2018-2019 学年黑龙江省哈尔滨市南岗区虹桥中学八年级
（下）月考数学试卷（ 3 月份）（五四学制）
一、选择题（本大题共 1.
10 小题，共 30.0 分）
下列方程为一元二次方程的是
A. C.
2.
B. D.
在下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是
A. 3，4，5 C. 1， 1，
B. 7， 24， 25 D. ， ，
到原点的距离是
3. 在平面直角坐标系中，点
A. 3
4.
B. 4 C. 5 D.
如图所示，在 ?ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，下列式子中一定成立的是
A.
5. 不解方程，判断方程
B.
C.
的根的情况是
D.
A. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根
6. 在平行四边形 ABCD 中，
B. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根
：
： 3：2，则
：
A. B. C. D.
7.
下列命题的逆命题成立的是
A. 全等三角形的对应角相等 B. 若三角形的三边满足 C. 对顶角相等 D.若 ，则
8. 9.
，则该三角形是直角三角形
矩形邻边之比为 3： 4，对角线长为 10cm，则周长为
A. 14 cm A. C.
， ，
B. 28 cm C. 20 cm B. D.
， ， ，
D. 22 cm
下列条件中，能判断四边形 ABCD 是平行四边形的是
10. 如图， BD 为平行四边形 ABCD 的对角线，
F，DE 、 BF 相交于 H，直线 BF 交线段 AD 的延长线于
；
；
；
于 E，
；其中正确的个数是
于
G，下面结论：
A. 1 B. 2
10 小题，共 30.0 分）
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共 11. 二次三项式 12. 如图，已知
是一个完全平方式，则 ，C 对应的数是
a 的值为 ______．
， ，那么数轴上点 A 所表示的数是
______．
第1页，共 16页
13. 如图，将平行四边形 ABCD 的一边 BC 延长至 E，若
，则
14. 若关于 x 的方程
______ ．
______．
的一个根是
0，则
15. 把矩形 ABCD 按如图方式折叠，使顶点
B 和点 D 重合，折痕为
若
，
，则 DF 的长度是 ______cm．
16. 如图，四边形 ABCD 中，
的中点，
， ， AC 与 BD 交于点 O，点 E 是边 BC
，则 OE 的长是 ______．
17. 如图，有一个圆柱体，它的高为 20，底面半径
为 如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的点
A，沿圆柱表面爬到与
18. 如图所示，四边形
，
面积为 ______．
A 相对的上底面点 B，
______ ，
取 ，
，则四边形 ABCD 的
则蚂蚁爬的最短路线长约为
，
ABCD 中，
19.
20. 如图，
中，
中，
， ， BC 边上的高 ，则
，
______．
，
， AD 为中线，将 AD绕点 A 顺时针旋转
得到 ，则
AE，连接 BE，F 为 AC 上一点，连接 BF， CF 的长为 ______．
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三、解答题（本大题共
7 小题，共 60.0 分）
21. 用适当的方法解一元二次方程：
22. 图 1、图 2、是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边
长都是，每个小格的顶点叫做格点． 请在图 1、图 2、中分别画出符合要求的图形．所画图形各顶点必须与方格纸中的格点重
合．
在图 1 中画一周长为 的等腰直角三角形；
在图 2 中画一个面积为 10 腰为 5 的等腰三角形；
直接写出
图周长．
23. 如图，?ABCD
AC BD O E F 的对角线 AC
上的两点，并且 四边形 BFDE 是平行四边形．、 相交于点 ， 、 是
第3页，共 16页
要求：
，求证：
24. 如图 1，矩形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O，
求矩形对角线的长； 如图 2，若 AE 平分 外的所有等腰三角形．
交 BC 于点 E，连接
， ．
请直接写出图中除等边三角形
25. 如图，某货船以 24 海里 时的速度将一批重要物资从 A 处运往正东方向的 M 处，
在点 A 处测得某岛 C 在北偏东 的方向上． 该货船航行 30 分钟后到达 B 处，此时
再测得该岛在北偏东
求 B到 C的距离；
如果在 C 岛周围 9 海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无 触礁危险？试说明理由
．
的方向上，
26. 已知：如图 1，在
，
求证： 如图 3，在
中，
．
；
，直线 DE 过点 A，连接 BD 、 CE，且
如图 2，若点 F 为 BC 边的中点，连接
的条件下，若过点
EF ，求证： ；
E 作 EF 的垂线交 BC 的延长线于点 N，过点 N
第4页，共 16页
作 DE 的平行线交 AF 的延长线于点 M，若
， ，求 AD 的
长．
27. 如图，
，
在平面直角坐标系中，已知：
，将
，点 A 在 x 轴的正半轴上，
沿 AB 翻折，点 O 到点 C 的位置，连接 CB 并延
长交 x 轴于点 D．
求点 D 的坐标；
动点 P 从点 D 出发，以每秒 直角三角形时，求
在 一点 Q 使 请说明理由．
t 的值；
为以
为直角的直角三角形时， 在 y 轴上是否存在
的条件下， 当
2 个单位的速度沿 x 轴的正方向运动，当
为
为等腰三角形？如果存在， 请直接写出 Q 点的坐标； 如果不存在，
答案和解析
1.【答案】 C
【解析】解： A、 B、 C、
D 、
故选： C．
是一元一次方程，错误；
不是等式，不是方程，错误；
符合一元二次方程的概念，正确；
是二元二次方程，错误；
本题根据一元二次方程的定义解答． 一元二次方程必须满足四个条件：
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未知数的最高次数是 二次项系数不为 0； 是整式方程；
2；
含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念， 判断一个方程是否是一元二次方程， 首先要看是否是
2．
整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是
2.【答案】 D
【解析】解： A、 B、 C、 D 、
， 能构成直角三角形；
， 能构成直角三角形； ， 能构成直角三角形．
， 不能构成直角三角形；
故选： D．
根据勾股定理的逆定理， 验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．
本题考查了勾股定理的逆定理， 解题的关键是根据勾股定理的逆定理验证四个选项． 本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否 等于最大边的平方”是关键．
3.【答案】 C
【解析】解：点 故选： C．
根据勾股定理可求点
到原点的距离．
到原点的距离为
，
考查了勾股定理，两点间的距离公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4.【答案】 B
【解析】解： A、菱形的对角线才相互垂直．故不对．
B、根据平行四边形的对角线互相平分可知此题选 B．
C、只有平行四边形为矩形时，其对角线相等，故也不对． D 、只有平行四边形为矩形时，其对角线相等且平分．故也不对．故选： B．
根据平行四边形的对角线互相平分即可判断．
此题主要考查平行四边形的性质．即平行四边形的对角线互相平分．
5.【答案】 B
【解析】解：
方程有两个不相等的实数根， 故选： B．
求出根的判别式，只要看根的判别式
方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根．
的值的符号就可以了．
的关系：
，
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式
6.【答案】 B
【解析】解：在 ?ABCD 中， 设每份比为 x，则得到
：
：
：
，
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：3： 2： 3，
解得 则
故选： B．
利用平行四边形的内角和是 为，
：
：
：
360 度，平行四边形对角相等， ： 3： 2：3，则
的值可求出．
则平行四边形的四个角之比
．
题考查四边形的内角和定理及平行四边形的性质，平行四边形的对角相等，邻角互补．
7.【答案】 B
【解析】解： A、逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，不符合题意；
B、逆命题为如果直角三角形的三边分别为 符合题意；
a、b、c，那么三边满足 ，正确，
C、逆命题为相等的角为对顶角，错误，不符合题意； D 、逆命题为若 故选： B．
写出各个命题的逆命题后判断正误即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出一个命题的逆命题，难度不大．
，则
，错误，不符合题意，
8.【答案】 B
【解析】解：
矩形的两邻边之比为
3：4，
设矩形的两邻边长分别为： 对角线长为 10cm，
，
解得：
，
矩形的两邻边长分别为： 矩形的周长为 28cm， 故选： B．
3xcm，4xcm，
6， 8；
首先设矩形的两邻边长分别为： 3xcm，4xcm，可得 ，继而求得矩形的两邻边长，则可求得答
案．
此题考查了矩形的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用．
9.【答案】 D
【解析】解：如图示，根据平行四边形的判定方法，只有 D 正确． 故选 D．
平行四边形的五种判定方法分别是： 的四边形是平行四边形；
行且相等的四边形是平行四边形； 角线互相平分的四边形是平行四边形． 本题考查了平行四边形的判定，
两组对边分别平行
一组对边平
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
熟练掌握判定定理是解题的关键．
平行四边形共有五种
对
根据平行四边形的判定， 逐一验证即可得出结论．
判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．
10.【答案】 C
【解析】解：
为等腰直角三角形，
， ，
，
第7页，共 16页
， ，所以
，
正确；
而
，
，
四边形 ABCD 为平行四边形，
，
，所以
在
和
中 ，
正确；
≌
，
，
四边形 ABCD 为平行四边形，
， ，所以
， ，
所以
错误；
为等腰直角三角形， 得到 ，于是可对
接着由平行四边形的性质得
正确；
，
，
故选： C． 通过判断
，
，则可对 ≌
进行判断；
，则
根据等角的余角相等得到 ，再根据平行四边形的性质得到
进行判断；根据“ AAS”可证明
，则
，由
全等三角形的判定和性质，
，运算可对
，得到
，
进行判断；因为
，
所以
错误；
本题考查了平行四边形的性质，
，推出
等腰直角三角形的判定和性
，
质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】 16
【解析】解：
二次三项式 ，
是一个完全平方式，
，
即
故答案为： 16 ． 根据完全平方式得出
，求出即可．
本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由图可知， 故
，作 ，垂足为 C，取 ，
，
在 x 的负半轴上， 数轴上点 A 所表示的数是 故答案为： ． 首先根据勾股定理得： 数是．
．
即
又点 A 在数轴的负半轴上，则点
A 对应的
本题考查了数轴和勾股定理． 的符号是解题的关键．
能够熟练运用勾股定理， 同时注意根据点的位置以确定数
13.【答案】
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【解析】解：
平行四边形 ABCD 的
，
．
，
故答案为： ．
的度数，再根据平角等于
列式计算即可得解．
根据平行四边形的对角相等求出
本题考查了平行四边形的对角相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．
14.【答案】 1
【解析】解：设方程的另一根为 又
，
解得
．
0 代入两根之积公式即可求出
k 值．
如何根据待求量确定利用哪一个根与系数的
，
，
的一个根是 0，设另一根为
欲求 k 的值，将该方程的已知根 关系式是解决此类题目的关键．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系．
15.【答案】 5
【解析】解：
四边形 ABCD 是矩形，
，
．
由翻折的性质可知；
．
．
．
设 即 解得；
．
，
故答案为： 5． 先证明
，从而得到
，则
识，证得
，在
是解题的关键．
，然后利用翻折的性质得到
中利用勾股定理列方程求解即可．
，设
，
， ．
，则
中，由勾股定理得；
，
．
，
本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质、勾股定理的应用、等腰三角形的判定等知
16.【答案】 2
【解析】解：
；
又 点 E是BC的中点，
是
的中位线，
；
，
，
四边形 ABCD 是平行四边形，
故答案为： 2．
证明四边形 ABCD 是平行四边形，得出 是
的中位线，即可得出答案．
熟练掌握平行四边形的判
；再根据点 E 是 BC 的中点，得出 OE
此题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理；
第9页，共 16页
定与性质，证明 OE 为 的中位线是解题的关键．
17.【答案】 25
【解析】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点 B 的最短距离为线段 所以
则蚂蚁爬的最短路线长约为 故答案为： 25．
要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再利用勾股定理来求．
此题主要考查了平面展开图的最短路径问题， 本题的关键是要明确， 要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算．
AB 的长，
A，
，AC 为底面半圆弧长，
． 25，
，
18.【答案】
【解析】解：
，
，
．
，
， ，
，
是直角三角形，
四边形
．
故答案为：
．
先根据勾股定理求出
BD 的长，再由勾股定理的逆定理判断出
即可得出结论．
的形状，根据
四边形
本题考查的是勾股定理的逆定理，勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
19.【答案】 4 或 2
【解析】解：运用勾股定理分别求得： 然后要分情况考虑： 当高在三角形的内部时， 当高在三角形的外部时， 别依据勾股定理即可求解．
故BC
； 或2．
，
．
高线 AD 可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论．分
注意不同形状的三角形的高的位置有不同的情况： 锐角三角形的三条高都在三角形的内部，钝角三角形有两条高在三角形的外部．
20.【答案】 8
【解析】解：过点
D 作
交 AC 于点 H，过点 F 作
的延长线于点 I，
，
，
， ，
第10 页，共 16页
在 与
≌
，
设
，
，
，
由勾股定理可知：
，
是 的中线，
点D是BC的中点，
是
，
在
中，
由勾股定理可知：
的中位线，
故答案为： 8 过点 D 作
交 AC 于点 H ，过点 F 作
，
的延长线于点 I，证明 ，设
≌
，从而可知
可求出 x 的值．
，利用勾股定理列出方程即
本题考查旋转的性质，涉及勾股定理、中位线的性质，中线的性质，一元二次方程的解法，本题属于难题．
21.【答案】解：
或
解得
或 ，
； ，
， ，
，
，
则
； ， ，
则
或
解得
或
， ，
则 解得 【解析】
或
或
， ． ；
，
，
利用直接开平方法求解可得；
利用公式法求解可得； 利用因式分解法求解可得； 利用因式分解法求解可得．
第11 页，共 16页
本题主要考查解一元二次方程的能力， 熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法： 直接
开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
22.【答案】解：
如图所示， 即为所求；
如图所示，
的周长为
即为所求；
．
3，据此
【解析】
根据周长及等腰直角三角形的性质得出该等腰直角三角形的腰长为
作图可得；
根据等腰三角形的性质及其面积作图可得； 根据勾股定理求解可得．
本题考查的是勾股定理及等腰三角形， 熟知等腰三角形的性质及勾股定理是解答此题的关键．
23.
【答案】证明：
，
，
?ABCD 的对角线 AC、 BD 相交于点 O， E、 F 是 AC 上的两点， ，
，则 ，
四边形 BFDE 是平行四边形．
【解析】首先利用平行四边形的性质，得出对角线互相平分，进而得出
，
，即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，得出
是解题关键．
，
，
24【. 答案】解：
；
矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O， ，
矩形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O，
点 E，
，
， ，
所以
是等腰三角形，
，
， ，
， AE 平分
交 BC 于
是等腰三角形．
【解析】
根据矩形的性质和勾股定理解答；
根据矩形的性质和等腰三角形的判定解答即可．
此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和等腰三角形的判定解答．
25.【答案】解：
由题意得：
，
，
第12 页，共 16页
， ，
，
海里 ；
该货船无触礁危险，理由如下： 过点 C 作 于点 D，如图所示：
， ，
在 在
中， 中，
，
．
． ，
货船继续向正东方向行驶无触礁危险．
， ． ．
【解析】
证出 ，得出
于点 D，分别在
、
即可；
过点 C 作 中用式子表示 CD 、AD ，再
根据已知求得 BD、CD 的长，从而再将 CD 于 9 比较，若大于 9 则无危险， 否则有危险． 本题考查解直角三角形的应用
方向角问题、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的
关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
26.【答案】
证明：如图 1 中，
，
≌
，
， ，
．
，
， ，
证明：如图 2 中，连接 DF ， AF ．
， ，
，
，
，
，
第13 页，共 16页
，
， F， C，E 四点共圆，
，
同法可证
，
是等腰直角三角形，
，
≌
，
，
．
解：如图 3 中，延长 EC 交 NM 于 H，作
于 G．
，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形 AEHG 是矩形，
，
在
中，
，
，
，
，
，
，
≌
，
，
，
， ．
【解析】
根据 HL 证明
≌
即可解决问题．
如图 2 中，连接 DF ，
首先证明
是等腰直角三角形，可得证明
即可解决问题．
第14 页，共 16页
，再
如图 3 中，延长 EC 交 NM 于 H ，作
于 首先证明 是等腰直角三角形，
，在
推出
，由四边形 AEHG 是矩形，推出
中，
，再证明 ≌ ，
求出 CH ，EC 即可解决问题．
本题属于三角形综合题， 考查了等腰直角三角形的判定和性质， 加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
全等三角形的判定和性
质，勾股定理，四点共圆等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添
27.【答案】解：
，
，
， ，
， ， ， ，
，
，
， ；
，
，
，
当
∽
时， ，
， ，
，解得
， ，
，
，
当
时，则 P与 O重合，
；
存在．
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当 BP 为腰的等腰三角形，
，
，
，
当 在 解得
中， ，
． ，
， ，
时，设
，
当
时，
，
，
．
，
综上所述，满足条件的点 Q 的坐标为
【解析】
根据已知得出 OA、 OB 的值以及 的度数，进而求得 ，即可求得
D 的坐标；
根据直角三角形的判定，分两种情况讨论求得； 求得 PB 的长，分四种情形讨论即可解决问题；
本题考查几何变换综合题、直角三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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