湖北省黄冈中学

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

2

1．命题“xZ，x＋x＋m＜0”的否定是( )

2

A．存在x∈Z使x＋x＋m≥0 B．不存在xZ2

使x＋x＋m≥0

22

C．xZ，x＋x＋m≤0 D．xZ，x＋x＋m≥0 2．下列说法错误的是( ) A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的

两个变量之间的关系叫做相关关系； B．线性回归方程对应的直线^y＝^bx＋^a至少经过点其样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点； C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，

其模型拟合的精度越高； D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型

拟合的效果好．

3．两个正态分布N(1,12)(10)和

N(2,22)(20)对应的曲线如图所示，则有( ) A．12,12 B．12,12 C．12,12 D．12,12 4．对实数a,b,c， A．2 B．0 C．4 D．3

5．设语句甲：“事件A与事件B是对立事件”，语句乙：

“P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知随机变量X的分布列如下表，随机变量X的均值E(X)1，则x的值为( ) A．0.3 B．0.2

X 0 1 2 C．0.4 D．0.24

P 0.4 x y 7．已知等式xaxaxaxa

(x1)b(x1)b(x1)b(x1)b，

定义映射f:(a1,a2,a3,a4)(b1,b2,b3,b4)，则f(4,3,2,1)( ) A．(1,2,3,4) B．(0,3,4,0) C．(0,3,4,1) D．(1,0,2,2)

8．抛掷红、蓝两颗骰子，若已知蓝骰子的点数为3或6

时，则两颗骰子点数之和大于8的概率为( ) A．1 B．1 C．5 D．5

432123443212343236129．现有四所大学进行自主招生，同时向一所高中的已获省级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁4位学生发出录取通知书．若这4名学生都愿意进这四所大学的任意一所就读， 则仅有2名学生被录取到同一所大学的概率为( ) A．1 B．9 C．11 D．7

2116162410．设a，a，…，a是1，2，…，n的一个排列，把排在a的左．边．且比a小．的数的个数称为a的顺序数

2niii(i1，2，，n)．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序

数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为( ) A．48 B． C．144 D．192

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．

11．除夕夜，一位同学希望给他的4位好友每人发一条短

信问候，为节省时间看春晚，他准备从手机草稿箱中直接选取已有短信内容发出．已知他手机草稿箱中只有3条适合的短信，则该同学共有__________种不同的发短信的方法． 12．已知

13．如图，半径为10 cm的圆形纸板内有一个相同圆心的

半径为1 cm的小圆．现将半径为1 cm的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机平落在纸板内(硬币不出纸板边界)，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为___________．

14．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试

验，当p＝_______时，成功次数的标准差的值最大，．．．其最大值为________．

15．对任意正整数n定义双阶乘n!!如下：当n为偶数时，n!!n(n2)(n4)42；当n为奇数时，n!!n(n2)(n4)31，现有如下四个 ①(2011!!)(2010!!)2011!； ②2010!!21005!；

③设1010!!a10k(a,kN*)，若a的个位数不是0，则k112；

nn④设15!!a1na2(ai为正质数，ni为正整数(i1,2,,m))，am12m则(ni)max4； 则其中正确的 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分)

17．(本小题满分12分)若X~N(,2)，则

P(X)0.6826，P(2X2)0.9544，P(3X3)0.9974．在2019年黄冈中

(Ⅰ)在5000名考生中，数学分数在(100,120)之间的考生约有多少人；

(Ⅱ)若对数学分数从高到低的前114名考生予以录取，问录取分数线为多少？

18．(本小题满分12

2分)在xx2n的展开式中，第3项的

1． 16系数与倒数第3项的系数之比为(Ⅰ)求n的值；

(Ⅱ)展开式的哪几项是有理项(回答项数即可)； ．．．．．．(Ⅲ)求出展开式中系数最大的项．

19．(本小题满分13分)袋中有大小相同的三个球，编号分

别为1、2和3，从袋中每次取出一个球，若取到的球的编号为偶数，则把该球编号加1(如：取到球的编号为2，改为3)后放回袋中继续取球；若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X表示所有被取球的编号之和．

(Ⅰ)求X的概率分布；

(Ⅱ)求X的数学期望与方差．

20．(此题平行班做)(本小题满分12分) ．．．．．．某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：

积极参加班不太主动参加合 级工作 班级工作 计 学习积极18 性高 学习积极 19 性一般 合计 50 (Ⅰ)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是12，请完成上面的2225列联表；

(Ⅱ)在(1)的条件下，试运用独立性检验的思想方法分

析：在犯错误概率不超过0.1%的情况下判断学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？

并说明理

P(K2ko) 0.010 0.005 0.001 由．

k0 6.635 7.879 10.828

20．(此题、9、10班做)(本小题满分13分)设数列{an}的．．8．．．．．．．．．

前

n项和为

Sn，对一切

nN*，点

(n,Sn)n都在函数

f(x)xan 的图象上． 2x(Ⅰ)求a1,a2,a3及数列{an}的通项公式an；

(Ⅱ)将数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分

为(a1)，(a2，a3)，(a4，a5，a6)，(a7，a8，a9，a10)；(a11)，(a12，a13)，(a14，a15，a16)，(a17，a18，a19，a20)；(a21)，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn}，求

b5b100的值；

(Ⅲ)令g(n)(12)n(nN*)，求证：2g(n)3．

an 21．(本小题满分14分)有人玩掷正四面体骰子走跳棋的游

戏，已知正四面体骰子四个面上分别印有A,B,C,D，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，若掷出后骰子为A面，棋子向前跳2站，若掷出后骰子为B,C,D中的一面，则棋子向前跳1站，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或第100站(失败大本营)时，该游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为Pn(nN)． (Ⅰ)求P0，P1，P2；

(Ⅱ)求证：PnPn11(Pn1Pn2)；

4(Ⅲ)求玩该游戏获胜的概率．

期末考试数学参考答案(理科)

1．D 解析：由定义知选D.

2．B 提示：回归直线方程ybxa经过样本点的中心(x，

y)，可能不经过(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的

任何一点，这些点分布在这条直线附近．

3．C 解析：显然12，正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，越小．

222

4．A 解析：若a＞b，c＝0，则ac＝bc.∴原

5．A 提示：若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，则P(A)＝7，P(B)＝1，

88满足P(A)＋P(B)＝1，但A、B不是对立事件. 6．B 提示：xy0.6，E(X)x2y1，解得x0.2．

7．C 依题意得a1C43C33b1,得b10，同理有a2C42C32b1b2,

得b23，再利用排除法选C．

8．D 提示：记A：“蓝骰子的点数为3或6”，A发生时

红骰子可以为16中任意一个，n(A)12，记B：“两颗骰子点数之和大于8”，则AB包含

n(AB)5(3,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)5种情况，所以P(B|A)．

n(A)129．B 提示：所有等可能的结果相当于甲、乙、丙、丁四位学生任选四所大学之一，共有44种，仅有两名学生被录取到同一所大学，可先把四个同学分成1＋1＋2三份，有C42种分法，再选择三所大学就读，即有C42A43种就

23C4A49． 读方式．故所求的概率为441610．C 提示：分析知8必在第3位，7必在第5位；若5

3214在第6位，则有：若5在第7位，则有C4A4A248，A496，合计为144种．

11．81 提示：给每一位好友都有3种选择，因此共有发

短信的方法3481种． 12．②③ 提示：因p为假

13．7781292(11)277 提示：几何概型问题，P．

(9)28114．1；5 解析：设成功次数为随机变量，服从二项分

布

B(100,p)，要使标准差最大，即须方差

最大，当提

示

p

12

D()npq100p(1p)时满足．

由

此时

()D()5．

15．①④ ：

(2011!!)(2010!!)(2011200931)(20102008定义42)，∴①

为真

16．解：

设g(x)x22ax4，由于关于x的不等式x22ax40对一切x∈R恒成立，

所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点， 故Δ＝4a2160，∴2a2. ……………………3分

x

又∵函数f(x)＝(3－2a)是增函数，∴32a1，∴a1.………………6分

由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假. …………7分

若P真q假，则

2a2∴1a2； ……………………9分 a≥1,a≤2,或a≥2若p假q真，则∴a2；……………………a1,11分

综上可知，所求实数a的取值范围为1a2或a2.……………12分 17．解：

(Ⅰ)p(100X120)1[p(9030X9030)p(9010X9010)]

21(0.99740.6826)0.1574；……………………………52分

数学分数在(100,120)之间的考生约有：50000.1574787人；………6分

(Ⅱ)注意到114人占5000的比例为

1141P0.0228[1p(70X110)]，

50002所以录取分数线应该110．………………………………………12分 18．解：

(Ⅰ)展开式第3项为T3C倒数第3项是Tn21C个通项得3分)

22Cn1所以有：n22n2，解得

16Cn2在

2n22x2x62，

n2n2x2xn2…………(写出两

n8；………………………………4分

2(Ⅱ)当n8时，xx28展开式的通项为

8r2r2rrrTr1C8x2C82x2

x要为有理项则8r2r为整数，此时r可以取到

28rr0,2,4,6,8，………7分

所以有理项分别是第1项，第3项，第5项，第7项，第9项；……8分 (Ⅲ)设第

r1项系数的最大，则

rrr1r1C82≥C82rrr1r1C82≥C82，

12≥r9r∴， 1≥28rr1解

得：

5≤r≤6，……………………………………………10分

故系数的最大的项是第6项和第7项，分别为1792x，1792x11……12分 19．解：

(Ⅰ)在X1时，表示第一次取到的1号球，

1P(X1)；………………1分

3172在X3时，表示第一次取到2号球，第二次取到1号球，或第一次取到3号球，

1114P(X3)；……………………4分

3339在X5时，表示第一次取到2号球，第二次取到3号球，

122P(X5)．…………………………………6分

339的概率分布

为…………………………………………………7分

1 3 5 X X142 P 399(Ⅱ)E(X)11345225， ………………………10分

3999251254252176D(X)(1)2(3)2(5)2．………13分

9399998120．解：

(Ⅰ)如果随机抽查这个班的一名学生，抽到积极参加班

级工作的学生的概率是12，所以积极参加班级工作

25的学生有125024人，以此可以算出学习积极性一

25般且积极参加班级工作的人数为6，不太主动参加班级共工作的人数为26，学习积极性高但不太主动参加班级工作得人数为7，学习积极性高的人数为25，学习积极性一边拿的人数为25，得到变革如下： 积极参加班不太主动参加合 级工作 班级工作 计 学习积极18 7 25 性高 学习积极6 19 25 性一般 合计 24 26 50 ………………………6分

2

50×(18×19－6×7)150

(Ⅱ)k＝＝≈11.5，

25×25×24×2613

∵k＞10.828，∴有99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系．………12分 21．解：

(1)依题意，得

3P01，P，.………………………………………2分 14P21331344416………………………………………

……………4分

(Ⅱ)设棋子跳到第n站(2≤n≤99)有两种可能：第一

种，棋子先到第n2站，又掷出后得到A面，其概率为1Pn2；第二种，棋子先到第n1站，又掷出后

4

得到B,C,D中的一面，其概率为3Pn1，由于以上两种

4可能是互斥的，所以Pn3Pn11Pn2，

44即有PnPn11(Pn1Pn2).………………………9分

4(Ⅲ)由(Ⅱ)知数列{PnPn1}是首项为P1P01，公比为

41的等比数列. 4于是有

1111PP，PP，PP，，PP102132999844442399.

把以上各式相加，得

11P9944299100511P01.

444因此

100，获胜的概分

率为

51144．…………………………14S(n,n)在函数8、9、10班的20题答案：因为点．．．．．．．．．．．．．nan的图象上， 2x故Snnan，所以Snn21an ①． n2n2令n1，得a111a1，所以a12；

21n≥2时Sn1(n1)2an1 ②

2f(x)xn≥2时①－②得anan14n2

令anA(n1)B(an1AnB)，

即anan12AnA2B与anan14n2比较可得 2A4,A2B2，解得A2,B2． 因此an2(n1)2(an12n2)

又a12(11)20，所以an2(n1)20， 从而an2n． ………………………4分

(2)因为an2n(nN*)，所以数列an依次按1项、2项、

3项、4项循环地分为(2)，(4，6)，(8，10，12)，(14，16，18，20)；(22)，(24，26)，(28，30，32)，(34，36，38，40)；(42)，….每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20.故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，

所以b1006824801988．又b5＝22，所以b5b100＝2018.…………9分

(3)有(1)中知an2n，∴g(n)(12)n(11)n，

ann当n1时，f(1)2[2,3)；

111212()Cn()当n2时，(11)nCn0(1)0Cnnnnnn1nCn() n显

1010111212(1)nCn()Cn()Cn()nnnn然

n1n010111Cn()Cn()Cn()2

nnn而Ckn1n(n1)(n2)()knnk(nk1)11111k!k!(k1)k(k1)k(k2)

1010111212n1n(1)nCn()Cn()Cn()Cn() nnnnn11111111(1)()()33．……14

223n1nn分