解析几何《直线的方程》

第一节 直线的方程

示范教案教学设计

教学分析

1．本节是解析几何的基础，它渗透到解析几何的各个部分．通过小结与复习，对知识内容进行一次梳理，突出知识间的内在联系．复习时应把握基础点，重视基础知识之间的联系，注意基本方法的相互结合，提高通性通法的熟练程度，提高选择题和填空题的正确率.

2.在本节的复习中，让学生自己回顾和小结知识．教师可对一些关键处予以强调．比如可解析几何的基本思想——数形结合（坐标法）．指出本章学习要求和要注意的问题．教师重申数形结合思想及分类与讨论思想等数学思想方法在本章中的特殊地位．注意熟练地画出图形，抓住图形的特征量，利用该特征量解决问题往往能达到事半功倍的效果

课标要求

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.

3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系

三维目标

1．通过总结和归纳直线倾斜角、斜率与直线的方程、中点坐标的知识，对本节知识内容进行一次梳理，突出知识间的内在联系，在综合运用知识解决问题的能力上提高一步．

2．能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养数形结合、分类讨论的思想．

重点难点

教学重点：解析几何解题的基本思想和解题方法的形成． 教学难点：整理形成本节的知识系统和网络．

教学过程 一、导课

我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休！”数学中，数和形是两个主要的研究对象，有着十分密切的联系，在一定条件下可以相互转化，相互渗透，这就说明数形结合在数学学习中的重要地位。数形结合也是解析几何最重要的、最核心的思想方法。

教师直接点出课题，推进本课。 二、要点梳理 1.直线的倾斜角

(1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所成的角α，叫做直线 l 的倾斜角.

当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为___

(2)倾斜角的取值范围是____________. _____.

2.直线的斜率

1

(1)定义：当α≠90°时，一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率通常用小写字母 k 表示，即 即 k＝tan α . 当α＝90°时，直线没有斜率.

(2) 经过两点的直线的斜率公式：

y2－y1

经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式 k＝ .

x2－x1

3. 直线方程的五种形式 名称 点斜式 斜截式 两点式 方程 y－y1＝k(x－x1) y－y1x－x1＝(x≠x，y≠y) y2－y1x2－x11212 截距式 一般式 xy＋＝1(ab≠0) abAx＋By＋C＝0(A，B不同时为零) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 平面直角坐标系内的直线都适用 适用范围 不含垂直于x轴的直线 不含垂直于x轴的直线 不含垂直于坐标轴的直线 4.过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程

(1) 若 x1 ＝ x2 ， 且 y1≠y2 ， 则 直 线 垂 直 于 x 轴 ， 方 程 为

.

(2) 若 x1≠x2 ， 且 y1 ＝ y2 ， 则 直 线 垂 直 于 y 轴 ， 方 程 为

.

y－y1x－x1

(3)若x1≠x2，且y1≠y2，直线方程为＝.

y2－y1x2－x1

5.线段的中点坐标公式

若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段 P1P2 的中点M的坐标为(x，y)，则x1＋x2y1＋y2x=2，y=2

三、基础自测

学生课前复习并解决， 找学生说解题思路及答案，适时纠正点拨

π

1.直线x＝的倾斜角等于( C )

3ππ

A.0 B. C. D.π

32

2. (2019年广东广州模拟)已知点A(1，3)，B(－1,3 3)，则直线 AB 的倾斜角是( C )

D.150° B.30° A.60° C.120°

2

3.已知点 A(1,2)，B(3,1)，则线段 AB 的垂直平分线的方程为( B )

A.4x＋2y＝5 B.4x－2y＝5

C.x＋2y＝5 D.x－2y＝5

4.(2019 年辽宁沈阳模拟)直线 ax＋by＋c＝0 同时要经过第一、第二、第四象限，则 a，b，c 应满足( A )

A.ab>0，bc<0 B.ab>0，bc>0

C.ab<0，bc>0 D.ab<0，bc<0

5.(2019 年青海模拟)倾斜角为 135°，在 y 轴上的截距为－1的直线方程是( D )

A.x－y＋1＝0 B.x－y－1＝0

C.x＋y－1＝0 D.x＋y＋1＝0

四、考点突破

利用本节知识及相关思想方法，重点突破以下考点 考点 1直线的方程 考向 1斜率

例1：(1)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为______________________.

1－03－0

＝1，kBP＝＝－3， 2－10－1

解析：如图D41，∵kAP＝

∴k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞). 师生共同总结解题方法

【规律方法】请注意本题是指直线l与线段AB(而不是直线AB)有公共点.首先求出直线PA，

PB的斜率(边界)，然后数形结合利用倾斜角及斜率的变化规律得出斜率的取值范围； 运用了正切函数的单调性

运用这个方法解决第二小题，找学生板演

3

(2)直线l过点P(－1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为__________.

解析：如图D42，∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，3)， 1－03－01

∴kAP＝＝，kBP＝＝3.

2－－130－－1

1由图可知，直线l斜率的取值范围为3，3.

再深入思考：结果取界限值的两边还是中间？判断依据是什么？ 生发现：看是否含有90度，有，取两边，否，取中间。

考向 2倾斜角

例 2：(1)经过 P(0，－1)作直线 l，若直线 l 与连接 A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线 l 倾斜角α的取值范围为_______.

－2－－11－－1

解析：如图D43，kPA＝＝－1，kPB＝＝1，

1－02－0π3π

0，∪，π. 由图可观察出：直线l倾斜角α的范围是44

数形结合，结合正切函数图像性质解决问题

(2)(2018 年安徽巢湖四中、庐江二中第二次联考数学试题)直线 2mx－(m2＋1)y－m＝0 倾斜角的取值范围是

πA.[0，π) B.0，4 π3πππC.0，4∪4，π D.0，4∪2，π 

生合作探究，展示结果

解析：由已知条件推导出直线的斜率 k，通过讨论 m 的范围从而得到 k 的范围，由此能求出直线的倾斜角的取值范围.

2m

∵直线2mx－(m2＋1)y－m＝0的斜率k＝2，

m＋1

①m＞0 时 m2＋1≥2m，∴0≤k≤1； ②m＜0 时，－1≤k＜0，

π3π

0，∪，π，故选C. ∴直线2mx－(m2＋1)y－m＝0倾斜角的取值范围是44分类讨论的思想

考向 3截距

例 3：(1)(2018 年江苏常州模拟)过点 P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 的方程为_____________.

体现直线截距的直线方程有哪些？我们可以用截距式或斜截式来解决此类问题

4

xy

解析：①当截距不为0时，设所求直线方程为a＋a＝1，即x＋y－a＝0. ∵点 P(－2,3)在直线 l 上，∴－2＋3－a＝0. ∴a＝1，所求直线 l 的方程为 x＋y－1＝0.

②当截距为 0 时，设所求直线方程为 y＝kx，则有 3＝－2k

33

即k＝－，此时直线l的方程为y＝－x，即3x＋2y＝0.

22

∴直线 l 的方程为 x＋y－1＝0 或 3x＋2y＝0.

采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况.

男生女生分组做题

(2)过点 A(4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线 l 的方程为______________________.

解析：①当直线过原点时，它在x轴、y轴上的截距都是0，满足题意，此时直线斜率11为，∴直线方程为y＝x； 22

4－2xy

当直线不过原点时，由题意可设直线方程为－＝1.又 ∵直线过点A(4,2)，∴＝1，

aaa

即a＝2.∴x－y＝2.

1

综上所述，直线l的方程为y＝x或x－y－2＝0.

2

(3)求过点 A(4,2)且在两坐标轴上截距之和为 12 的直线 l 的方程为______________________.

42a＋b＝1，xy

解析：设直线l的方程为＋＝1，由题意，得ab

a＋b＝12.即4(12－a)＋2a＝a(12－a).

∴a2－14a＋48＝0.解得a＝6或a＝8.

a＝6，a＝8，因此或

b＝6，b＝4.

∴4b＋2a＝ab.

∴直线 l 的方程为 x＋y－6＝0 或 x＋2y－8＝0.

【规律方法】如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距的绝对值相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的 m 倍(m＞0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况.

考向 4 直线的方程 例 4：(1)(2019 年四川成都七中质检)若点 P(1,1)为圆 x2＋y2－6x＝0 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线的方程为

A.2x＋y－3＝0 B.x－2y＋1＝0

C.x＋2y－3＝0 D.2x－y－1＝0

5

解析：x2 ＋y2 －6x ＝0 化为标准方程为(x －3)2 ＋y2 ＝9 ，

∵P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9 的弦 MN 的中点，又圆心与点 P 确定的直线的斜率为1

－2，∴弦MN所在直线的斜率为2，

∴弦 MN 所在直线的方程为 y－1＝2(x－1)，即 2x－y－1＝0，故选 D.

(2)直线 l1：3x－y＋1＝0，直线 l2 过点(1,0)，且 l2 的倾斜角是 l1 的倾斜角的 2 倍，则直线 l2 的方程为

A.y＝6x＋1 B.y＝6(x－1)

33C.y＝4(x－1) D.y＝－4(x－1)

解析：方法一，设直线l1的倾斜角为α，由tan α＝3，可求出直线l2的斜率k＝tan 2α＝2tan α33

＝－，再由l过点(1,0)，可得直线l的方程为y＝－(x－1).故选D.方法二，由l222

441－tan2α

过点(1,0)，排除A选项，由l1的斜率k1＝3>1知，其倾斜角大于45°，从而直线l2的倾斜角大于90°，斜率为负值，排除B，C选项.故选D.

考点 2直线方程的综合应用（能力提升）

例 5：过点 P(2,1)作直线 l，与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，求： (1)△AOB 的面积的最小值及此时直线 l 的方程； (2)求直线 l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线 l的方程； (3)求|PA |·|PB|的最小值及此时直线 l 的方程.

xy21

（1）设所求直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，则＋＝1.

abab

21

又∵＋≥2

ab

21211⇒ab≥4，当且仅当＝＝， ab2ab2

1－0

＝1－3

1xy

即a＝4，b＝2时，△AOB的面积S＝ab有最小值为4.此时，直线l的方程是＋＝1.

24221

（2）∵＋＝1，

ab

212ba

＋＝3＋＋≥3＋2 ∴截距之和a＋b＝(a＋b)abab2ba

此时＝，求得b＝2＋1，a＝2＋2.

ab此时，直线l的方程为

xy

＋＝1. 2＋22＋1

2ba·＝3＋2 2. ab

即x＋2y－2－2＝0.

π

（3）设直线的倾斜角为θ，(显然<θ<π)，

2则|PA|＝

12，|PB|＝－. sin θcos θ

6

∴|PA|·|PB|＝

4

.

－sin 2θ

3π

∴当θ＝时，|PA|·|PB|取最小值4.此时k＝tan θ＝－1.

4∴直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0.

五、课堂小结

1.直线的倾斜角与斜率都是表示直线方向的几何量，它们分别从“形”和“数”两方面反映直线的倾斜程度.求直线斜率的方法： (1)定义法：当α≠90°时，k与α的关系是k＝tan α； y2－y1(2)公式法：若直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，则斜率 k＝；

x2－x1

π

2.直线的倾斜角的取值范围为[0，π)，但正切函数在x＝时无意义，因此讨论倾斜角与2

ππ

0，与，π两部分进行讨论. 斜率的关系时，可结合正切函数的图象将其分为22

3.求直线的方程根据题目条件确定点和斜率或两个点或截距，进而选择相应的直线方程

形式，写出方程；求直线方程时要注意判断斜率或截距是否存在，还要注意斜率为 0或截距为0，直线过原点等特殊情形. 4.数学思想方法：数形结合、分类讨论等 六、跟踪训练

1. 已知直线 x＋2y＝2 与 x 轴、y 轴分别相交于 A，B 两点，若动点 P(a，b)在线段 AB 上，则 ab 的最大值为 .

2.(2018年四川九江模拟)过点P(－2，2)作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有( ) A.3条 B.2条

C.1条 D.0条 设计感想 本节在设计过程中，注重了两点：一是体现学生的主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是既有基础知识的复习、基本题型的联系，又为了满足高考的要求，对教材内容适当拓展．本节课对此进行了归纳和总结．培养学生多角度思考问题，利用不同的方法解决问题的能力．在课堂上进行解题方法的讨论有助于活跃学生思维，促进发散思维的培养，提高思维灵活性，抓住数形结合的数学思想，总结解题规律，充分体现解析几何的研究方法．教会学生思想方法比教会学生解题重要的多．数学知识将来可能会遗忘，而数学思想方法会影响一个人一生．

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