存在
将点D代入抛物线解析式得：m=3， ∴D（2，3）， 令x=0，y=3， ∴C（0，3）， ∴OC=OB，
∴∠OCB=∠CBO=45°，
如下图，设BP交y轴于点G，
∵CD∥x轴，
∴∠DCB=∠BCO=45°， 在△CDB和△CGB中： ∵∠
∴△CDB≌△CGB（ASA）， ∴CG=CD=2， ∴OG=1，
∴点G（0，1），
设直线BP：y=kx+1， 代入点B（3，0）， ∴k=﹣，
∴直线BP：y=﹣x+1， 联立直线BP和二次函数解析式：
，
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解得：或（舍），
∴P（﹣，）．
（3）直线BC：y=﹣x+3，直线BD：y=﹣3x+9， 当0≤t≤2时，如下图：
设直线C′B′：y=﹣（x﹣t）+3 联立直线BD求得F（
，
），
S=S△BCD﹣S△CC′E﹣S△C′DF
=×2×3﹣×t×t﹣×（2﹣t）（3﹣整理得：S=﹣t2+3t（0≤t≤2）． 当2＜t≤3时，如下图：
）
H（t，﹣3t+9），I（t，﹣t+3）
S=S△HIB= [（﹣3t+9）﹣（﹣t+3）]×（3﹣t） 整理得：S=t2﹣6t+9（2＜t≤3）
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综上所述：S=．
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2020年9月19日
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