人教版八年级下册数学教案导学案及答案全册

2020-03-11 来源：钮旅网

第十六章分式

16．1分式

16.1.1从分数到分式

一、教学目标

1．了解分式、有理式的概念.

2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点

1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入

1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：10，s，200，v.

7a33s2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？

请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x千米/时.

轮船顺流航行100千米所用的时间为100小时，逆流航行60千米所用时间60小时，

20v20v所以100=60.

20v20v3. 以上的式子100，60，s，v，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不

20v20vas同点？五、例题讲解

P5例1. 当x为何值时，分式有意义.

[分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解出字母x的取值范围.

[提问]如果题目为：当x为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念.

(补充)例2. 当m为何值时，分式的值为0？ 2（1）m m11（2） (3) m3mm2m11分母不能为零；○2分子为零，这[分析] 分式的值为0时，必须同时满足两个条件：○．．

样求出的m的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习

1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, 7 , 9y, m4, 8y3，1

xx9205y22. 当x取何值时，下列分式有意义？（1）（2）（3） x2432xx21

3x52x53. 当x为何值时，分式的值为0？

x21x77x（1）（2） (3) x2x5x213x七、课后练习

1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？

(1）甲每小时做x个零件，则他8小时做零件个，做80个零件需小时.

（2）轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是千米/时，轮船的逆流速度是千米/时. (3)x与y的差于4的商是 .

x212．当x取何值时，分式无意义？

3x2x1的值为0？ 3. 当x为何值时，分式 x2x八、答案：

六、1.整式：9x+4, 9y, m4 分式： 7 , 8y3，1

xx9205y22．(1）x≠-2 （2）x≠ （3）x≠±2 23．（1）x=-7 （2）x=0 (3)x=-1

80七、1．18x, ,a+b, s,xy; 整式：8x, a+b, xy;

x44ab分式：80, s abx2 2． X = 3. x=-1

课后反思：

16.1.2分式的基本性质

一、教学目标

1．理解分式的基本性质.

2．会用分式的基本性质将分式变形. 二、重点、难点

1．重点: 理解分式的基本性质.

2．难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形. 三、例、习题的意图分析

1．P7的例2是使学生观察等式左右的已知的分母（或分子），乘以或除以了什么整式，然后应用分式的基本性质，相应地把分子（或分母）乘以或除以了这个整式，填到括号里作为答案，使分式的值不变.

2．P9的例3、例4地目的是进一步运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是：约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式；通分是要正确地确定各个分

母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.

教师要讲清方法，还要及时地纠正学生做题时出现的错误，使学生在做提示加深对相应概念及方法的理解.

3．P11习题16.1的第5题是：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.这一类题教材里没有例题，但它也是由分式的基本性质得出分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.

“不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含‘-’号”是分式的基本性质的应用之一，所以补充例5. 四、课堂引入

1531．请同学们考虑：3 与相等吗？9 与相等吗？为什么？

4202482．说出之间变形的过程，与之间变形的过程，并说出变形依据？ 4与 202483．提问分数的基本性质，让学生类比猜想出分式的基本性质. 五、例题讲解

P7例2.填空：

[分析]应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式，使分式的值不变.

P11例3．约分：

[分析] 约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式.

P11例4．通分：

[分析] 通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.

（补充）例5.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.

6b5a31593， x， 2m， 7m， 3x。

3yn6n4y[分析]每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，其中两个符号同时改变，分式的值不变.

解

：

6b5a=

6b5a，

x3y=

x3y，

2mn=

2mn，

六、随堂练习

1．填空：

3x3x7m7m= ， =。

4y4y6n6n2x26a3b23a3(1) 2= (2) =

x3xx38b3b1x2y2xy（3) = (4) = 2acancnxy3

2．约分：

8m2n3a2b4x2yz32(xy)3（1）（2）（3）（4） 2252mn6abcyx16xyz

3．通分：（1）（3）

a12b和（2）和 32222xy2ab3x5abc113ca和（4）和 y1y12ab28bc24．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.

5ax3ya3(ab)2(1)  (2)  （3) (4) 222m13x3ab17b七、课后练习

1．判断下列约分是否正确：（1）

xy1aca= （2）2= 2xyxybcb（3）

mn=0 mn12x1x1和（2）和 22223ab7abxxxxx2y2ab （2）

3xyab2．通分：（1）

3．不改变分式的值，使分子第一项系数为正，分式本身不带“-”号. （1）八、答案：

六、1．(1)2x (2) 4b （3） bn+n (4)x+y

2．（1）

a4mx2

（2）（3） （4）-2(x-y) 22bcn4z3．通分：

15ac4b2= ， = 22323235abc10abc2ab10abc3ax2byab（2）= 2， 2= 22xy6xy6xy3x（1）

12c33caab（3）= = 2222228abc2ab8bc8abc1y11y1（4）= =

y1(y1)(y1)y1(y1)(y1)4

x3ya35a(ab)24．(1) (2)  （3) (4)  222m3ab17b13x

课后反思：

16．2分式的运算

16．2．1分式的乘除(一)

一、教学目标：理解分式乘除法的法则，会进行分式乘除运算. 二、重点、难点

1．重点：会用分式乘除的法则进行运算. 2．难点：灵活运用分式乘除的法则进行运算 . 三、例、习题的意图分析

1．P13本节的引入还是用问题1求容积的高，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍，这两个引例所得到的容积的高是小拖拉机的工作效率的vm，大拖拉机的工作效率是abnab倍.引出了分式的乘除法的实际存在的意义，进一步引出mnP14[观察]从分数的乘除法引导学生类比出分式的乘除法的法则.但分析题意、列式子时，不易耽误太多时间.

2．P14例1应用分式的乘除法法则进行计算，注意计算的结果如能约分，应化简到最简.

3．P14例2是较复杂的分式乘除，分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分.

4．P14例3是应用题，题意也比较容易理解，式子也比较容易列出来，但要注意根据问题的实际意义可知a>1,因此(a-1)=a-2a+1四、课堂引入

1.出示P13本节的引入的问题1求容积的高小拖拉机的工作效率的2

vm，问题2求大拖拉机的工作效率是abnab倍. mn[引入]从上面的问题可知，有时需要分式运算的乘除.本节我们就讨论数量关系需要进行分式的乘除运算.我们先从分数的乘除入手，类比出分式的乘除法法则.

1． P14[观察] 从上面的算式可以看到分式的乘除法法则.

3．[提问] P14[思考]类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则？

类似分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则的结论. 五、例题讲解

P14例1.

[分析]这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算.应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，在计算结果.

P15例2.

[分析] 这道例题的分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分.结果的分母如果不是单一的多项式，而是多个多项式相乘是不必把它们展开.

P15例.

[分析]这道应用题有两问，第一问是：哪一种小麦的单位面积产量最高？先分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的面积，再分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量，分别是500、500，还要判断出以上两个分式的值，哪一

a21a12个值更大.要根据问题的实际意义可知a>1,因此(a-1)=a-2a+1计算

22222

c2a2b2n24m2 （3）y2 （1）（2）abc2m5n37xx22a4a1 (6)y26y92y （4）-8xy (5)22(3y) a2a1a4a45xy2七、课后练习

计算

1 （2）5b10bc （3）12xy8x2y （1）x2y32xy3ac21a5a222（4）a4bab （5）xx(4x) （6）42(x2y2)23aba2bx1xx235(yx)3

八、答案：

六、（1）ab （2）2m （3）y （4）-20x（5）(a1)(a2)

5n14(a1)(a2)（6）3y

y2七、（1）1 （2）7b （3）3 （4）a2b

x2c210ax3b（5）x （6）6x(xy)

1x5(xy)2

课后反思：

16．2．1分式的乘除(二)

一、教学目标：熟练地进行分式乘除法的混合运算. 二、重点、难点

1．重点：熟练地进行分式乘除法的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式乘除法的混合运算. 三、例、习题的意图分析

1． P17页例4是分式乘除法的混合运算. 分式乘除法的混合运算先把除法统一成乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.

教材P17例4只把运算统一乘法，而没有把25x-9分解因式,就得出了最后的结果，教师在见解是不要跳步太快，以免学习有困难的学生理解不了，造成新的疑点.

2， P17页例4中没有涉及到符号问题，可运算符号问题、变号法则是学生学习中重点，也是难点，故补充例题，突破符号问题. 四、课堂引入

计算

（1）yx(y) (2) 3x(3x)(1)

xyx4yy2x2

五、例题讲解

（P17）例4.计算

[分析] 是分式乘除法的混合运算. 分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的计算结果要是最简的.

（补充）例.计算

3ab28xy3x(1)3(2)

2xy9ab(4b)3ab28xy4b= (先把除法统一成乘法运算) ()322xy9ab3x3ab28xy4b= （判断运算的符号） 2x3y9a2b3x16b2= （约分到最简分式） 9ax3

2x6(x3)(x2)(x3)

3x44x4x22x61(x3)(x2)= (先把除法统一成乘法运算)

3x44x4x2x32(x3)1(x3)(x2)= (分子、分母中的多项式分解因式)

3x(2x)2x3(2)

2(x3)1(x3)(x2)

(x3)(x2)2x3=

2 x2六、随堂练习

计算

3b2bc2a5c20c3622() （2）24(6abc)(1) 31016a2ab2ab30abx22xyy2xy3(xy)29242 （3）（4）(xyx)(xy)3xyxyx(yx)

七、课后练习

计算

a26a93aa23xx2y(1)8xy () (2)262b3a94b6z4y24y24y41126yx2xyxy(3) (4) (xy)222y6y39y2xxyyxy

八、答案：

3a2(xy)45六.（1） （2）4 （3）（4）-y

4c38ca236xz2y1七. (1)3 (2) （3）（4）

b2y12x

课后反思：

16．2．1分式的乘除(三)

一、教学目标：理解分式乘方的运算法则，熟练地进行分式乘方的运算. 二、重点、难点

1．重点：熟练地进行分式乘方的运算.

2．难点：熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 三、例、习题的意图分析

1． P17例5第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判

断乘方的结果的符号，在分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除..

2．教材P17例5中象第（1）题这样的分式的乘方运算只有一题，对于初学者来说，练习的量显然少了些，故教师应作适当的补充练习.同样象第（2）题这样的分式的乘除与乘方的混合运算，也应相应的增加几题为好.

分式的乘除与乘方的混合运算是学生学习中重点，也是难点，故补充例题，强调运算顺序，不要盲目地跳步计算，提高正确率，突破这个难点. 四、课堂引入

计算下列各题：

a2abba4a（3）()=bb（1）()=

aa3aaa=（） (2) ()==（） bbbbbaaa=（） bbban[提问]由以上计算的结果你能推出()（n为正整数）的结果吗？

b五、例题讲解（P17）例5.计算

[分析]第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号，再分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除. 六、随堂练习

1．判断下列各式是否成立，并改正.

b32b53b29b2（1）()= （2）( )=222a2a4a2a9x22y38y33x2)=3 （4）()=2（3）(

9xxb23xxb2．计算

3a2b3a32ay35x22)(1) ( （3）()() ) （2）(3222c3y3xy2xx2y2x2y3x32)() 5)()()(xy4) （4）(2yxzz (6)(y23x3x2)()3() 2x2y2ay

七、课后练习

计算

2b23a22(1) (3) (2) (n1)

abc32c42a4ab2a3)()(a2b2) (3)(2)(3)() (4) (cabababba9

八、答案：

b32b63b29b2六、1. （1）不成立，()= （2）不成立，()=2

2a4a24a2a8y39x22y33x2（3）不成立，( （4）不成立，( )=)=23227xx2bxb3xxb

27a6b3y325x48a3x42. （1）（2） （3） （4）4 9228cz9y9ya3y21 (5)2 (6) 24xx

8b6a4七、(1)  (2) 2n29abc2ab （3）2 （4）

课后反思：

16．2．2分式的加减（一）

一、教学目标：（1）熟练地进行同分母的分式加减法的运算.

（2）会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减. 二、重点、难点

1．重点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 2．难点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 三、例、习题的意图分析

1． P18问题3是一个工程问题，题意比较简单，只是用字母n天来表示甲工程队完成一项工程的时间，乙工程队完成这一项工程的时间可表示为n+3天，两队共同工作一天完成这项工程的

11.这样引出分式的加减法的实际背景，问题4的目的与问题3一样，nn3从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要进行分式的加减法运算.

2． P19[观察]是为了让学生回忆分数的加减法法则，类比分数的加减法，分式的加减法的实质与分数的加减法相同，让学生自己说出分式的加减法法则.

3．P20例6计算应用分式的加减法法则.第（1）题是同分母的分式减法的运算，第二个分式的分子式个单项式，不涉及到分子变号的问题，比较简单，所以要补充分子是多项式的例题，教师要强调分子相减时第二个多项式注意变号；

第（2）题是异分母的分式加法的运算，最简公分母就是两个分母的乘积，没有涉及分母要因式分解的题型.例6的练习的题量明显不足，题型也过于简单，教师应适当补充一些

题，以供学生练习，巩固分式的加减法法则.

（4）P21例7是一道物理的电路题，学生首先要有并联电路总电阻R与各支路电阻R1, R2, …, Rn的关系为1111.若知道这个公式，就比较容易地用含有R1的式子

RR1R2Rn表示R2，列出11RR11，下面的计算就是异分母的分式加法的运算了，得到R15012R150，再利用倒数的概念得到R的结果.这道题的数学计算并不难，但是物理的知RR1(R150)识若不熟悉，就为数学计算设置了难点.鉴于以上分析，教师在讲这道题时要根据学生的物理知识掌握的情况，以及学生的具体掌握异分母的分式加法的运算的情况，可以考虑是否放在例8之后讲.

四、课堂堂引入

1.出示P18问题3、问题4，教师引导学生列出答案.

引语：从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要进行分式的加减法运算.

2．下面我们先观察分数的加减法运算，请你说出分数的加减法运算的法则吗？ 3. 分式的加减法的实质与分数的加减法相同，你能说出分式的加减法法则？ 4．请同学们说出确定方法吗？五、例题讲解

（P20）例6.计算

[分析] 第（1）题是同分母的分式减法的运算，分母不变，只把分子相减，第二个分式的分子式个单项式，不涉及到分子是多项式时，第二个多项式要变号的问题，比较简单；第（2）题是异分母的分式加法的运算，最简公分母就是两个分母的乘积.

（补充）例.计算（1）

111,,的最简公分母是什么？你能说出最简公分母的

2x2y33x4y29xy2x3yx2y2x3y2 2222xyxyxy2

[分析] 第（1）题是同分母的分式加减法的运算，强调分子为多项式时，应把多项事看作一个整体加上括号参加运算，结果也要约分化成最简分式. 解：

x3yx2y2x3y2 22222xyxyxy(x3y)(x2y)(2x3y) 22xy2x2y 22xy=

2(xy)

(xy)(xy)11

2 xy(2)

11x6 2x362xx9[分析] 第（2）题是异分母的分式加减法的运算，先把分母进行因式分解，再确定最简公分母,进行通分，结果要化为最简分式. 解：

11x6 2x362xx911x6= x32(x3)(x3)(x3)=

2(x3)(1x)(x3)12

2(x3)(x3)(x26x9)= 2(x3)(x3)(x3)2= 2(x3)(x3)=x3

2x6六、随堂练习

计算

3a2babbam2nn2m （2） nmmnnm5a2b5a2b5a2b163a6b5a6b4a5b7a8b2（3）（4） a3a9abababab(1)

七、课后练习

计算 (1)

5a6b3b4aa3b223abc3bac3cba2 (2)

3baa2b3a4b 222222ababbab2a2113x2ab1 (4) (3)

6x4y6x4y4y6x2abba八、答案：

5a2b3m3n1 （2）（3）（4）1 2nma35ab12a3b五.(1)2 (2) 2 （3）1 （4） 23x2yabab四.（1）课后反思：

16．2．2分式的加减（二）

一、教学目标：明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 二、重点、难点

1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 三、例、习题的意图分析

1． P21例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减,最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.

例8只有一道题，训练的力度不够，所以应补充一些练习题，使学生熟练掌握分式的混合运算.

2． P22页练习1：写出第18页问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.

四、课堂引入

1．说出分数混合运算的顺序.

2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 五、例题讲解

（P21）例8.计算

[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减,最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.

（补充）计算（1）(x2x14x )xx22xx24x4[分析] 这道题先做括号里的减法，再把除法转化成乘法，把分母的“-”号提到分式本身的前边.. 解： (x2x14x )22xx2xx4x4x2x1x]=[ 2x(x2)(x2)(x4)=[(x2)(x2)x(x1)x] 22(x4)x(x2)x(x2)x24x2xx= 2(x4)x(x2)=1 2x4x42xyx4yx2（2） 4242xyxyxyxy13

[分析] 这道题先做乘除，再做减法，把分子的“-”号提到分式本身的前边.

xyx4yx2解： 4242xyxyxyxyxyx4yx2y2= 22222xyxy(xy)(xy)x22xy2x2y= 22(xy)(xy)xy=

xy(yx)

(xy)(xy)xy xy=六、随堂练习计算

x24x2ab11)(1) ( （2）()() x22x2xabbaab31221（3）(2)()

a2a4a2a2

七、课后练习 1．计算 (1) (1(2) (yx)(1) xyxya2a1a24a)2

aa22aa24a4a111xy(3) ()

xyzxyyzzx2．计算(114)2，并求出当a-1的值. a2a2aab （3）3 ab八、答案：

六、（1）2x （2）

a2xy111七、1.(1)2 (2) （3） 2.,- 2xy2a2za43

课后反思：

16．2．3整数指数幂

一、教学目标：

1．知道负整数指数幂an=

1（a≠0，n是正整数）. an2．掌握整数指数幂的运算性质. 3．会用科学计数法表示小于1的数. 二、重点、难点

1．重点：掌握整数指数幂的运算性质. 2．难点：会用科学计数法表示小于1的数.

三、例、习题的意图分析

1． P23思考提出问题，引出本节课的主要内容负整数指数幂的运算性质. 2． P24观察是为了引出同底数的幂的乘法：aaa质，在整数范围里也都适用.

3． P24例9计算是应用推广后的整数指数幂的运算性质，教师不要因为这部分知识已经讲过，就认为学生已经掌握，要注意学生计算时的问题，及时矫正，以达到学生掌握整数指数幂的运算的教学目的.

4． P25例10判断下列等式是否正确？是为了类比负数的引入后使减法转化为加法，而得到负指数幂的引入可以使除法转化为乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算统一起来.

5．P25最后一段是介绍会用科学计数法表示小于1的数. 用科学计算法表示小于1的数，运用了负整数指数幂的知识. 用科学计数法不仅可以表示小于1的正数，也可以表示一个负数.

6．P26思考提出问题，让学生思考用负整数指数幂来表示小于1的数，从而归纳出：对于一个小于1的数，如果小数点后至第一个非0数字前有几个0，用科学计数法表示这个数时，10的指数就是负几.

7．P26例11是一个介绍纳米的应用题，使学生做过这道题后对纳米有一个新的认识.更主要的是应用用科学计数法表示小于1的数. 四、课堂引入

1．回忆正整数指数幂的运算性质：（1）同底数的幂的乘法：aaa（2）幂的乘方：(a)anmnmnmnmn，这条性质适用于m,n是

任意整数的结论,说明正整数指数幂的运算性质具有延续性.其它的正整数指数幂的运算性

mnmn(m,n是正整数)；

(m,n是正整数)；

n（3）积的乘方：(ab)ab(n是正整数)；（4）同底数的幂的除法：aaamnmnn( a≠0，m,n是正整数，

m＞n)；

anan（5）商的乘方：()n(n是正整数)；

bb2．回忆0指数幂的规定，即当a≠0时，a1.

015

3．你还记得1纳米=10米，即1纳米=

35-9

1米吗？ 109a3a314．计算当a≠0时，aa=5=32=2，再假设正整数指数幂的运算性质

aaaaamanamn(a≠0，m,n是正整数，m＞n)中的m＞n这个条件去掉，那么1a3a5=a35=a2.于是得到a2=2（a≠0），就规定负整数指数幂的运算性质：当n是

a1n正整数时，a=n（a≠0）.

a五、例题讲解

（P24）例9.计算

[分析] 是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数指数幂的运算性质进行计算一样，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式.

（P25）例10. 判断下列等式是否正确？

[分析] 类比负数的引入后使减法转化为加法，而得到负指数幂的引入可以使除法转化为乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算统一起来，然后再判断下列等式是否正确.

（P26）例11.

[分析] 是一个介绍纳米的应用题，是应用科学计数法表示小于1的数. 六、随堂练习 1.填空

（1）-2=

（2）(-2)= （3）(-2)=

-3

2 0

（4）2= (5）2= (6）(-2)= 2.计算

(1) (xy) （2）xy ·(xy)

七、课后练习

1. 用科学计数法表示下列各数：

0．000 04， -0. 034, 0.000 000 45, 0. 003 009 2.计算

(1) (3×10)×(4×10) (2) (2×10)÷(10) 八、答案：

六、1.（1）-4 （2）4 （3）1 （4）1（5）

-8

-32

-33

3-22

2-2

-2

(3)(3xy) ÷(xy)

2-2 2-23

11 （6） 88yx69x102.（1）4 （2）4 （3） 7

xyy七、1.(1) 4×10 (2) 3.4×10 （3）4.5×10 （4）3.009×10

2.（1） 1.2×10 （2）4×10

课后反思：

-5

-2

-7

-3

16．3分式方程(一)

一、教学目标：

1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.

2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 二、重点、难点

1．重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.

2．难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.

三、例、习题的意图分析

1． P31思考提出问题，引发学生的思考，从而引出解分式方程的解法以及产生增根的原因.

2．P32的归纳明确地总结了解分式方程的基本思路和做法.

3． P33思考提出问题，为什么有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就是原方程的解，而有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就不是原方程的解，引出分析产生增根的原因，及P33的归纳出检验增根的方法.

4． P34讨论提出P33的归纳出检验增根的方法的理论根据是什么？

5．教材P38习题第2题是含有字母系数的分式方程，对于学有余力的学生，教师可以点拨一下解题的思路与解数字系数的方程相似，只是在系数化1时，要考虑字母系数不为0,才能除以这个系数. 这种方程的解必须验根.

四、课堂引入

1．回忆一元一次方程的解法，并且解方程2．提出本章引言的问题：

一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？

分析：设江水的流速为v千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到方程

x22x31 4610060.

20v20v像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.

五、例题讲解

（P34）例1.解方程

[分析]找对最简公分母x(x-3),方程两边同乘x(x-3),把分式方程转化为整式方程，整式方程的解必须验根

这道题还有解法二：利用比例的性质“内项积等于外项积”，这样做也比较简便. （P34）例2.解方程

[分析]找对最简公分母(x-1)(x+2),方程两边同乘(x-1)(x+2)时,学生容易把整数1漏

乘最简公分母(x-1)(x+2)，整式方程的解必须验根. 六、随堂练习

解方程

32236 （2） 2xx6x1x1x1x142xx（3）21 （4）2

x1x12x1x2(1)七、课后练习

1．解方程

2164x7 0 (2) 15x1x3x883x234153(3)2 220 (4)

x12x24xxxxx12x9122．X为何值时，代数式的值等于2？

x3x3x(1) 八、答案：

六、（1）x=18 （2）原方程无解（3）x=1 （4）x=

4 53 2七、1． (1) x=3 (2) x=3 （3）原方程无解（4）x=1 2. x=

课后反思：

16．3分式方程(二)

一、教学目标：

1．会分析题意找出等量关系.

2．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题. 二、重点、难点

1．重点：利用分式方程组解决实际问题.

2．难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系. 三、例、习题的意图分析

本节的P35例3不同于旧教材的应用题有两点：（1）是一道工程问题应用题，它的问题是甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快？这与过去直接问甲队单独干多少天完成或乙队单独干多少天完成有所不同，需要学生根据题意，寻找未知数，然后根据题意找出问题中的等量关系列方程.求得方程的解除了要检验外，还要比较甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快，才能完成解题的全过程（2）教材的分析是填空的形式，为学生分析题意、设未知数搭好了平台，有助于学生找出题目中等量关系，列出方程.

P36例4是一道行程问题的应用题也与旧教材的这类题有所不同（1）本题中涉及到的列车平均提速v千米/时，提速前行驶的路程为s千米，

完成. 用字母表示已知数（量）在过去的例题里并不多见，题目的难度也增加了；（2）例题中的分析用填空的形式提示学生用已知量v、s和未知数x，表示提速前列车行驶s千米所用的时间，提速后列车的平均速度设为未知数x千米/时，以及提速后列车行驶（x+50）千米所用的时间.

这两道例题都设置了带有探究性的分析，应注意鼓励学生积极探究，当学生在探究过程中遇到困难时，教师应启发诱导，让学生经过自己的努力，在克服困难后体会如何探究，教师不要替代他们思考，不要过早给出答案.

教材中为学生自己动手、动脑解题搭建了一些提示的平台，给了设未知数、解题思路和解题格式，但教学目标要求学生还是要独立地分析、解决实际问题，所以教师还要给学生一些问题，让学生发挥他们的才能，找到解题的思路，能够独立地完成任务.特别是题目中的数量关系清晰，教师就放手让学生做，以提高学生分析问解决问题的能力. 四、例题讲解

P35例3

分析：本题是一道工程问题应用题，基本关系是：工作量=工作效率×工作时间.这题没有具体的工作量，工作量虚拟为1，工作的时间单位为“月”.

等量关系是：甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1 P36例4

分析：是一道行程问题的应用题, 基本关系是：速度=

路程.这题用字母表示已知数时间（量）.等量关系是：提速前所用的时间=提速后所用的时间五、随堂练习

1. 学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习.甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个；又已知甲每分钟比乙少跳5个，求每人每分钟各跳多少个.

2. 一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?

3. 甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度. 六、课后练习

1．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快

1 ，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。 52，求甲、32．甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程，已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的乙两队单独完成各需多少天？

3．甲容器中有15%的盐水30升，乙容器中有18%的盐水20升，如果向两个容器个加入

等量水，使它们的浓度相等，那么加入的水是多少升？

七、答案：

五、1. 15个，20个 2. 12天 3. 5千米/时，20千米/时六、1. 10千米/时 2. 4天，6天 3. 20升

课后反思：

第十七章反比例函数

17．1．1反比例函数的意义

一、教学目标

1．使学生理解并掌握反比例函数的概念

2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式 3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想二、重、难点

1．重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 2．难点：理解反比例函数的概念三、【教学过程】

（一）自主学习，完成练习

1.复习：（1）一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y ，并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。（2）一般地，形如y=kx+b(k、b是常数， k≠0）的函数，叫做。

（3）一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0）的函数，叫做，其中k叫做比例系数。

2．完成P39页思考题，写出三个问题的函数解析式：

（1）；（2）；（3）。

3．概念：上述函数都具有的形式，其中是常数。一般地，形如（）的函数称为，其中是自变量，是函数。自变量的取值范围是。 4. 反比例函数yk1（k≠0）的另两种表达式是ykx和xy=k（k≠0） x（二）小组交流答案（三）教师点拨

例：下列等式中，哪些是反比例函数

（1）yx－4

分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成

5x （2）2 （3）xy＝21 （4）

（5）y3（6）y13 （7）y＝yyxx232xxyk（k为常数，k≠0）的形式，这里（1）、x13x，分子不是常数 x（7）是整式，（4）的分母不是只单独含x，（6）改写后是y（四）巩固练习

1、下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？

（1）y

4x（2）y12xx11（3）y1x（4）xy1（5）y （6）y（7）y22x1x2、课本P40页第1题和第2题。

（五）能力提升

1、若函数y(3m)x2、已知函数y8m2是反比例函数，则m的取值是是反比例函数，则a=

(3a)xa4（六）课堂小结

17.1.1 反比例函数的意义（第2课时）

【学习目标】

会根据已知条件用待定系数法求反比例函数解析式【教学过程】

（一）自主学习：用待定系数法求反比例函数解析式例1：已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6.

（1）写出y与x之间的函数解析式；（2）求当x=4时y的值。解：（1）设y 612k，当x=2时，y=6，则有（2）把x=4代入y，得

xxk 解得：k= y= = 2 ∴y与x之间的函数解析式为：y=

（二）小组交流答案（三）教师点拨

1.反比例函数的比例系数k等于两个变量的一对对应值的乘积（k=xy） 2.待定系数法求反比例函数的步骤（四）巩固练习

1、y是x的反比例函数,当x=3时,y=-6. 2、y是x-2 的反比例函数,当x=3时,y=4. （1）写出y与x的函数关系式. （1）求y与x的函数关系式. （2）求当y=4时x的值. （2）当x=-2时,求y的值. 3、课本P40页第3题 4、已知y与x成反比例，且当x＝－2时，y＝3，则y与x之间的函数关系式是，当x＝－3时，y＝（五）能力提升

1．已知函数y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5。（1）求y与x的函数关系式；（2）当x＝－2时，求函数y的值

分析：此题函数y是由y1和y2两个函数组成的，要用待定系数法来解答，先根据题意分别设出y1、 y2与x的函数关系式，再代入数值，通过解方程或方程组求出比例系数的值。这里要注意y1与x和y2与x的函数关系中的比例系数不一定相同，故不能都设为k，要用不同的字母表示。

（六）课堂小结

17．1．2反比例函数的图象和性质（1）

教学目标

1、体会并了解反比例函数的图象的意义. 2、能描点画出反比例函数的图象.

3、通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质。重点会作反比例函数的图象；探索并掌握反比例函数的主要性质。难点探索并掌握反比例函数的主要性质。过程与方法结合正比例函数y＝kx（k≠0）的图象和性质，来帮助学生观察、分析及归纳，通过对比，能使学生更好地理解和掌握所学的内容注意让学生体会数形结合的思想方法。一、预习自测：

提问： 1．一次函数y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）的图象是什么？其性质有哪些？正比例函数y＝kx（k≠0）呢？

2．画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应注意什么？方法与步骤——利用描点作图:

列表：取自变量x的哪些值? ——x是不为零的任何实数，所以不能取x的值的为零，但仍可以以零为基准，左右均匀，对称地取值。描点：依据什么(数据、方法)找点? 连线：在各个象限内按照自变量从小到大的顺序用两条光滑的曲线把所描的点连接起来。二、合作探究：

66与y的图象． xx662 反比例函数y与y的图象有什么共同特征?

xx1、画出反比例函数y反比例函数图象的特征及性质：

k(k≠0)的图象是由两个分支组成的。 x当k0时，图象在象限，在每一象限内，y随x的增大而；当k0时，图象在象限，在每一象限内，y随x 的增大而。

k反比例函数y(k≠0)的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。

x三、当堂检测：

3m1．若函数y(2m1)x与y的图象交于第一、三象限，则m的取值范围

x是

反比例函数y23

22．反比例函数y，当x＝－2时，y＝；当x＜－2时；y的取值范

x围是；当x＞－2时；y的取值范围是

a3．函数y＝－ax＋a与y（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）

6

ay(a2)x4．已知反比例函数

，当x0时，y随x的增大而增大，求函数

关系式

25．已知反比例函数y(m1)xm3的图象在第二、四象限，求m值，并指出在每个象限内y随x的变化情况？

3k，分别根据下列条件求出字母k的取值范围 x（1）函数图象位于第一、三象限。（2）在第二象限内，y随x的增大而增大

六、我的收获

6．已知反比例函数y

17．1．2反比例函数的图象和性质（2）

教学目标

1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质 2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题

3．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法

过程与方法

经历观察、分析，交流的过程，逐步提高从函数图象中感受其规律的能力。重点理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题难点学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质。

一、预习自测：

1．什么是反比例函数？

2．反比例函数的图象是什么？有什么性质？二、合作探究：

1．若点A（－2，a）、B（－1，b）、C（3，c）在反比例函数y图象上，则a、b、c的大小关系怎样？

2．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数ym的图xk（k＜0）x象交于A（－2，1）、B（1，n）两点（1）求反比例函数和一次函数的解析式

（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围

3、设汽车前灯电路上的电压保持不变,选用灯泡的电阻为R(Ω)，通过电流的强度为I(A)。

（1）已知一个汽车前灯的电阻为30 Ω，通过的电流为0.40A，求I关于R的函

数解析式，并说明比例系数的实际意义。

（2）如果接上新灯泡的电阻大于30 Ω，那么与原来的相比，汽车前灯的亮度

将发生什么变化？

三、当堂检测：

1. 已知反比例函数y=k/x（k≠0）的图像经过点（4，3），求当x=6时，y的值。

2、已知y－2与x+a（其中a为常数）成正比例关系，且图像过点A（0，4）、B（－1，2），求y与x的函数关系式

3、当质量一定时，二氧化碳的体积V与密度p成反比例。且V=5m3时，p=1．98kg／m3 （1）求p与V的函数关系式，并指出自变量的取值范围。（2）求V=9m3时，二氧化碳的密度。

k4、已知一次函数y= -x+8和反比例函数y =

x（1） k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点？ ( 2 ) 如果其中一个交点为（－1，9），求另一个交点坐标。

85．已知一次函数ykxb的图像与反比例函数y的图像交于A、B两点，

x且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2 ，求：（1）一次函数的解析式；

（2）△AOB的面积

四、课后反思：

17.2.1实际问题与反比例函数（1）

【学习目标】

1．能灵活运用反比例函数的知识解决实际问题；

2．经历“实际问题——建立模型——拓展应用”的过程，发展分析问题，解决问题的能力； 3．体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，体验数学的实用性，提高“用数学”的意识.

【学习重点】运用反比例函数的意义和性质解决实际问题. 及数形结合及转化的思想方法【学习难点】从实际问题中寻找变量之间的关系，建立数学模型.

【自主学习】（这部分要求同学们课前独立完成，记下不明白的问题，课堂小组交流讨论）

1.复习旧知：

1)．写出反比例函数的定义：______________________________________

2)．反比例函数的图象是_________，当k＞0时，_____________ ___________

__________；当k＜0时，____________

3).有一面积为60的梯形，其下底长是上底长的2倍，若上底长为x，高为y，则y与x的函数关系是________

4).已知矩形的面积为10，则它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为（）

5)．下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是（）

A．小明完成100m赛跑时，时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的关系；

B．三角形形的面积为48cm，它的底y(cm)与高x(cm)的关系； C．电压为6V时，电流I(A)与电阻R(Ω)之间的关系； D．长方形的周长为12cm，它的长y(cm)与宽x(cm)的关系.

几何中的反比例函数关系

1、三角形中，当面积S一定时，高h与相应的底边长a关系。 2、矩形中，当面积S一定时，长a与宽b关系。 3、长方体中当体积V一定时，高h与底面积S的关系

2、预习疑难摘要：

【合作探究】

（这部分要求同学们课堂完成。分为小组交流讨论、展示结论、提出问题、解决问题）二、探究新知（认真阅读教材50—51页内容）

(一)例题研讨：

1、例1：某煤气公司要在地下修建一个容积为10m的圆柱形煤气储存室。

(1)储存室的底面积S（单位：m）与其深度d（单位:m）有怎样的函数关系？

(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m，施工队施工时应该向下掘进多深？

(3)当施工队施工的计划掘进到地下15m时，碰到了岩石，为了节约资金，公司临时改设计，把储存室的深改为15m，相应的，储存室的底面积改为多少才能满足需要。（保留两位小数）？分析：审清题意，圆柱形煤气储存室的容积为，底面积为，深度为。满足基本公式。

解：（1）根据圆柱体的体积公式,我们有___________，变形得____________

即 ______________.

（2）

（3）

2、如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升(1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗． (1)漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系? (2)如果漏斗口的面积为100厘米²，则漏斗的深为多少?

（提示，圆锥体积公式是，它与圆柱体积有何关系）

【当堂检测】：

1．A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城．

（1）火车的速度v（千米/时）和行驶的时间t（时）之间的函数关系是．（2）若到达目的地后，按原路匀速原回，并要求在3小时内回到A城，则返回的速度不能低于．

2．有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的数关系是．

1，若下底长为x，高为y，则y与x的函327

3．已知矩积为10，长y与宽x关系用图可表示为

形的面则它的之间的象大致

（）

4．面积为2的△ABC，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是（）

6．如图，面积为2的ΔABC，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用函数

图象表示大致是（）

（三）、展示升华：

1、近视眼镜的度数y（度）与焦距x（m）成反比例，已知400•度近视眼镜镜片的焦距为0.25m．

（1）试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式；（2）求1 000度近视眼镜镜片的焦距．

【分析】把实际问题转化为求反比例函数的解析式的问题．

2、如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函数关系图象．

（1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量；（2）写出此函数的解析式；

（3）若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？

（4）如果每小时排水量是5 000m3，那么水池中的水将要多少小时排完？

【课堂小结】：

17．2实际问题与反比例函数（2）

【学习目标】

1．利用反比例函数的知识分析、解决实际问题

2．渗透数形结合思想，进一步提高学生用函数观点解决问题的能力，体会和认识反比例函数这一数学模型。

【学习重点】利用反比例函数的知识分析、解决实际问题

【学习难点】分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式，解决实际问题【自主学习】（这部分要求同学们课前独立完成，记下不明白的问题，课堂小组交流讨论）

1. 已知一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米．（1）写出用高表示长的函数关系式；（2）求当长为4厘米时，长方体的高是多少？

工程与行程问题

1、在行程问题中，当一定时，与成反比例，即。 2、在工程问题中，当一定时，与成反比例，即。预习疑难摘要：

【合作探究】

（这部分要求同学们课堂完成。分为小组交流讨论、展示结论、提出问题、解决问题）二、探究新知（认真阅读教材50—51页内容）

例1 码头工人以每天30吨的速度往一轮船上装载货物，装载完毕恰好用了8天时间。

（1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v与卸货时间t之间函数关系？

（2）由于遇到紧急情况，船上货物必须在不超过5天内卸载完毕，那么平均每天至少

要

卸多少吨货物？

分析：审清题意，找出关系式，货物的总量= ×

卸货速度= ÷

解：（1）依题意，可知：轮船上的货物总量为：30×8=

∴ v与t的函数解析式为：v=

（2）把t=5代入v= ，得：v=

答：船上货物不超过5天卸完，则平均每天至少卸吨货物。（保留两位小数）？例2、一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米／时的平均速度从甲地出发，则经过6小时可到达乙地． (1)甲、乙两地相距多少千米?

(2)如果汽车把速度提高到v(千米／时)那么从甲地到乙地所用时间t(小时)将怎样变化?

(3)写出t与v之间的函数关系式；

(4)因某种原因，这辆汽车需在5小时内从甲地到达乙地，则此时汽车的平均速度至少

应是多少?

(5)已知汽车的平均速度最大可达80千米／时，那么它从甲地到乙地最快需要多长时间?

【当堂检测】：

1．某厂现有800吨煤，这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是（）（A）y300300（x＞0）（B）y（x≥0） xx（C）y＝300x（x≥0）（D）y＝300x（x＞0）

2．已知甲、乙两地相s（千米），汽车从甲地匀速行驶到达乙地，如果汽车每小时耗油量为a（升），那么从甲地到乙地汽车的总耗油量y（升）与汽车的行驶速度v（千米/时）的函数图

象大致是（）

3．一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电I/A 流不得超过10A，那么此用电器的可变电阻应（）．

A．不小于4.8Ω B．不大于4.8Ω

6 C．不小于14Ω D．不大于14Ω

8 R/Ω

4．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的

长和宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是 ( )

5．如图是一个反比例函数图象的一部分，点A(110)，， y 10 A B(10，1)是它的两个端点。

（1）求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实

1 O 1 B x 10

6、小明将一篇24000字的社会调查报告录入电脑。

（1）如果小明以每分钟120字的速度录入，他需要多少时间才能完成录入任务？（2）录入文字的速度v与完成录入时间t有怎么样的关系？

（3）小明希望在3小时内完成录入任务，那么他每分钟至少应录入多少个字？

（三）、展示升华：

为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？

【课堂小结】：

y（毫克） 9 O 12

x（分钟） 31

17．2实际问题与反比例函数（3）

【学习目标】

1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题．

2.能综合利用物理杠杆知识、反比例函数的知识解决一些实际问题．【学习重点】掌握从物理问题中建构反比例函数模型．

【学习难点】从实际问题中寻找变量之间的关系，关键是充分运用所学知识分析物理

问题，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想．

【自主学习】

（这部分要求同学们课前独立完成，记下不明白的问题，课堂小组交流讨论） 1.如图，点P是x轴正半轴上一个动点，过点P作x轴的垂线PQ交

1双曲线y＝于点Q，连结OQ，点P沿x轴正方向运动时，Rt△QOP

x的面积（）．

A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．保持不变 D．无法确定 2．已知变量y与x成反比例，且x1时，y5，则y与x之间的函数关系式是． 3．函数yyQopx8，当x0时，相应的图象在第象限内， y 0，y随x的增大而．x物理中的反比例函数关系（预习探索）

1、杠杆定律： × = × 。

2、用电器的输出功率P（瓦）、两端电压U（伏）及用电器的电阻R（欧姆）的关系：

或或预习疑难摘要：

【合作探究】

（这部分要求同学们课堂完成。分为小组交流讨论、展示结论、提出问题、解决问题）二、探究新知（认真阅读教材52—53页内容）

例3 、小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛顿和0.5米（1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大

的力？

（2）若想使动力F不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？分析：1..什么是阻力和阻力臂？它们具有什么样的关系呢？

2.你能由此题，利用反比例函数知识解释：为什么使用撬棍时，动力臂越长越省力吗解：（1）根据“杠杆定律”，有Fl=

∴ F与l的函数解析式为：F= ，当l=1.5时，F=

∴撬动石头至少需要牛顿的力

（2）当F= = 时， l= = ∴ －1.5=

答：若想用力不超过400牛顿的一半，则动力臂至少要加长米。

例4 一个用电器的电阻是可以调节的，其范围为110~220欧姆，已知电压为220伏（1）输出功率P与电阻R有怎样的函数关系？（2）这个用电器输出功率的范围多大？

解：（1）根据电学知识，当U=220时，有P=

∴ 输出功率P是电阻R的反比例函数，解析式为：P= （2）从①式可以看出，电阻越大，功率越小。当R=110时，P=

当R=220时，P= ∴ 用电器的输出功率在瓦到瓦之间例5在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I(A)与电阻R()之间的函数关系如图所示。

（1）写出I与R之间的函数解析式；

（2）结合图象回答：当电路中的电流不超过12A时，电路中电阻R的取值范围是什么？分析：1.由物理学知识我们知道：当电压一定时，电流强度与最阻成什么关系？

2.如何计算电阻R的取值范围？

I(A)

【当堂检测】：

三者之间满足关系I=

9 O 4 R(欧)

1．（2005年中考变式·荆州）在某一电路中，电流I、电压U、电阻R

UR．

1）当哪个量一定时，另两个量成反比例函数关系？

2）若I和R之间的函数关系图象如图，试猜想这一电路的电压是伏．

2.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m）是体积V（单位：m）的反比例函数，它的图像如

ρ(kg/m3) 2 33

5 V/m3

图2所示，当V=10m时，气体的密度是（）． A．5kg/m B．2kg/m C．100kg/m D．1kg/m

3．物理学知识告诉我们，一个物体所受到的压强p与所受压力F及受力面积S之间的计算

F公式为P，当一个物体所受压力为定值时，则该物体所受压强p与受力面积S间的关系

S用图像表示大致可为 ( )．

O S O S O S O S P P P P A B C D 4.一个气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m)的反比例函数，其图象如图所示，写出这个函数的解析式；求：(1)当气体体积为1 m时，气压是多少？

(2)当气球内气压大于140 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球体积应不小于多少？

O 3

P(kpa) 1205. .蓄电池的电压为定植，使用此电源时，电流I（A）和电阻R（)成反比例函数关系，且当I=4A，R=5.

（1）蓄电池的电压是多少？请你写出这一函数的表达式. （2）当电流喂A时，电阻是多少？（3）当电阻是10.时，电流是多少？

（4）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不超过10A，那么用电器的可变电阻应该控制在什么范围内？

6 如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x（cm），观察弹簧秤的示数y（N）的变化情况。实验数据记录如下： x（cm） y（N） … … 10 15 20 25 30 … … 30 20 15 12 10 （1）把上表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象，

0.8 V(m3)

猜测y（N）与x（cm）之间的函数关系，并求出函数关系式；（第6题图）（2）当弹簧秤的示数为24N时，弹簧秤与O点的距离是多少cm？

随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤上的示数将发生怎样的变化？

y(N) 35 30 25 20 15 10 5 O 5 10 15 20 25 30 35 x(cm) 【课堂小结】：

《反比例函数》复习学案

【一、学习目标】：

1.系统复习《反比例函数》并应用；

2.在复习过程中，渗透待定系数法、分类、数形结合等数学思想方法. 【二、学习重点与难点】：

重点：反比例函数知识的应用; 难点：反比例函数知识的综合运用

【三、教学过程设计与内容】：

一、反比例函数的解析式基础知识回顾（课前完成）

一般地，形如 ______________（）的函数称为反比例函数.

（其中，自变量x的取值范围为___________________________ ）

反比例函数解析式还可以表示为_____________和_________________

注：反比例函数需要满足的两个条件：1._________ ,2._______________. 考点突破：

1.下列函数中哪些是反比例函数?

2x3 ① y=3x; ② y=2x2; ③ xy=-2; ④ y=2x-1; ⑤ y; ⑥y .

32xy2xn1是反比例函数，则n=______. 2.若函数

变式：若函数 y（n1）xn2是反比例函数，则n=______.

3.已知y与x成反比例，当x=2时，y=3，则 y与x的关系式为________.

2变式：已知y与x+2成反比例，当x=1时，y=-3，则 y与x的关系式为_______. 二、反比例函数的图象以及性质

基础知识回顾（课前完成）反比例函数的图象是 . 函数 k y o x 图象 y o x 象限 x增大，y如何变化 ______________，y随x的增大而_________. kyx （k≠0） k>0 k<0 ______________，y随x的增大而_________. 考点突破： 4.若双曲线经过点(－3 ，2)，则其解析式是______.

5y5.函数 x的图象在第______象限，当x<0时，y随x的增大而______ . m2y6.函数的图象在二、四象限内，则m的取值范围是______ .

xky(k0)的图象7.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)（x1＜0＜x2 )都在反比例函数 x上,则y1与y2的大小关系(从大到小)为 .

ky(k0)的图变式：已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(4,y3)都在反比例函数 x象上,则y1 、y2 、y3 的大小关系(从大到小)为 . 三、反比例函数中的面积问题

-2y 8.如图1,点P是反比例函数图象上任意一点,PA⊥x轴于A，PB⊥y

x轴于B.则矩形PAOB的面积为___________.

-2y变式：如图2,点P是反比例函数图象上任意一点,PA⊥x轴于A，

x连接PO,则S△PAO为_____.

y y P（x,y） B P（x,y） A O x 图1 图2 A O x ky归纳:点P是反比例函数 x（k≠0）图象上任意一点,PA⊥x轴于A，PB⊥y

轴于B.则矩形PAOB(如图1)的面积为_______，S△PAO（如图2）为_____.

9.如图1,点P是反比例函数图象上的一点, PA⊥x轴于A，PB⊥y轴于B, 四边形PAOB的面积为12,则这个反比例函数的关系式是________ . 变式：如图2,点P是反比例函数图象上的一点, PA⊥x轴于A，连接PO,

若S△PAO=8,则这个反比例函数的关系式是________ .

四、反比例函数与一次函数的综合运用

myykx110.(2010东莞.中考）如图，一次函数的图象和反比例函数的x图象交于A、B两点，其中A点坐标为（2，1）.

（1）试确定k、m的值；（2）连接AO,求△AOP的面积;

（3）连接BO,若B的横坐标为-1，求△AOB的面积. 变式：

B y A O M P x

M(2，m)、N(-1，-4)两点.

kyaxb的图象与反比例函数如图：一次函数 y的图象交于

x（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）当x为何值时，反比例函数的函数值大于一次函数的函数值？提高题：

y k如图所示，在直角坐标系中，点A是反比例函数的图象上一点，y1x一次函数y2axb的图象经过、C是OB的中点；ABx轴的正半轴于B点，AM（2，m）

若S△AOD4． C两点，并交y轴于点D0，2，-1 0 （1）求反比例函数和一次函数的解析式； y 2 （2）观察图象，请指出在y轴的右侧，当y1y2时， x的取值范围． N（-1，-4 ） x

O C B D

第十八章勾股定理

18.1 勾股定理（1）

学习目标：

1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。重点：勾股定理的内容及证明。难点：勾股定理的证明。学习过程：

一.预习新知（阅读教材第64至66页，并完成预习内容。） 1正方形A、B 、C的面积有什么数量关系？

2以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么关系？

归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系

A B C

(1)那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？

(2)组织学生小组学习，在方格纸上画出一个直角边分别为3和4的直角三角形，并以其三边为边长向外作三个正方形，并分别计算其面积。

(3)通过三个正方形的面积关系，你能说明直角三角形是否具有上述结论吗？

(4)对于更一般的情形将如何验证呢？

二.课堂展示方法一；如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。 S正方形＝_______________＝____________________

方法二；

已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。求证：a2＋b2=c2。

分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形

ba的面积相等。

a左边S=______________ cb

右边S=_______________ 左边和右边面积相等，即

化简可得。

方法三：

以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC.

D∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,

cca∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.

∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. abAE∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于

cbccaabbDCbAcaBaabcacbab1ab. 2CbB12c. 2又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD∥BC.

∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于_________________

归纳：勾股定理的具体内容是。

三.随堂练习

1.如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）

A⑴两锐角之间的关系：；

(2)若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：； D39

CB(3)三边之间的关系： 2.完成书上P69习题1、2

四.课堂检测

1.在Rt△ABC中，∠C=90°

①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________；

④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC =________。

2.已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则 ⑴c= 。（已知a、b，求c） ⑵a= 。（已知b、c，求a） ⑶b= 。（已知a、c，求b）

3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。 4.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A、25 B、14 C、7 D、7或25 5.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（） A、56 B、48 C、40 D、32

五.小结与反思

18.1 勾股定理（2）

学习目标：

1．会用勾股定理解决简单的实际问题。 2．树立数形结合的思想。

3．经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。 4．培养思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。重点：勾股定理的应用。

难点：实际问题向数学问题的转化。

一.预习新知（阅读教材第66至67页，并完成预习内容。）

1.①在解决问题时，每个直角三角形需知道几个条件？

②直角三角形中哪条边最长？

2.在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m ，求AC长．

问题（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？

（2）一个门框的尺寸如图1所示．

①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？ ②若薄木板长3米，宽1.5米呢？

③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？

图1

二.课堂展示

例：如图2，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．

①求梯子的底端B距墙角O多少米？ ②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C.

算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．

B O 图2

三.随堂练习

1.书上P68练习1、2

2．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。

3．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米。

30 BAAC

3题图 1题图 2题图

四.课堂检测

B A A CO C D O

B D 1．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。

2．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费

A用是多少？

3．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米， ∠B=60°，则江面的宽度为。 BCR4．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为米。 5．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ= 厘米。

6.如图3，分别以Rt △ABC三边为边向外作三个正方形，其面积

分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式．变式：书上P71 -11题如图4．

五.小结与反思

S3AS1CS2BS2

图4

图3

18.1 勾股定理（3）

学习目标:

1、能利用勾股定理，根据已知直角三角形的两边长求第三条边长；并在数轴上表示无理数。 2、体会数与形的密切联系，增强应用意识，提高运用勾股定理解决问题的能力。 3、培养数形结合的数学思想，并积极参与交流，并积极发表意见。重点：利用勾股定理在数轴上表示无理数。

难点：确定以无理数为斜边的直角三角形的两条直角边长。一.预习新知（阅读教材第67至68页，并完成预习内容。）

1.探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示13的点吗？

2.分析：如果能画出长为_______的线段，就能在数轴上画出表示13的点。容易知道，长

为2的线段是两条直角边都为______的直角边的斜边。长为13的线段能是直角边为正整数的直角三角形的斜边吗？

利用勾股定理，可以发现，长为13的线段是直角边为正整数_____、 ______的直角三角形的斜边。 3.作法：在数轴上找到点A，使OA=_____，作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=_____，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示13的点。 4.在数轴上画出表示17的点？（尺规作图）

二.课堂展示

例1已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

例2已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。 ⑴求等边△ABC的高。 ⑵求S△ABC。

三.随堂练习

1.完成书上P71第9题

2．填空题

⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。 ⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。

⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= 。 (4)已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。

2．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形面积。

四.课堂检测

1．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是23cm，则另一条直角边的长是（）

A. 4cm B. 43cm C. 6cm D. 63cm 2．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（） A．42 B．32 C．42 或 32 D．37 或 33

3．一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( )

A. 9分米 B. 15分米 C. 5分米 D. 8分米

A B C D 4．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假

“路”设2步为1米），却踩伤了花草． 3m

4m5. 等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，则底边上的高为，面积为 .

6. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为．

7．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC， AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。

五．小结与反思

BADC

18.2 勾股定理的逆定理（一）

学习目标

1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。 2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。重点：掌握勾股定理的逆定理及简单应用。难点：勾股定理的逆定理的证明。

一.预习新知（阅读教材P73 — 75 , 完成课前预习）

1.三边长度分别为3 cm、4 cm、5 cm的三角形与以3 cm、4 cm为直角边的直角三角形之间有什么关系？你是怎样得到的？

2.你能证明以6cm、8cm、10cm为三边长的三角形是直角三角形吗？

3.如图18.2-2，若△ABC的三边长a、b、c满足a角形，请简要地写出证明过程．

4.此定理与勾股定理之间有怎样的关系？（1）什么叫互为逆命题

（2）什么叫互为逆定理

2b2c2，试证明△ABC是直角三

图18.2-2

（3）任何一个命题都有 _____，但任何一个定理未必都有 __ 5.说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗？（1）两直线平行，内错角相等；

（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；（3）全等三角形的对应角相等；

（4）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。二．课堂展示

例1：判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：（1）a15,b8,c17；（2）a（3）a7,b24,c25；（4）a三.随堂练习

1.完成书上P75练习1、2 2.如果三条线段长a,b,c满足a为什么？

3.A,B,C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？ C

5km 13km

12kmB

4.思考：我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k、4k、5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？

四.课堂检测

1.若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC的形状．

2.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为多少米？此三角形的形状为？

213,b14,c15． 1.5,b2,c2.5；

c2b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？

3.已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD。

求证：△ABC是直角三角形。

BCDA45

五.小结与反思

18.2勾股定理逆定理（2）

学习目标：

1.进一步掌握勾股定理的逆定理，并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围。 2.培养逻辑推理能力，体会“形”与“数”的结合。

3.在不同条件、不同环境中反复运用定理，达到熟练使用，灵活运用的程度。 4.培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值。重点：勾股定理的逆定理

难点：勾股定理的逆定理的应用一.预习新知

D已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。 A求：四边形ABCD的面积。 BCE归纳：求不规则图形的面积时，要把不规则图形二.课堂展示

例1.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

图18.2-3

例2．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。

三.随堂练习

A1.完成书上P76练习3

2.一个三角形三边之比为3：4：5，则这个三角形三边上的高值比为

A 3:4:5 B 5:4:3 C 20:15:12 D 10:8:2

3.如果△ABC的三边a,b,c满足关系式a2b18 +（b-18）2+c30=0则△ABC是 _______三角形。四.课堂检测

1.若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（）

A．等腰三角形； B．直角三角形；

C．等腰三角形或直角三角形； D．等腰直角三角形。 2.若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1：2，试判断△ABC的形状。 3.已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=求：四边形ABCD的面积。

4.小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场B上向东走了80m后，又走60m的方向是。

5.一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

6.已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=14，试判定△ABC的形状。

7.如图，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｆ为ＤＣ的中点，Ｅ为ＢＣ上一点且ＥＣ＝∠ＥＦＡ＝90.

。

D313，CD=，AD=3，且AB⊥BC。 44AC1ＢＣ，求证：4

五.小结与反思

勾股定理复习（1）

学习目标

1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边. 2.勾股定理的应用.

3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形. 重点：掌握勾股定理及其逆定理.

难点：理解勾股定理及其逆定理的应用. 一.复习回顾

在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下：

1.勾股定理：

(1)直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有：————————————.这就是勾股定理． (2)勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据．

a2c2b2,b2c2a2,ca2b2,ac2b2,bc2a2．

勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理．

2.勾股定理逆定理

“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题

222

提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a+b=c)，先构造一个直角边为a,b的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS”证明两个三角形全等，证明定理成立.

3.勾股定理的作用：

(1）已知直角三角形的两边，求第三边；

(2）在数轴上作出表示n（n为正整数）的点．

勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想．

(3)三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，若abc，则三角形是直角三

角形；若abc，则三角形是锐角三角形；若abc，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．

二.课堂展示

例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm和8cm，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?

例2：如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．

22222222

三.随堂练习

1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )

A．7，24，25 B．3

11111，4，5 C．3，4，5 D．4，7，8 222222.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )

A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 3.三个正方形的面积如图1，正方形A的面积为（） A． 6 B． 36 C． 64 D． 8 4.直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（）

A．6cm B．8．5cm C．

A 100 图1 64 3060cm D．cm

13135.在△ABC中，三条边的长分别为a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2+1(n＞1，且n为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角

四.课堂检测

1．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（）

A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm

2．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉

开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）

A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 3．在△ABC中，∠C＝90°，若 a＝5，b＝12，则 c＝＿＿＿

4．等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为＿＿＿． 5．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为＿＿＿．

6．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿＿ 7．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．

8．如图3，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？

五.小结与反思

勾股定理复习(2)

图3

学习目标

1.掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题．

2.经历反思本单元知识结构的过程，理解和领会勾股定理和逆定理．

3.熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发爱国主义思想，培养良好的学习态度．

重点：掌握勾股定理以及逆定理的应用．难点：应用勾股定理以及逆定理．考点一、已知两边求第三边

1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为______． 2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________． 3．在数轴上作出表示10的点．

4．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．求 ①AD的长；②ΔABC的面积．

考点二、利用列方程求线段的长 1．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？ D 50

2.如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．

考点三、判别一个三角形是否是直角三角形

1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17 （4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有

2222

2.若三角形的三别是a+b,2ab,a-b(a>b>0),则这个三角形是 .

3.如图1，在△ABC中，AD是高，且ADBDCD，求证：△ABC为直角三角形。

考点四、灵活变通 1.在Rt△ABC中， a，b，c分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，则边长c=

2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7cm2，8cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为_________cm2．

B2 3.如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外 6 8 壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm

A4.如图：带阴影部分的半圆的面积是（取3）

5.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是 6.若一个三角形的周长12cm,一边长为

3cm,其他两边之差为cm,则这个三角形是______________________． 7.如图：在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是米。考点五、能力提升

1.已知：如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高．求证：AB2-AC2=BC(BD-DC)．

2.如图，四边形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，

且CE1BC．你能说明∠AFE是直角吗？ 4

3.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，

C现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE

D重合，你能求出CD的长吗？

ABE

三.随堂检测

1．已知△ABC中，∠A= ∠B= ∠C，则它的三条边之比为（）．

A．1：1：1 B．1：1 ：2 C．1：2 ：3 D．1：4：1 2．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（）．

A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5，6 D．3，4，5 3．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（）．

2222

A．3 cm B．2 cm C．3 cm D．4cm

4.直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（）

A．6cm B．8．5cm C．30／13cm D．60／13 cm

5.有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了＿＿＿米．

6.一座桥横跨一江，桥长12m，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m，则小船实际行驶＿＿＿m．

7.一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿＿． 8.已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是． 9.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．

10.如图1所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O 的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m．现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端B下降到B′，那么BB′也等于1m吗?

A′ A

图1 11.已知：如图△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．

求：BD的长．

四.小结与反思

复习第一步：：

B′

O 勾股定理的有关计算

例1：（2006年甘肃省定西市中考题）下图阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为．

析解：图中阴影是一个正方形，面积正好是直角三角形一条直角边的平方，因此由勾股定理得正方形边长平方为：172-152=64，故正方形面积为6 勾股定理解实际问题例2．（2004年吉林省中考试题）图①是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm）．其中矩形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为矩形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆旗顶到地面的高度为220cm．在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图②．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h．析解：彩旗自然下垂的长度就是矩形DCEF

的对角线DE的长度，连接DE，在Rt△DEF中，根据勾股定理，得DE=

h=220-150=70(cm)

所以彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为70cm 与展开图有关的计算

例3、（2005年青岛市中考试题）如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点A到顶点C’的最短距离．

析解：正方体是由平面图形折叠而成，反之，一个正方体也可以把它展开成平面图形，如图是正方体展开成平面图形的一部分，在矩形ACC’A’中，线段AC’是点A到点C’的最短距离．而在正方体中，线段AC’变成了折线，但长度没有改变，所以顶点A到顶点C’的最短距离就是在图2中线段AC’的长度．在矩形ACC’A’中，因为AC=2，CC’=1 所以由勾股定理得AC’= ． ∴从顶点A到顶点C’的最短距离为复习第二步：

1．易错点：本节同学们的易错点是：在用勾股定理求第三边时，分不清直角三角形的斜边和直角边；另外不论是否是直角三角形就用勾股定理；为了避免这些错误的出现，在解题中，同学们一定要找准直角边和斜边，同时要弄清楚解题中的三角形是否为直角三角形．

例4：在Rt△ABC中， a，b，c分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，求边长c．错解：因为a=6，b=10，根据勾股定理得 c=

剖析：上面解法，由于审题不仔细，忽视了∠B=90°，这一条件而导致没有分清直角三角形的斜边和直角边，错把c当成了斜边．

正解：因为a=6，b=10，根据勾股定理得，c=

温馨提示：运用勾股定理时，一定分清斜边和直角边，不能机械套用c2=a2+b2 例5：已知一个Rt△ABC的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是错解：因为Rt△ABC的两边长分别为3和4，根据勾股定理得: 第三边长的平方是32+42=25 剖析：此题并没有告诉我们已知的边长4一定是直角边，而4有可能是斜边，因此要分类讨论．

正解：当4为直角边时，根据勾股定理第三边长的平方是25；当4为斜边时，第三边长的平方为：42-32=7，因此第三边长的平方为：25或7．

温馨提示：在用勾股定理时，当斜边没有确定时，应进行分类讨论．

例6：已知a，b，c为⊿ABC三边，a=6，b=8，b53

剖析：此题并没有告诉你⊿ABC为直角三角形，因此不能乱用勾股定理．

正解：由b温馨提示：只有在直角三角形中，才能用勾股定理，因此解题时一定注意已知条件中是否为直角三角形．

2．思想方法：本节主要思想方法有数形结合的思想、方程的思想、化归的思想及分类的思想；

例7：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？

析解：因两直角边AC=6cm，BC=8cm，所以由勾股定理求得AB=10 cm，设CD=x，由题意知则DE=x，AE=AC=6，BE=10-6=4，BD=8-x．在Rt△BDE由勾股定理得：42+x2=(8-x)2，解得x=3，故CD的长能求出且为3．

运用中的质疑点：（1）使用勾股定理的前提是直角三角形；（2）在求解问题的过程中，常列方程或方程组来求解；（3）已知直角三角形中两边长，求第三边长，要弄清哪条边是斜边，哪条边是直角边，不能确定时，要分类讨论．复习第三步：选择题

1．已知△ABC中，∠A= ∠B= ∠C，则它的三条边之比为（）． A．1：1： B．1：：2 C．1：： D．1：4：1

2．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（）． A． B．3 C． D．

3．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（）．

A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5，6 D．3，4，5 4．下列各命题的逆命题成立的是（）

A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等 5．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（）． A． cm2 B．2 cm2 C．3 cm2 D．4cm2

6．在Rt△ABC中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c的长为（）． 7．直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（） A．6cm B．8．5cm C． cm D． cm

8．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（）

A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm

9、有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了＿＿＿米．

10．一座桥横跨一江，桥长12m，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m，则小船实际行驶＿＿＿m．

11．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿＿．

12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，中线BE＝13，另一条中线AD2＝331，则AB＝＿＿＿． 13．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．

14．如图3，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？请你试一试．

15．如图4所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O 的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m．现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端B下降到B′，那么BB′也等于1m吗?

16．在△ABC中，三条边的长分别为a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2+1(n＞1，且n为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角？与同伴一起研究． 15、参考

在Rt△ABO中，梯子AB2＝AO2+BO2＝22+72＝53．在Rt△A′B′O中，梯子A′B′2＝53＝A′O2+B′O2＝32+B′O2，所以，B′O＝＝＝2 ＞2×3＝6．所以BB′＝OB－OB′＜1．

16、参考．因为a2＝n4－2n2+1，b2＝4n，c2＝n4+2n2+1，a2+b2＝c2，所以△ABC是直角三角形，∠C为直角．复习小结通过教学，我们知道勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此要注意直角三角形的条件，要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力。

在不条件、不同环境中反复运用定理，要达到熟练使用，灵活运用的程度

第十九章平行四边形

19.1.1 平行四边形及其性质(一)

教学目标：

1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．

2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 3．培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．重点、难点

4．重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用． 5．难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．教学过程

一.温故知新：

1.有两组对边__________________的四边形叫平形四边形，平行四边形用“______”表示，平行四边形ABCD记作__________。

2.如图□ABCD中，对边有______组，分别是___________________，对角有_____组，分别是_________________，对角线有______条，它们是___________________。二.学习新知：

1.自学课本P83～P84，填空：平行四边形的性质

（1）边：_________________________________________________________ （2）角：_________________________________________________________

例：□ABCD中，如果AB∥CD，那么AB=______，BC=______，∠A=______，∠B=______. 2.看例1，完成课本P84的练习. 三.释疑提高：

1.□ABCD中，两邻角之比为1∶2，则它的四个内角的度数分别是____________. 2.□ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长是__________.

3.如图，在□ABCD中，M、N是对角线BD上的两点，BN=DM，请判断AM与CN有怎样的数量关系，并说明理由.它们的位置关系如何呢？

ANMBCD

4.如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠EAF=60°，BE=2cm，DF=3cm，求□ABCD的周长和面积. 若问题改为CF=2cm，CE=3cm，求□ABCD的周长和面积.

ADFBEC

5.□ABCD中，E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，求CF的长.

DEAB

四.小结归纳：

五．巩固检测

19.1.1 平行四边形的性质(二)

教学目标：

理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．重点、难点

重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．

教学过程

一.温故知新：

1.平行四边形的定义是：_______________________________________________.

2.所学平行四边形的性质有：平行四边形的对边______________，平行四边形的对角______________.

AM3.如图，在□ABCD中，BC=2AB，M是AD的中点，则∠BMC=___________.

二.学习新知：

1.自学课本P85～86内容，填空： B平行四边形的又一个性质是：______________________________，当图形中没有平行四边形的对角线时，往往需作出对角线. 由此得到平行四边形的性质有：

（1）边：_____________ （2）角：_____________ （3）对角线：_____________ 2.看例2，完成课本P86的练习. 三.释疑提高：

D1.在□ABCD中，AC、BD交于点O，已知AB=8cm，BC=6cm，△AOB的周长

是18cm，那么△AOD的周长是_____________.

O2. □ABCD的对角线交于点O，S△AOB=2cm2，则S□ABCD=__________. A57

DCCB3. □ABCD的周长为60cm，对角线交于点O，△BOC的周长比△AOB的周长小8cm，则AB=______cm，BC=_______cm.

4. □ABCD中，对角线AC和BD交于点O，若AC=8，AB=6，BD=m，那么m的取值范围是____________.

5. □ABCD中，E、F在AC上，四边形DEBF是平行四边形.求证：AE=CF.

DEABFC

6.如图，田村有一口四边形的池塘，在它的四角A、B、C、D处均有一棵大桃树.田村准备开挖养鱼，想使池塘的面积扩大一倍，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想？若能，画出图形，说明理由.

ABCD

四.小结归纳：

五．巩固检测

19.1.2 平行四边形的判定（一）

教学目标：

在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．

重点、难点

重点：平行四边形的判定方法及应用．

难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．教学过程一.温故知新

1.如图在平行四边形ABCD中，DB=DC，∠A=65°，CE⊥BD于E，则∠BCE= .

2.如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，已知AE=4，AF=6，□ABCD的周长

AC为40，试求□ABCD的面积。

二.学习新知

1.自学课本P86-P87，掌握平行四边形的判定定理，注意定理条件和结论，并会证明。 58

DFECB2.自学例子，并证明。独立完成P87的练习。三.释疑提高

1.以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有个。 2.一个四边形的边长依次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，这个四边形是。

3.如图，在△ABC的边AB上截取AE=BF，过E作ED∥BC交AC于D，过F作FG∥BC交AC于G，求证：ED+FG=BC。

AEFBDGCDAEFOB第4题图A第5题图EBB第6题图CCDFCAEDDCEAFB4.如图，线段AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO=BO，E、F分别为OC、OD的中点，连结AF、BE，求证AF∥BE。

5.如图，已知O是平行四边形ABCD对角线AC的中点，过点O作直线EF分别交AB、CD于E、F两点，（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）填空，不填辅助线的原因中，全等三角形共有对。

6.如图，在□ABCD中，点E是AD的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F，（1）求证：△ABE≌△DFE；（2）试连结BD、AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论。

四.小结归纳

五.巩固检测．

第3题图

19.1.2平行四边形的判定（二）

重点、难点

1．重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法．

2．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用．一.温故知新

1.如图在□ABCD中，EF∥AD，MN∥AB，EF、MN相交于点P，图中共有个

平行四边形。

2.如果平行四边形的两条对角线长分别为8和12，那么它的边长不能取（） A. 10 B. 8 C. 7 D. 6

3.如图，在□ABCD中，AC、BD交于点O，EF过点O分别交AB、CD于E、F，AO、CO的中点分别为G、H，求证：四边形GEHF是平行四边形。二.学习新知

1.自学课本P88平行四边形的判定定理，注意定理条件和结论，并会证明。 2.自学例子，掌握三角形中位线概念和中位线定理，并会证明。 3.掌握平行线间的距离。 4.完成P90面练习1.2.3。

ADFHOGEBC三.释疑提高

1.如图，△ABC是等边三角形，P是其内任意一点，PD∥AB，PE∥BC，DE∥AC，若△ABC周长为8，则PD+PE+PF= 。

2.四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC交AD于E， DF平分∠ADC交BC于

B点F，求证：四边形BFDE是平行四边形。

3.已知□ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，AF与EB交于G，CE与DF交于H，求证：四边形EGFH为平行四边形。

4.如图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，∠A=120°，∠B=60°，∠BCD=150°，求AD的长。

ADADEPCFBC

5.已知BE、CF分别为△ABC中∠B、∠C的平分线，AM⊥BE于M，AN⊥CF于N，求证MN∥BC。

AEMBFNC

6.如图，在□ABCD中，EF∥AB交BC于E，交AD于F，连结AE、BF交于点M，连结

1CF、DE交于点N，求证：（1）MN∥AD；（2）MN=AD

四.小结归纳

FDNC

五.巩固检测

六、课堂练习

BE1．（选择）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）．

（A）AB∥CD，AD=BC （B）∠A=∠B，∠C=∠D （C）AB=CD，AD=BC （D）AB=AD，CB=CD 2．已知：如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB=ED=BC，找出图中的平行四边形，并说明理由．

3．已知：如图，在ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线．

求证：四边形AFCE是平行四边形．

七、课后练习 1．判断题：

(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形； ( ) (2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ( ) (3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ( ) (4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ( ) (5)对角线相等的四边形是平行四边形； ( ) (6)对角线互相平分的四边形是平行四边形． ( )

2．延长△ABC的中线AD至E，使DE=AD．求证：四边形ABEC是平行四边形． 3．在四边形ABCD中，(1)AB∥CD；(2)AD∥BC；(3)AD＝BC；(4)AO＝OC；(5)DO＝BO；(6)AB＝CD．选择两个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的共有________对．（共有9对）

19.1.2（三）平行四边形的判定——三角形的中位线

一、

教学目标：

1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．

2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算． 3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．

4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．二、

重点、难点

1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质．

2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．三、例题的意图分析

例1是教材P98的例4，这是三角形中位线性质的证明题，教材采用的是先证明后引出概念与性质的方法，它一是要练习巩固平行四边形的性质与判定，二是为了降低难度，因此教

师们在教学中要把握好度．

建议讲完例1，引出三角形中位线的概念和性质后，马上做一组练习，以巩固三角形中位线的性质，然后再讲例2．

例2是一道补充题，选自老教材的一个例题，它是三角形中位线性质与平行四边形的判定的混合应用题，题型挺好，添加辅助线的方法也很巧，结论以后也会经常用到，可根据学生情况适当的选讲例2．教学中，要把辅助线的添加方法讲清楚，可以借助与多媒体或教具．四、课堂引入

1．平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？ 2．你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？

（答：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．） 3．创设情境

实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图）

图中有几个平行四边形？你是如何判断的？

五、例习题分析

例1（教材P98例4）如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的

1中点，求证：DE∥BC且DE=BC．

2 分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．

方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，

11DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．

22（也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）

方法2：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形．所以AD∥FC，且AD=FC．因为AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四边形ADCF是平行四边形．所以DF∥BC，且DF=BC，因为DE=

11DF，所以DE∥BC且DE=BC． 2262

定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．【思考】：

（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？

（答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线．（2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．）三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．

〖拓展〗利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗？（让学生口述理由）

例2（补充）已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点．

求证：四边形EFGH是平行四边形．

分析：因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关

系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．

证明：连结AC（图（2）），△DAG中， ∵ AH=HD，CG=GD，

1AC（三角形中位线性质）． 21同理EF∥AC，EF=AC．

2∴ HG∥AC，HG=∴ HG∥EF，且HG=EF． ∴ 四边形EFGH是平行四边形．

此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．

六、课堂练习

1．（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是 m，理由是．

2．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．

3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，（1）若EF=5cm，则AB= cm；若BC=9cm，则DE= cm；（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．七、课后练习

1．（填空）一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是 cm．

2．（填空）已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长是 cm． 3．已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．

19.2.1 矩形(一)

教学目标：

1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系． 2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题． 3．渗透运动联系、从量变到质变的观点．重点、难点

1．重点：矩形的性质．

2．难点：矩形的性质的灵活应用．教学过程

一、温故知新：回顾平行四边形有哪些性质？然后填空。 1、平行四边形的__________相等。表示方法：若四边形ABCD是平行四边形，则___________; 2、平行四边形的__________相等。表示方法：若四边形ABCD是平行四边形，则___________; 3、平行四边形的对角线________.表示方法：在□ ABCD中，AC与BD相交于O，则______________

4、平行四边形的对称性：平行四边形是___对称图形，而不是______对称图形，对角线的交点是平行四边形的_________. 二、学习新知：自学P94-95页。自学引导：①平行四边形活动框架在变化过程中，哪些量发生了变化？哪些量没有变化？从中得到哪些结论？你能试着说明结论是否成立？

②矩形的一条对角线把矩形分成两个什么三角形？矩形的两条对角线把矩形分成四个什么样的三角形？

1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形，叫做矩形。由此可见，矩形是特殊．．．．．．．的，它具有平行四边形的所有性质。

2．结合上面两个图形说说矩形有哪些平行四边形不具有的特殊性质？．．．．

3．证明：矩形的四个角都是直角

已知：如图，图形：画在下面求证：___________________ 证明：

4．证明：矩形对角线相等

已知：如图，图形：画在下面求证：

证明：

三、探索活动

问题一如图，矩形ABCD，对角线相交于O，观察对角线所分成的三角形，你有什么发现？

ADOBC

问题二将目光锁定在Rt△ABC中，你能发现它有什么特殊的性质吗？证明：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．”

已知：图形：画在下面求证：证明：

问题三上面结论的逆命题是：。是否正确？请给予证明。

四、例题学习

例：已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，且AC=2AB。求证：△AOB是等边三角形。(注意表达格式完整性与逻辑性)

AOBCD

拓展与延伸：本题若将“AC=2AB”改为“∠BOC=120°”，你能获得有关这个矩形的哪些结论？五、练习 1、P96面1

2、已知：如图，E为矩形ABCD内一点，且EB=EC。求证：EA=ED.

AEDBC

六、本节课你的收获是什么？

七、提高训练：1.如图,矩形纸片ABCD,且AB=6cm,宽BC=8cm，将纸片沿EF折叠，使点B与点D重合，求折痕EF的长。

AEFDBC

2.已知矩形ABCD中,对角线交于点O,AB=6cm,BC=8cm,P是AD上一动点,PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值是多少？这个值会随点P的移动（不与A、D重合）而改变吗？请说明理由.

AEBPFCD

3.已知：如图，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，∠BOC=120°，AB=4cm。求矩形对角线的长。

AOBCD

4.如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，交CD于点E，点F在边BC上， ① 如果FE⊥AE，求证FE=AE。②如果FE=AE 你能证明FE⊥AE吗？

DECFAB

19.2.1 矩形(二)

教学目标：

理解并掌握矩形的判定方法．

使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力重点、难点

重点：矩形的判定．

难点：矩形的判定及性质的综合应用．教学过程

一、温故知新：1.矩形是轴对称图形，它有______条对称轴．

2.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，•边BC=•8cm，•则△ABO的周长为________．

3.想一想：矩形有哪些性质？在这些性质中那些是平行四边形所没有的？列表进行比较. 边角对角线平行四边形矩形二、学习新知：自学教材95—96页

1、矩形是特殊的平行四边形，怎样判定一个平行四边形是矩形呢?请说出最基本的方法：矩形具有平行四边形不具有的性质是：思考：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？（得到矩形的一个判定） 2.做一做：按照画“边 ―直角、边－直角、边－直角、边”这样四步画出一个四边形.判断它

是一个矩形吗?说明理由. （探索得到矩形的另一个判定）总结：矩形的判定方法．矩形判定方法1：______________________________ 矩形判定方法2：_______________________________ （指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角．）

3.议一议：下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？

（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（）（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（）

（3）四个角都相等的四边形是矩形；（）（4）对角线相等的四边形是矩形；（） (5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（）（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）

（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（）（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（）（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． ( )

三、例题学习。例1.：已知□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积．

AOBCD

例2 已知：如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H．求证：四边

形EFGH是矩形．

例3

AGFEBCHD

练习二：（选择）下列说法正确的是（）．

（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形（C）对角线互相平分的四边形是矩形（D）对角互补的平行四边形是矩形 2.满足下列条件（）的四边形是矩形。 A．有三个角相等 B.有一个角是直角 C.对角线相等且互相垂直 D.对角线相等且互相平分

判断：（补充）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（×）（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（√）（3）四个角都相等的四边形是矩形；（√）（4）对角线相等的四边形是矩形；（×）（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（×）（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（√）（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（×）（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（√）（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． (√) 指出：

（l）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；

（2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论．

3 ．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得 DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形．

4.已知：如图，在平行四边形ABCD中，E为CD中点，三角形ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。

AED

四：处理教材96页练习2，102页习题2、3。五：你学到了什么？相互说一说。

六、巩固训练：

1、在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）．

A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三角形是否都为直角 2、能判断四边形是矩形的条件是（）

A、两条对角线互相平分 B、两条对角线相等

C、两条对角线互相平分且相等 D、两条对角线互相垂直。

3、如图,EB=EC,EA=ED,AD=BC, ∠AEB=∠DEC,证明:四边形ABCD是矩形.

EADBC

4、已知四边形ABCD中AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是矩形。

5、如图，M、N分别是平行四边形ABCD对边AD、BC的中点，且AD=2AB，求证，四边形PMQN是矩形。

APBNMQCDBC

19.2.2 菱形（一）

教学目的：

掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．

理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．

通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．

根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．

重点、难点

教学重点：菱形的性质1、2．

教学难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用．教学过程

一、研读教材，解读目标：

1、叫做菱形。菱形是的平行四边形。

2、探究菱形的性质，并用模式表述菱形的特殊性质：

3、解析教材97页探究与98页例题2与练习题1、2，102页习题5、11、12

二、知识梳理

有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.与一般平行四边形相比，菱形具有哪些性质？定理：（菱形的边）（菱形的角）

定理: ______________ （菱形的对角线）三、定理证明：（小组合作，先交流命题证明方法和步骤，然后自己完成证明再与组长交流）

AOBCD

四、典型例题

例3. 如图3个全等的菱形构成的活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离(比如AC两点可以自由上下活动)，若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间的距离为24厘米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是

FEAA多少？

五、合作交流 C1.证明：菱形的面积是它两条对角线长的乘积的一半.

2.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，求证：OE=OF=OG=OH.

AEBOGFCHDDMBODGHC

六、小结

菱形的边和对角线有不同于一般的平行四边形的性质，有关菱形的几何计算问题可以化为_______三角形（_____三角形、等腰三角形），利用特殊三角形的性质来计算。七、课堂练习

1.己知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为 .

FABCDE

2．已知四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AC=8cm，DB=6cm，这个菱形的边长是________cm．

3．已知菱形的边长是5cm，一条对角线长为8cm，则另一条对角线长为______cm． 4．四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AB=12cm，则∠ABD的度数为____ ， ∠DAB的度数为______；对角线BD=_______，AC=_______；菱形ABCD的面积为_______．八、目标达成训练

1．下列图形中，即是中心对称图形又是轴对称图形的是（） A．等边三角形 B．菱形 C．等腰梯形 D．平行四边形 2.(09河北)如图，在菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对角线AC等于（） A．20 B．15 C．10 D．5

3.（09南宁）如图2，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（） A．10cm2 B．20cm2 C．40cm2 D．80cm2 D D D A

A A C C P E E

F B

第3题图第5题图第6题图第7题图 4．菱形的两条对角线长分别为6和8，则它的面积为________，周长为_________。

5.（09宁波）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（） A．△AOM和△AON都是等边三角形 B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形

C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形

6．（选做，09杭州）如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F

分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（） A．35° B．45° C．50° D．55° 7．（选做，07咸宁）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC

于点E，交AB于点F，F为垂足，连接DE，则∠CDE＝_________ 8．求证：菱形的对角线的交点到各边的距离相等。

19.2.2 菱形（二）

教学目的：

理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．重点、难点

教学重点：菱形的两个判定方法．

教学难点：判定方法的证明方法及运用．教学过程

一：复习：菱形有哪些特殊性质？

5．边：__________________________;______________________________ 6．角：__________________________;______________________________

7．对角线：_____________________________;___________________________________ 二、学习新知

目标一：会用菱形的定义判定一个四边形是否是菱形，并会用该种方法进行有关的证明. 1. （菱形的判定方法一）菱形的定义：

有的叫做菱形. 2.用符号语言可以表示为：

∵四边形ABCD是四边形 ∵ ___ ＝____， ∴□ ABCD是菱形

3.如图在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D点，过D作DE∥AC交AB于E点, 过D作DF∥AB交AC于F点.

求证：（1）四边形AEDF是平行四边形（2）∠2﹦∠3 （3）四边形AEDF是菱形

A12E3FDC

目标二：探究并掌握菱形的判定方法二 1.( 画图)自学99页最后三行的画图过程,

用圆规画出菱形ABCD,图画在右边(保留作图痕迹) 2.你发现四边形ABCD四边的关系是： 3.（猜想）四边相等的四边形ABCD是一个_____形.

4.（证明）利用上图证明：“四边相等的四边形是菱形” 已知：如上图，在四边形_______中，____=____=____=____ 求证：四边形ABCD是_____. 证明：

BAB5.（总结）由上写出菱形的判定方法二:_______ . 利用上图用符号语言表示为：在四边形ABCD中，

∵ ____=____=____=____ ∴四边形ABCD是形目标三:探究并掌握菱形的判定方法三

阅读99页“探究”，利用自制的学具探究菱形的判定方法并完成下面各题 B 1.由“在一长一短的木条中点处固定一个小钉”可知： = ， =

A ∴四边形ABCD是四边形

o 2.转动十字，当∠_____= °时即___ ⊥ ___时，四边形变成了菱形. 3. （猜想）对角线互相____ 的平行四边形是菱形. D 4.请利用下图证明你的猜想：

已知：如图，在□ABCD中，AC和BD是对角线，并且AC⊥BD于点O,求证：□ABCD是菱形.

BODCC

5.总结写出菱形判定方法三:

利用上图用符号语言可以表示为：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AC___BD，∴□ABCD是菱形

目标四：利用菱形判定方法进行计算和证明 1.自学99页例三完成下题“在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，并且AB=9，OB=6，OA=35.求证：（1）AC⊥BD （2）□ABCD是菱形吗？说说你的理由. （3）求四边形ABCD的面积.

BAODC

2.判断题，对的画“√”错的画“×”

(1).对角线互相垂直的四边形是菱形（）

(2).一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（） (3)..对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（） (4).对角线相等的四边形是菱形（）三、小结：菱形的常用判定方法

四：拓展延伸

1.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？求证：（1）四边形ABCD是平行四边形

(2) 过A作AE⊥BC于E点, 过A作AF⊥CD于F.用等积法说明BC=CD. (3) 求证：四边形ABCD是菱形.

ADFBEC

2.已知：如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形。

AFBEDHC

3. 如图，AC⊥BC，AE平分∠CAB，CD⊥AB，EF⊥AB，连接FG，求证：CEFG为菱形.

CGA12GEDFB

19.2.3 正方形

教学目的

1.掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．

2. 理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．重点、难点

教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．

性质判定方法

边： 1. 角： 2. 矩形

对角线：

对称性：

边：

2. 菱形角

3. 对角线：

对称性：

二.学习新知

自学教材100-101页，落实：

边：角

对角线：对称性：

性质

判定方法

正方形

三、释疑提高

1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____．

2．下列说法是否正确，并说明理由．

①对角线相等的菱形是正方形；（） ②对角线互相垂直的矩形是正方形；（） ③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（） ④四条边都相等的四边形是正方形；（） ⑤四个角相等的四边形是正方形．（）

3．已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．求证：∠AFE＝∠AEF．

D C 4．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD与∠ECD的度数．

四、课后练习

1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF．

2．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．

3．已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．

19.2.3 正方形学案2

一、温故知新

1.有一组邻边____ __，且有一个角____ __的平行四边形是正方形。

2.正方形的四边____ __，四角____ __，对角线____ __且____ __；正方形既是矩形，又是____ _；既是轴对称图形，又是____ ______ __。 3.如图正方形ABCD的边长为8，DM=2，N为AC上一点，则DN+MN的最小值为 . 4.如图，正方形ABCD边长为2，两对角线交点为O，OEFG也为正方形，则图中阴影部分面积为 .

5.如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为． 6. 如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为200，则BE的值是 .

ADMAMGDFADEONNC第4题图EB第5题图C

BD第3题图CC

FABE第6题图

二、学习新知

作业精编55页例1、例2（独立写出过程）

三、释疑提高

1.如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE，求证：BE+DF=AE.

ADFBEC

2. 如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，DF=CF，DC+CE =AE，求证：AF平分∠DAE.

ADFBEC

3.如图，BF平行于正方形ADCD的对角线AC，点E在BF上，且AE=AC，CF∥AE，求∠BCF.

DCFEAB

四、小结归纳

五、巩固检测：

19．3 梯形（一）

教学目标：

1．探索并掌握梯形的有关概念和基本性质，探索、了解并掌握等腰梯形的性质． 2．能够运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算，进一步培养学生的分析问

题能力和计算能力．

3．通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换

的方法和转化的思想．

重点、难点

重点：等腰梯形的性质及其应用．

难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线），及梯形有关知识的应用．教学过程一、课堂引入

1．创设问题情境——引出梯形概念．

【观察】（教材P117中的观察）右图中，有你熟悉的图形吗？它们有什么共同的特点？

2．画一画：在下列所给图中的每个三角形中画一条线段，【思考】（1）怎样画才能得到一个梯形？（2）在哪些三角形中，能够得到一个等腰梯形？

梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．

（强调：①梯形与平行四边形的区别和联系；②上、下底的概念是由底的长短来定义的，而并不是指位置来说的．）

（1）一些基本概念（如图）：底、腰、高．

（2）等腰梯形：（3）直角梯形：

3．做—做——探索等腰梯形的性质（引入用轴对称解决问题的思想）．

在一张方格纸上作一个等腰梯形，连接两条对角线．

【问题一】图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角？这个图形是轴对称图形吗？学生画图并通过观察猜想；

【问题二】这个等腰梯形的两条对角线的长度有什么关系？结论： ①等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴． ②等腰梯形同一底上的两个角相等． ③等腰梯形的两条对角线相等．二、例习题分析

例1（教材P118的例1）略．

（延长两腰梯形辅助线添加方法三）

例2（补充）如图，梯形ABCD中，AD∥BC， ∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．

求CD的长．

分析：设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便可以解决问题．其方法是：平移一腰，过点A作AE∥DC交BC于E，因此四边形AECD是平行四边形，由已知又可以得到△ABE是等腰三角形（EA=EB），因此CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm．解（略）．

例3 （补充）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠CAB＝∠ABC， BE⊥AC于E．求证：BE＝CD．

分析：要证BE=CD，需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方

法是：平移一腰，过点D作DF∥AB交BC于F，因此四边形ABFD是平行四边形，则DF=AB，由已知可导出∠DFC=∠BAE，因此Rt△ABE≌Rt△FDC（AAS），故可得出BE=CD．

证明（略）

另证：如图，根据题意可构造等腰梯形ABFD，证明△ABE≌△FDC即可．

三、随堂练习 1．填空

（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC= ．

（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是和．（3）等腰梯形 ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD= ．

2．已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，梯形周长是20cm，求梯形的各边的长．（AD=DC=BC=4，AB=8） 3．求证：等腰梯形两腰上的高相等．四、课后练习

1．填空：已知直角梯形的两腰之比是1∶2，那么该梯形的最大角为，最小角为． 2．已知等腰梯形的锐角等于60°它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长和面积． 3．已知：如图，梯形ABCD中，CD//AB，A40，B70．求证：AD=AB—DC．

4．已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE，求证：AD+BC=DC．（延长DE交CB延长线于点F，由全等可得结论）

19．3 梯形（二）

教学目标：

1．通过探究教学，使学生掌握“同一底上两底角相等的梯形是等腰梯形”这个判定方法，及其此判定方法的证明．

2．能够运用等腰梯形的性质和判定方法进行有关的论证和计算，体会转化的思想，数学建模的思想，会用分析法寻求证明题思路，从而进一步培养学生的分析能力和计算能力． 3．通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想．重点、难点

1．重点：掌握等腰梯形的判定方法并能运用． 2．难点：等腰梯形判定方法的运用．教学过程

一、温故知新

1.等腰梯形的两底差等于腰长，腰与下底边两夹角为_______________. 2.一个梯形的两底长分别为6和8，则这个梯形的中位线长为____________. 3.如图（1），等腰梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AD，BC=CD，∠A=60°，CD=2cm.（1）求∠CBD的度数；（2）求下底AB的长.

二、学习新知

1.自学P107-108，填空：等腰梯形的判定定理____________________________________________ 2.自学例2，并完成P108练习3、4，P109-110 3、7. 三、释疑提高

1．下列说法中正确的是（）．

（A）等腰梯形两底角相等（B）等腰梯形的一组对边相等且平行（C）等腰梯形同一底上的两个角都等于90度（D）等腰梯形的四个内角中不可能有直角

DA60CB(1)2．已知等腰梯形的周长25cm,上、下底分别为7cm、8cm，则腰长为_______cm． 3．已知等腰梯形中的腰和上底相等，且一条对角线和一腰垂直，求这个梯形的各个角的度数．

4.下列命题中，是真命题的为（）

A、有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 B、有一组对角互补的梯形是等腰梯形

C、有一组邻角相等的四边形是等腰梯形 D、有两组邻角分别相等的四边形是等腰梯形

5.已知梯形的两底长分别为6、8，一腰长为7，则另一腰长a的到值范围是____________.若a为奇数，则此时梯形为____________梯形.

6.如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于D，E、F、G分别是AC、AB、BC的中点.求证：四边形DEFG是等腰梯形.

AFE

7. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB＝AD＝DC,∠B＝60º.(1)求证：AB⊥AC；(2)若DC＝6,求梯形ABCD的面积 .

ADBGDCBC

8．如图，梯形ABCD中，CD∥AB，CM平分∠BCD交DA于点M，若AB+CD=BC.

（1）求证：BM⊥MC；（2）求证：AM=DM；（3）若△CDM、△CBM、△ABM的面积分别为S1、S2、S3，试直接写出S1、S2、S3之间的关系.

DMCAB

四、小结归纳

五、巩固检测：

《19.平行四边形》复习学案

考点透视

1.平行四边形与特殊的平行四边形的关系：矩形

有一个角是直角，平行四边形且有一组邻边相等正方形

菱形

用集合表示为：

平行四边形菱形矩形正方形

2.平行四边形与特殊的平行四边形的性质与判定：平行四边形边对边平行且相等角对角相等矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等菱形对角相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角正方形四个角都是直角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角是矩形，且有一组邻边相等；是菱形，且有一个角是直角. 对边平行，四边相等对边平行，四边相等性质对角互相平分线两组对边分别平行；两组对边分别相等；判定一组对边平行且相等；两组对角分别相等；两条对角线互相平分. 有三个角是直角; 四边相等的四边形；是平行四边形且是平行四边形且是平行四边形且有是平行四边形且两有一个角是直角; 一组邻边相等；两条对角线相等. 条对角线互相垂直. 81

对称性面积只是中心对称图形 S= ah S=ab 既是轴对称图形，又是中心对称图形 S=1d1d2 2S= a2 3.三角形中位线定理.

4.梯形、等腰梯形、直角梯形的性质与判定. 例题选讲

类型一、平行四边形的性质与判定

例1.如图，ABCD为平行四边形，E、F分别为AB、CD的中点，①求证：AECF也是平行四边形；②连接BD，分别交CE、AF于G、H，求证：BG=DH；③连接CH、AG，则AGCH也是平行四边形吗？

DHGAEBFC

例2. 如图，已知在平行四边形ABCD 中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠EAF＝60 o，CE=3cm，FC=1cm，求AB、BC的长及ABCD面积.

A60oDF

类型二、矩形、菱形的性质与判定

例3. 如图，在矩形ABCD中，对角线交于点O，DE平分∠ADC，∠AOB＝60°，则∠COE＝．

EBCAOD

例4. 如图，矩形ABCD中的长AB＝8cm，宽AD＝5cm，沿过BD的中点O的直线对折，使B与D点重合，求证：BEDF为菱形，并求折痕EF的长．

EDECBCO

类型三、正方形的性质与判定

例6. 如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF=50°，则∠CME+∠CNF= ．

AFB82

DNFCEM

类型四、与三角形中位线定理相关的问题

例7. 如图，BD=AC，M、N分别为AD、BC的中点，AC、BD交于E，MN与BD、AC分别交于点F、G，求证：EF=EG.

AEBMGFNCDAB

类型五、梯形、等腰梯形、直角梯形的相关问题例8. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，则你可得到哪些结论？

A1D2E3F4BC

例9. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD=CD，AB＜CD，且∠ABC为锐角，若AD=4，BC=12，E为BC上一点.问：当CE分别为何值时，四边形ABED是等腰梯形？请说明理由.

ADBEC

能力训练

1．在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥BC于点E，且DE＝OC，OD＝2，则AC＝． 2．如图，正方形OMNP的一个顶点与正方形ABCD的对角线交点O重合，且正方形ABCD、OMNP的边长都是acm，则图中重合部分的面积是 cm2．

NPADMOB第2题图CMBCBMCANDAEDC'DD'第5题图ACB'B

3.如图，设M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，MD与NC相交于点P，若△PCD的面积是S，则四边形AMPN的面积是 .

4.如图，M为边长为2的正方形ABCD对角线上一动点，E为AD中点，则AM+EM的最小值为 .

第3题图第4题图83

5.边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30 o到正方形ABCD，图中阴影部分的面积为 .

6.在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC＝8cm，BD＝8cm，则此梯形的高为 cm

ADAFAEGB第6题图CB第7题图CBN第8题图CEB第9题图DAMDDPC

7.如图，正方形ABCD的对角线长82，E为AB上一点，若EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，则EF＋EG＝．

8.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，•直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为________． 9.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．

10.菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为______，面积为_______． 11.如图，是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指锐角）是___________度． A12. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC．C=∠90 o，且AB=AD．连结BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．如果EC=3cm，CD=4cm，那么，梯形ABCD的面

BE积是_______________cm2．

13.在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AF⊥BD，CE⊥BD，垂足分别为E、F；连结AE、CF，得四边形AFCE，求证：AFCE是平行四边形.

AOFBCEDDC

14. □ABCD中，AE、CF、BF、DE分别为四个内角平分线，求

证：EGFH是矩形.

AGEFHCD

15. 如图，∠BAC=90 o，BF平分∠ABC交AC于F，EF⊥BC于E，AD⊥BC于D，交BF于G．求证：四边形AGEF为菱形．

BAFGBEC

16. 如图（1），在正方形ABCD中，M为AB的中点，E为AB延长线上一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于点N．（1）DM与MN相等吗？试说明理由．（2）若将上述条件“M为AB的中点”改为“M为AB上任意一点”，其余条件不变，如图2，则DM与MN相等吗？为什么？

D84

DCDCNMAN

17. 如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，DF=CF，DC+CE =AE，求证：AF平分∠DAE.

ADFBEC图1BEAM图2BE

18.如图，AB=CD，BA、CD延长线交于点O，且M、N分别为BD、AC的中点，MN分别交AB、CD于E、F求证：OE=OF.

OAEMNDF

19.△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD=BF，以AD•为边作等边△ADE．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°？•证明你的结论．

B20题图CAEFBDC

第19章《平行四边形》测试题（较高要求）

一.选择题（3分×10=30分）

1．若菱形ABCD中，AE⊥BC于E，菱形ABCD面积为48cm2，AE=6cm，则AB的长度为（）

A．12cm B．8cm C．4cm D．2cm

2．一组对边平行，并且对角线互相垂直相等的四边形是（）

A．菱形或矩形; B．正方形或等腰梯形; C．矩形或等腰梯形; D．菱形或直角梯形

3．如图，梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC、BD交于O，则图中面积相等的三角形有（ • ）

A．4对 B．3对 C．2对 D．1对

AODADEFBC3题图RAEDFC8题图B4题图PCB

4．如图，已知矩形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，下列结论成立的是（）

A.线段EF的长逐渐增大 B.线段EF的长逐渐减小 C.线段EF的长不改变 D.线段EF的长不能确定

5．梯形的两底长分别是16cm、8cm，两底角分别是60°、30°，则较短的腰长为（） A．8cm B．6cm C．10cm D．4cm

6．在下面图形中，每个大正方形网格都是由边长为1的小正方形组成，•则图中阴影部分面积最大的是（）

ABCD

7．A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD这四个条件中任取两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种

8．如图，正方形ABCD中，∠DAF=25°，AF交对角线BD于点E，那么∠BEC等于（） A．45° B．60° C．70° D．75°

9．如图，四边形ABED与四边形AFCD都是平行四边形，AF和DE相交成直角，AG=3cm，DG=4cm，ABED的面积是36cm2，则四边形ABCD的周长为（）

A．49cm B．43cm C．41cm D．46cm

BE9题图 AGDFC10．直角梯形的一个内角为120°，较长的腰为6cm，有一底边长为5cm，•则这个梯形的面积为（） A．213921393cm2 B．3cm2 C．253cm2 D．3cm2或3cm2 2222二、填一填（3分×10=30分）

11．平行四边形的重心是它的_________．

12．一个矩形的面积为a2-2ab+a，宽为a，则矩形的长为_________．

13．四边形一个内角为60°，四条边顺次是a、b、c、d，且a2b2c2d22ac2bd，则这个四边形是____________．

14．梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=4，AB=8，BC=10，则CD=________． 15．平行四边形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，对边AD和BC间的距离是4cm，•则对边AB和CD间的距离是_________．

16．折叠矩形纸片ABCD，使点B与点D重合，折痕为分别交AB、CD于E、F，若 AD=4cm，AB=10cm，•则DE=_______cm．

17．菱形两对角线长分别为24cm和10cm，则菱形的高为_________． 18．如图，延长正方形ABCD的一边AB到点E，使BE=AC，则 ∠E=________．

19．等腰梯形中位线长15cm，一个底角为60°，且一条对角线平分这个角，则这个等腰梯形周长是________．

20．菱形有一个内角是120°，有一条对角线为6cm，则此菱形的边长是______．三、解答题

21．（6分）如图，有两只蜗牛分别位于一个正方形相邻的两个顶点C、B上，它们分别向AD和CD边爬行，如果它们爬行的路线BE和CF互相垂直．试比较它们爬行距离的长短（要有过程）．

AFDABEDC18题图

EBC

22．（6分）已知：如图，△ABC和△DBC的顶点在BC边的同侧，AB=DC，AC=BD交于E，∠BEC的平分线交BC于O，延长EO到F，使EO=OF．求证：四边形BFCE是菱形．

AEDBOFC

23．（8分）如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠EAF=60°，CF=2cm，CE=3cm，求□ABCD的周长和面积.

ADFBEC

24．（8分）如图，AC⊥BC，AE平分∠CAB，CD⊥AB，EF⊥AB，连接FG，求证：CEFG为菱形.

CGA12EDFB

25．（10分）在矩形纸片ABCD中，AB=33，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P外，•点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°．（1）求BE、QF的长；（2）求四边形PEFH的面积．

QAPHFDBEC

26．（10分）如图，梯形ABCD中，∠DBC=30°，DB=123，AC=243，EF为梯形的中位线．求梯形的面积及EF的长．

ADFEBC

27．（10分）如图，梯形ABCD中，CD∥AB，AC=BC，且AC⊥BC，AB=AD，求∠CAD.

CDA88

28．（12分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠ECD=45°，若AB=BC=12，ED=10，求△CED面积.

ADEB89

第二十章数据的分析

20.1数据的代表

20.1.1平均数（第一课时）

一、教学目标：

1、使学生理解数据的权和加权平均数的概念 2、使学生掌握加权平均数的计算方法

3、通过本节课的学习，还应使学生理解平均数在数据统计中的意义和作用：描述一组数据集中趋势的特征数字，是反映一组数据平均水平的特征数。二、重点、难点和难点突破的方法： 1、重点：会求加权平均数 2、难点：对“权”的理解 1、加深对加权平均数的理解

2、会根据频数分布表求加权平均数，从而解决一些实际问题 3、会用计算器求加权平均数的值

第二十章数据的分析

课题 20.1 数据的代表课时：六课时

第一课时 20.1.1 平均数

【学习目标】

1、使学生理解数据的权和加权平均数的概念 2、使学生掌握加权平均数的计算方法

3、通过本节课的学习，还应使学生理解平均数在数据统计中的意义和作用：描述一组数据集中趋势的特征数字，是反映一组数据平均水平的特征数。【重点难点】

重点：会求加权平均数难点：对“权”的理解【导学指导】

学习教材P124-P127相关内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题： 1．你认为P124“思考”中小明的做法有道理吗？为什么?

2．正确的解法应是怎样的？请谈谈你的看法。

3．什么是加权平均数？

4． P125“例1”中，所求的结果已不再是各人听说读写成绩的简单平均，而是听说读写

成绩的加权平均数，它们的权分别是多少？

5． P126“例2”中，两名选手的单项成绩都是两个95分与一个85分，为什么他们的最

后得分不同呢？谈谈你对权的作用的体会。

【课堂练习】

1．教材P127练习第1,2题。 2、在一个样本中，2出现了x1次，3出现了x2次，4出现了x3次，5出现了x4次，则这个样本的平均数为 .

3、某人打靶，有a次打中x环，b次打中y环，则这个人平均每次中靶环。 4、一家公司打算招聘一名部门经理，现对甲、乙两名应聘者从笔试、面试、实习成绩三个方面表现进行评分，笔试占总成绩20%、面试占30%、实习成绩占50%，各项成绩如表所示：

应聘者甲乙笔试 85 面试 83 实习 90 80 85 92 试判断谁会被公司录取，为什么？

5、在一次英语口试中，已知50分1人、60分2人、70分5人、90分5人、100分1人，其余为84分。已知该班平均成绩为80分，问该班有多少人？

6、某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了三项素质测试，他们的各项测试成绩如下表所示：测试项目甲创新综合知识语言 74 85 45 测试成绩乙 66 72 66 丙 70 50 90 （1）如果根据三项测试平均成绩确定录用人选，那么谁将被录取？

（2）根据实际需要，公司将创新、综合知识、语言三项测试得分按4:2:2的比例

确定各人的测试成绩，此时谁将被录用？

【要点归纳】

你今天有什么收获？与同伴交流一下。

【拓展训练】

学校对各个班级的教室卫生情况考察包括以下几项：黑板、门窗、桌椅、地面。三个班的各项卫生成绩情况分别如下： 1班 2班 3班

黑板门窗桌椅地面 8.5 9.5 9 9 8.5 9.5 9.5 9 9 9 9 8.5 请你设计一个评分方案，并根据你的评分方案计算一下哪个班的卫生情况最好？

20.1数据的代表

第二课时 20.1.1 平均数

【学习目标】

1．理解把算术平均数的简便算法看成加权平均数的道理，进一步加深对加权平均数

的认识。

2．能根据频数分布表利用组中值的方法计算加权平均数。 3．掌握利用计算器计算加权平均数的方法。【重点难点】

重点：能根据频数分布表利用组中值的方法应用公式计算加权平均数。难点：对算术平均数的简便算法与加权平均数算法一致性的理解。【导学指导】

学习教材P127-P129相关内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题： 1．你能为教材P127的算术平均数举一个例子吗？

2．把算术平均数的公式与上节课的加权平均数公式进行对比，思考它们的相同之处与不

同之处。

3．教材P128的“探究”中，各组的载客量不是一个具体值，怎么办？

4．你的计算器能求平均数吗？试试看。

【课堂练习】

1．教材P129练习第1,2题。

2．八年级一班有学生50人，八年级二班有学生45人。期末数学测试中，一班学生的平

均分为81.5分，二班学生的平均分是83.4分，这两个班的平均分是多少？

【要点归纳】

本节课你学到了什么？与同伴交流一下。

【拓展训练】

1．小民骑自行车的速度是15千米/时，步行的速度是5千米/时，如果小民先骑自

行车2小时，然后步行1小时，那么他的平均速度是多少？

2．小民和小亮家去年的饮食、教育、和其他支出均分别为3600元，1200元，7200

元。小民家今年的这三项支出依次比去年增长了10﹪,20﹪,30﹪，小亮家今年这三项支出依次比去年增长了20﹪,30﹪，10﹪。小民和小亮家今年的总支出比去年增长的百分数相等吗？它们分别是多少？

3. 为调查居民生活环境质量，环保局对所辖的50个居民区进行了噪音（单位：分贝）水平的调查，结果如下图，求每个小区噪音的平均分贝数。

频数 20 年龄 28≤X＜30 30≤X＜32 32≤X＜34 34≤X＜36 36≤X＜38 38≤X＜40 40≤X＜42 频数 4 3 8 7 9 11 2

15 12 10 5 4 10 6 18 40 50 60 70 80 90

噪音/分贝

第三课时 20.1.1 平均数

【学习目标】

1．能根据频数分布直方图计算平均数。

2．能正确有效应用平均数知识解决问题，提高分析、解决问题的能力。 3．学习并体会用样本平均数估计总体平均数的思想方法。【重点难点】

重点：能根据频数分布直方图计算平均数。

难点:能根据不同特点的频数分布直方图采取相应的处理方法。【导学指导】

我们知道，当所要考察的对象很多，或考察本身带有破坏性时，统计中常用通过样本估计总体的方法来获得对总体的认识。例如，实际生活中经常用样本的平均数来估计总体的平均数。

学习教材P129-P130相关内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题：

1. 教材p129“例3”中，表格里没有组中值，怎么办？

2. 某灯泡厂要测量一批灯泡的使用寿命，使用全面调查的方法考察这批灯泡的平均使

用寿命合适吗？由这100个灯泡的使用寿命估计这批灯泡的平均使用寿命可以吗？这批灯泡的平均使用寿命是多少？

【课堂练习】

1. 教材P130练习题。

2. 小妹统计了她家10月份的长途电话费清单，并按通话时间画出直方图。（1）这张直方图与第1题中的直方图有何不同？（2）从这张图你能得到哪些信息？

（3）小妹家10月份平均每个长途电话的通话时间是多少？

（4）你认为能通过（3）的结论估计小妹家一年中平均每个长途电话的通话时间吗？

频数（通话次数）3025201510501510152025时间/分

【要点归纳】

今天你有什么收获，与同伴交流一下。

【拓展训练】

1. 某瓜农采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，这亩地产西瓜约600个，在

西瓜上市前该瓜农随机摘下10个成熟的西瓜，称重如下：西瓜质量/千克西瓜数量/个 5.5 1 5.4 2 5.0 3 4.9 2 4.6 1 4.3 1 计算这10个西瓜的平均质量，并根据计算结果估计这亩地的西瓜产量约是多少？

2. 某班同学进行数学测验，将所得的成绩（得分取整数）进行整理后分成5组，并

绘成频数分布直方图，请结合直方图提供的信息，回答下列问题：

(1) 该班共有多少名学生？（2）80.5-90.5这一分数段的频数、频率分别是多少？（3）这次考试的平均成绩是多少？

人数18151210964350.560.570.580.590.5100.5分数

20.1 数据的代表

20.1.2 中位数和众数（第一课时）

【学习目标】

1. 掌握中位数的概念，会求一组数据的中位数。 2. 能应用中位数知识分析解决实际问题。

3. 初步感受中位数的特点及其与平均数的区别与联系。

【重点难点】

重点：掌握中位数的概念，能应用中位数知识分析解决实际问题。难点：感受中位数的特点及其与平均数的区别与联系。【导学指导】

学习教材P130-P131相关内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题： 1. 什么是中位数？

2. 你认为中位数和平均数有什么区别与联系？

【课堂练习】

1、数据8、9、9、8、10、8、99、8、10、7、9、9、8的中位数是，众数是 2、一组数据23、27、20、18、X、12，它的中位数是21，则X的值是 . 3、数据92、96、98、100、X的众数是96，则其中位数和平均数分别是（） A.97、96 B.96、96.4 C.96、97 D.98、97

4、如果在一组数据中，23、25、28、22出现的次数依次为2、5、3、4次，并且没有其他的数据，则这组数据的众数和中位数分别是（）

A.24、25 B.23、24 C.25、25 D.23、25

5、随机抽取我市一年（按365天计）中的30天平均气温状况如下表：温度（℃） -8 天数 3 -1 7 15 21 24 30 5 5 7 6 2 2 请你根据上述数据回答问题：（1）.该组数据的中位数是什么？

（2）.若当气温在18℃~25℃为市民“满意温度”，则我市一年中达到市民“满意温度”的大约有多少天？

6、教材P131练习题。

7、在一次测试中，全班平均成绩是78分，小妹考了83分，她说自己的成绩在班里是中上水平，你认为小妹的说法合适吗？下面是小妹她们班所有学生的成绩：

20，35，35，40，40，52，63，65，74，79，80，83，84，84，85，85，85，85，85，85，86，87，87，87，87，87，87，87，87，87，87，87，87，87，88，88，90，91，92，93，95.

由数列可知，小妹的成绩在全班是中上水平吗？多少分才是中上水平？

【要点归纳】

今天你有什么收获？与同伴交流一下。

20.1.2 中位数和众数（第二课时）

【学习目标】

1. 掌握众数的概念，会求一组数据的众数。 2. 能应用众数知识分析解决实际问题。

3. 初步感受众数的特点及其与中位数、平均数的区别与联系。

【重点难点】

重点：理解众数的意义，能应用众数知识分析解决实际问题。难点：众数的特点及其与中位数、平均数的区别与联系。【导学指导】

学习教材P131-P132 相关内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题： 1. 什么是众数？

2. 众数与中位数、平均数有什么相同和不同的？

【课堂练习】

1. 教材P132练习第1，2题。

2. 在某电视台举办的歌咏比赛中，六位评委给1号选手的评分如下：

90， 96， 91， 96， 95， 94，这组数据的众数是 A．94.5 B. 95 C. 96 D. 2

3. 8年级一班46个同学中,13岁的有5人,14岁的有20人,15岁的15人,16岁的6人。

8年级一班学生年龄的平均数，中位数，众数分别是多少？

4、求下列数据的众数：

（1）3， 2， 5， 3， 1， 2， 3

（2）5， 2， 1， 5， 3， 5， 2， 2

在一次环保知识竞赛中，某班50名学生成绩如下表所示：得分人数 50 60 70 80 90 100 110 120 2 3 6 14 15 5 4 1 分别求出这些学生成绩的众数、中位数和平均数.

5、公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，两群游客的年龄如下：（单位：岁）甲群：13、13、14、15、15、15、16、17、17。乙群：3、4、4、5、5、6、6、54、57。

（1）、甲群游客的平均年龄是岁，中位数是岁，众数是岁，其中能较好反映甲群游客年龄特征的是。

（2）、乙群游客的平均年龄是岁，中位数是岁，众数是岁。其中能较好反映乙群游客年龄特征的是。

【要点归纳】

今天你有什么收获? 与同伴交流一下。

【拓展训练】

1.甲、乙两班举行默写英语单词比赛，成绩如下：甲班乙班参赛人数 55 55 平均字数 135 135 中位数 149 151 如果默写150个以上为优秀，你认为哪个班较好？为什么?

2.某中学举行演讲比赛，8（1）、8（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如下表所示：

8（1）班 8（2）班 8（1）班 8（2）班 75 100 80 80 85 100 85 75 100 70 （1）根据上图填写下表：平均数（分）中位数（分）众数（分） 85 85 80 85 （2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪一个班级的复赛成绩较好。（3）如果在每班参加复赛的选手中分别选出两人参加决赛，你认为哪个班的实力

更强一些，并说明理由。

第六课时 20.1.2 中位数和众数

【学习目标】

1. 在解决实际问题中进一步理解平均数、中位数、众数作为数据代表的意义，能根据所

给信息求出相应的数据代表。

2. 结合具体情景体会平均数、中位数、众数三者的特点与差异，能根据具体问题选择适

当的量来代表，并作出自己的评判。【重点难点】

重点：理解平均数、中位数、众数作为数据代表的意义，能根据具体问题选择适当的量来代表。

难点：能对具体问题进行分析，选择适当的量来代表。【导学指导】复习旧知：

什么是平均数？什么是中位数？什么是众数?它们有什么区别与联系?

学习新知：

学习教材P132-P134相关内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题：如何在实际问题中选取平均数、中位数、众数来代表数据？

【课堂练习】

1. 教材P135练习题。 2. 8年级某教室里，三位同学正在为谁的数学成绩好而争论，他们五次数学成绩分别是：

小花：62，94，95，98，98 小妹：62，92，98，99，100 小路：40，62，85，99，99

他们都认为自己的数学成绩比另两位同学好，

（1）他们认为自己的数学成绩比另外两位同学好的依据是什么？（2）你认为哪一个同学的成绩最好呢？请说明理由。

【要点归纳】

你今天有什么收获？与同伴交流一下。【拓展训练】

1.某超市购进一批不同价格的皮鞋，下表是该超市在近几年统计的平均数据。要使该超市销售皮鞋收入最大，该超市应多购（）的皮鞋。皮鞋价（元） 160 销售百分率 60％ 140 120 100 75％ 83％ 95％ A．160元 B.140元 C.120元 D.100元

2.某商场统计了每个营业员在某月的销售额，统计图如下：

（1）设营业员的月销售额为x万元，商场规定：当x<15时为不称职，当15≤x<20时为

基本称职，当20≤x<25时为称职，当x≥25时为优秀，试求出不称职、基本称职、称职、优秀四个层次营业员人数所占的百分比。

（2）根据（1）中的规定，所有称职和优秀的营业员月销售的中位数、众数、平均数分别

是多少？

（3）为了调动营业员的工作积极性，决定实行销售奖励标准，凡达到或超过这个标准的

营业员将受到奖励。如果要使得称职和优秀的所有营业员的半数左右能获奖，你认

为这个奖励标准应定为多少合适？简述理由。

20.2 数据的波动 20.2.1极差

【学习目标】

1、理解极差的定义，知道极差是用来反映数据波动范围的一个量 2、会求一组数据的极差【重点难点】

1、重点：会求一组数据的极差

2、难点：本节课内容较容易接受，不存在难点。三、例习题的意图分析教材P151引例的意图

（1）、主要目的是用来引入极差概念的

（2）、可以说明极差在统计学家族的角色——反映数据波动范围的量（3）、交待了求一组数据极差的方法。四、课堂引入：

引入问题可以仍然采用教材上的“乌鲁木齐和广州的气温情”为了更加形象直观一些的反映极差的意义，可以画出温度折线图，这样极差之所以用来反映数据波动范围就不言而喻了。

五、例习题分析

本节课在教材中没有相应的例题，教材P152习题分析

问题1 可由极差计算公式直接得出，由于差值较大，结合本题背景可以说明该村贫富差距较大。问题2 涉及前一个学期统计知识首先应回忆复习已学知识。问题3答案并不唯一，合理即可。

六、随堂练习：

1、一组数据：473、865、368、774、539、474的极差是，一组数据1736、1350、-2114、-1736的极差是 .

2、一组数据3、-1、0、2、X的极差是5，且X为自然数，则X= . 3、下列几个常见统计量中能够反映一组数据波动范围的是（） A.平均数 B.中位数 C.众数 D.极差

4、一组数据X1、X2…Xn的极差是8，则另一组数据2X1+1、2X2+1…，2Xn+1的极差是（）

A. 8 B.16 C.9 D.17

答案：1. 497、3850 2. 4 3. D 4.B

七、课后练习：

1、已知样本9.9、10.3、10.3、9.9、10.1，则样本极差是（） A. 0.4 B.16 C.0.2 D.无法确定

在一次数学考试中，第一小组14名学生的成绩与全组平均分的差是2、3、-5、10、12、8、2、-1、4、-10、-2、5、5、-5，那么这个小组的平均成绩是（） A. 87 B. 83 C. 85 D无法确定

3、已知一组数据2.1、1.9、1.8、X、2.2的平均数为2，则极差是。

4、若10个数的平均数是3，极差是4，则将这10个数都扩大10倍，则这组数据的平均数

是，极差是。

5、某活动小组为使全小组成员的成绩都要达到优秀，打算实施“以优帮困”计划，为此统计了上次测试各成员的成绩（单位：分）

90、95、87、92、63、54、82、76、55、100、45、80 计算这组数据的极差，这个极差说明什么问题？

将数据适当分组，做出频率分布表和频数分布直方图。 6、为了调查居民的生活水平，有关部门对某地区5个街道的50户居民的家庭存款进行了调查，数据（单位：元）如下： 16000 35000 23000 65000 22000 19000 68000 48000

50000 47000 23000 15000 31000 56000 37000 22000 33000 58000 43000

36000 38000 30000 51000 70000 31000 29000 44000 58000 38000 37000

33000 52000 41000 42000 48000 30000 40000 46000 60000 24000 33000

61000 50000 49000 30000 31000 72000 18000 50000 19000 （1）这50个家庭存款的最大值、最小值、极差以及平均数分别是多少？（2）将这50个家庭存款数分成下面7组，分别计算各组的频数。储蓄额/元 10000------19000 20000------29000 30000------39000 40000------49000 50000------59000 60000------69000 70000------79000 （3）根据上表，作出频数分布直方图。

频数 20.2.2 方差

【学习目标】

1. 了解方差的定义和计算公式。

2. 理解方差概念的产生和形成的过程。

3. 会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。【重点难点】

重点：方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题。难点：理解方差公式三. 例习题的意图分析：

1. 教材P125的讨论问题的意图：

（1）.创设问题情境，引起学生的学习兴趣和好奇心。（2）.为引入方差概念和方差计算公式作铺垫。

（3）.介绍了一种比较直观的衡量数据波动大小的方法——画折线法。

（4）.客观上反映了在解决某些实际问题时，求平均数或求极差等方法的局限性，使学生体会到学习方差的意义和目的。 2. 教材P154例1的设计意图：

100

（1）.例1放在方差计算公式和利用方差衡量数据波动大小的规律之后，不言而喻其主要目的是及时复习，巩固对方差公式的掌握。

（2）.例1的解题步骤也为学生做了一个示范，学生以后可以模仿例1的格式解决其他类似的实际问题。四.课堂引入：

除采用教材中的引例外，可以选择一些更时代气息、更有现实意义的引例。例如，通过学生观看2004年奥运会刘翔勇夺110米栏冠军的录像，进而引导教练员根据平时比赛成绩选择参赛队员这样的实际问题上，这样引入自然而又真实，学生也更感兴趣一些。五. 例题的分析：

教材P154例1在分析过程中应抓住以下几点：

1. 题目中“整齐”的含义是什么？说明在这个问题中要研究一组数据的什么？学生通过思

考可以回答出整齐即波动小，所以要研究两组数据波动大小，这一环节是明确题意。 2. 在求方差之前先要求哪个统计量，为什么？学生也可以得出先求平均数，因为公式中需

要平均值，这个问题可以使学生明确利用方差计算步骤。 3. 方差怎样去体现波动大小？

这一问题的提出主要复习巩固方差，反映数据波动大小的规律。六. 随堂练习：

1. 从甲、乙两种农作物中各抽取1株苗，分别测得它的苗高如下：（单位：cm）甲：9、10、11、12、7、13、10、8、12、8；乙：8、13、12、11、10、12、7、7、9、11；问：（1）哪种农作物的苗长的比较高？

（2）哪种农作物的苗长得比较整齐？

2. 段巍和金志强两人参加体育项目训练，近期的5次测试成绩如下表所示，谁的成绩比较稳定？为什么？测试次数段巍金志强 1 13 2 14 3 13 4 12 5 13 12 10 13 16 14 参考答案：1.（1）甲、乙两种农作物的苗平均高度相同；（2）甲整齐 2.段巍的成绩比金志强的成绩要稳定。

七. 课后练习：

1.已知一组数据为2、0、-1、3、-4，则这组数据的方差为。 2.甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下：甲：7、8、6、8、6、5、9、10、7、4 乙：9、5、7、8、7、6、8、6、7、7

经过计算，两人射击环数的平均数相同，但S甲 S乙，所以确定去参加比赛。 3. 甲、乙两台机床生产同种零件，10天出的次品分别是（）甲：0、1、0、2、2、0、3、1、2、4 乙：2、3、1、2、0、2、1、1、2、1

分别计算出两个样本的平均数和方差，根据你的计算判断哪台机床的性能较好？ 4. 小爽和小兵在10次百米跑步练习中成绩如表所示：（单位：秒）小爽小兵 101

2210.8 10.9 10.9 10.9 11.0 10.8 10.7 10.8 11.1 11.0 11.1 10.9 10.8 10.8 11.0 11.1 10.7 10.9 10.9 10.8 如果根据这几次成绩选拔一人参加比赛，你会选谁呢？

数据的分析复习学案

学习目标：

1、进一步理解平均数、中位数和众数等统计量的统计意义。

2、会计算加权平均数，理解“权”的意义，能选择适当的统计量表示数据的集中趋势。

3、会计算极差和方差，理解它们的统计意义，会用它们表示数据的波动情况。 4、会用样本平均数、方差估计总体的平均数、方差，进一步感受抽样的必要性，体会用样本估计总体的思想。

一、知识点回顾

1、数学期末总评成绩由作业分数，课堂参与分数，期考分数三部分组成，并按3：3：4的比例确定。已知小明的期考80分，作业90分，课堂参与85分，则他的总评成绩为________。

2、样本1、2、3、0、1的平均数与中位数之和等于＿＿＿.

3、一组数据5，-2，3，x，3，-2，若每个数据都是这组数据的众数，则这组数据的平均数是．

4、数据1，6，3，9，8的极差是．

5、已知一个样本：1，3，5，x，2，它的平均数为3，则这个样本的方差是。二、专题练习

1、方程思想：

例：某次考试A、B、C、D、E这5名学生的平均分为62分，若学生A除外，其余学生的平均得分为60分，那么学生A的得分是_____________．点拨：本题可以用统计学知识和方程组相结合来解决。

同类题连接：某班级组织一批学生去春游，预计共需费用120元，后来又有2人参加进来，总费用不变，于是每人可以少分摊3元，设原来参加春游的学生x人。可列方程：

2、分类讨论法：

例：汶川大地震牵动每个人的心，一方有难，八方支援，5位衢州籍在外打工人员也捐款献爱心。已知5人平均捐款560元(每人捐款数额均为百元的整数倍)，捐款数额最少的也捐了200元，最多的(只有1人)捐了800元，其中一人捐600元，600元恰好是5人捐款数额的中位数，那么其余两人的捐款数额分别是___________；

点拨：做题过程中要注意满足的条件。

同类题连接：数据 -1 , 3 , 0 , x 的极差是 5 ,则 x = . 3、平均数、中位数、众数在实际问题中的应用：例：某班50人右眼视力检查结果如下表所示：视0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.0 1.2 1.5 力人2 2 2 3 3 4 5 6 7 11 5 数求该班学生右眼视力的平均数、众数与中位数．发表一下自己的看法。 102

4、方差在实际问题中的应用

例：甲、乙两名射击运动员在相同条件下各射靶5次，各次命中的环数如下：甲： 5 8 8 9 10 乙： 9 6 10 5 10 （1）分别计算每人的平均成绩；（2）求出每组数据的方差；（3）谁的射击成绩比较稳定？

三、知识点回顾 1、平均数：

在一次英语口试中，已知50分1人、60分2人、70分5人、90分5人、100分1人，其余为84分。已知该班平均成绩为80分，问该班有多少人？ 2、中位数和众数

1.一组数据23、27、20、18、X、12，它的中位数是21，则X的值是 . ○

2.如果在一组数据中，23、25、28、22出现的次数依次为2、5、3、4次，并且○

没有其他的数据，则这组数据的众数和中位数分别是（） A.24、25 B.23、24 C.25、25 D.23、25

3.在一次环保知识竞赛中，某班50名学生成绩如下表所示： ○

得分 50 60 70 80 90 100 110 120 3 6 14 15 5 4 1 人数 2 分别求出这些学生成绩的众数、中位数和平均数.

3、极差和方差

1.一组数据X1、X2…Xn的极差是8，则另一组数据2X1+1、2X2+1…，2Xn+1○

的极差是（）

A. 8 B.16 C.9 D.17

22.如果样本方差S○

1(x12)2(x22)2(x32)2(x42)2， 4那么这个样本的平均数为 .样本容量为 .

四、自主探究

1、已知：1、2、3、4、5、这五个数的平均数是3，方差是2.

则：101、102、103、104、105、的平均数是，方差是。 2、4、6、8、10、的平均数是，方差是。你会发现什么规律？ 2、应用上面的规律填空：

若n个数据x1,x2……xn 的平均数为m，方差为w。

（1）n个新数据x1+100,x2+100, …… xn+100的平均数是，方差为。

（2）n个新数据5x1,5x2, ……5xn的平均数，方差为。

103

五、学以致用：

1、为了解我校八年级800名学生期中数学考试情况，从中抽取了200名学生的数学成绩进行统计.下列判断：①这种调查方式是抽样调查；②800名学生是总体；③每名学生的期中考试数学成绩是个体；④200名学生是总体的一个样本；⑤200名学生是样本容量.其中正确的判断有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2、甲、乙、丙、丁四人的数学测验成绩分别为90分、90分、x分、80分，若这组数据的众数与平均数恰好相等，则这组数据的中位数是（） A.100分 B.95分 C.90分 D.85分 3、已知三年四班全班35人身高的算术平均数与中位数都是158厘米，但后来发现其中有一位同学的身高登记错误，误将160厘米写成166厘米，正确的平均数为a厘米，中位数为b厘米，关于平均数a的叙述，下列何者正确（） A.大于158 B.小于158 C.等于158 D.无法确定 4、在上题中关于中位数b的叙述。下列何者正确（）

A.大于158 B.小于158 C.等于158 D.无法确定

5、若一组数据a1，a2，…，an的方差是5，则一组新数据2a1，2a2，…，2an的方差是（）

A.5 B.10 C.20 D.50

6、在一次测验中，某学习小组的5名学生的成绩如下（单位：分） 68 、75、67、66、99 这组成绩的平均分x= ,中位数M= ；若去掉一个最高分后的平均分x'= ；那么所求的x，M，x'这三个数据中，你认为能描述该小组学生这次测验成绩的一般水平的数据是 .

7、从一个班抽测了6名男生的身高，将测得的每一个数据（单位：cm）都减去165.0cm，其结果如下： −1.2，0.1，−8.3，1.2，10.8，−7.0 这6名男生中最高身高与最低身高的差是 ___ ；这6名男生的平均身高约为 _ （结果保留到小数点后第一位）

8、已知一个样本：1，3，5，x，2，它的平均数为3，则这个样本的方差是 . 9、已知数据a，c，b，c，d，b，c，a且a＜b ＜c＜d，则这组数据的众数为________，中位数为________，

10、在数据－1，0，4，5，8中插入一个数x，使这组数据的中位数为3，则x＝人11、某班同学进行知识竞赛，将所得成绩进行整理数 35 后，如右图：竞赛成绩的平均数为 _____ .

O 50 60 70 80 90 100 成绩

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（分）

12、现有A、B两个班级，每个班级各有45名学生参加一次测试，每名参加者可获得0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分这几种不同的分值中的一种．测试结果A班的成绩如下表所示，B班的成绩如右图所示．

A班 A班分0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 数分0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 人1 3 5 7 6 8 6 4 3 2 数数人1 3 5 7 6 8 6 4 3 2

数

人数 B班 18

3 分数

(1)由观察可知，______班的方差较大； 0 1 2 3 4 5 6 (2)若两班合计共有60人及格，问参加者最少获______分才可以及格．

13、小芳测得连续五日最低气温并整理后得出下表：

日期一二三四五方差平均气温

最低气温 1 3 2 5 3

日期一二三四五方差平均气温

5 最低气温１３２３

由于不小心第4日及方差两个数据被墨迹污染，这两个数据分别是和．

14、某班有男同学27名，女同学21名，再一次语文测试中，男同学的平均分是82分，中位数是75，女同学的平均分是80分，中位数是80. （1）求这次测试的全班平均分；（精确到0.01分）

（2）估计全班成绩在80分以下（包括80分）的同学至少有多少人？（3）男同学的平均分与中位数相差较大，分析其原因主要是什么？

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六、学后反思

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