向量的数量积经典例题（含详细答案）

向量的数量积经典例题（含详细答案）1．已知3,4a b ==r r ，,a b r r 的夹⾓为120o .求（1）a b r r g ，()()

22a b a b +?-r r r r ；（2）23a b +r r2．已知向量a r 、b r 的夹⾓为2,||1,||23a b π==r r . （1）求a r ·b r 的值

（2）若2a b -r r 和ta b +r r 垂直，求实数t 的值.3．已知平⾯向量()()1,2,2,a b m =-=r r（1）若a b ⊥r r ，求2a b +r r ；

（2）若0m =，求a b +r r 与a b -r r 夹⾓的余弦值.4．已知向量(2,1),(3,2),(3,4)a b c =-=-=r r r ，（1）求()a b c ?+r r r；

（2）若()a b c λ+r r r ∥，求实数λ的值.5．已知||2a =r ，||b =r (23)()2a b a b -+=r r r r .

（1）求a b ?r r 的值；（2）求a r 与b r 所成⾓的⼤⼩.6．已知()1,2a =r ，()3,4b =-r

（1）若ka b +r r 与2a b -r r 共线，求k ；（2）若ka b +r r 与2a b -r r 垂直，求k .

7．已知2,3a b ==r r ,a r 与b r 的夹⾓为60?,53c a b =+r r r ,3d a kb =+r r r ,(1)当c d v P v 时，求实数k 的值；(2)当c d ⊥r u r 时，求实数k 的值.参考答案

1．（1）6-，32-； （2）

【解析】【分析】

（1）根据向量数量积的定义进⾏求解；（2）根据23a b +=

r r 先求数量积，再求模长．

【详解】 解：（1）∵3,4a b ==r r ，,a b r r 的夹⾓为120o ，

∴cos120a b a b ?=r r r r g 134()2=??-=6-， ()()22a b a b +?-=r r r r 22223a b a b -+r r r r g 292163(6)=?-?+?-=32-；（2）23a b +=r r=

= 【点睛】

本题主要考查平⾯向量的数量积的定义及平⾯向量的模长，考查计算能⼒，属于基础题． 2．（1）1-；（【解析】【分析】

（1）利⽤数量积的定义直接计算即可．（2）利⽤()()

20t b a b a +=-r r r r g 可求实数t 的值． 【详解】 （1）21cos 12132a b a b π==??-=- r r r r ． （2）因为2a b -r r 和ta b +r r 垂直，故()()

20t b a b a +=-r r r r g ， 整理得到：()22220ta t a b b +--=r r r r g 即()12212402t t ??+---= ， 解得2t =．【点睛】

本题考查数量积的计算以及向量的垂直，注意两个⾮零向量,a b v v 垂直的等价条件是0a b ?=v v，

本题属于基础题．3．（1）25a b +=r r （2）65

【解析】【分析】

（1）由题可得0a b ?=r r ，解出1m =，()()()21,24,23,4a b +=-+=r r ，进⽽得出答案。（2）由题可得(1,2)a b +=r r ，-(3,2)a b =-r r ，再由cos -a b a b a bθ?=+r r r r r r 计算得出答案， 【详解】因为a b ⊥r r ，()()1,2,2,a b m =-=r r所以0a b ?=r r，即220m -+=

2）2.解得1m = 所以()()()21,24,23,4a b +=-+=r r25a b +==r r

（2） 若0m =，则()2,0b =r所以(1,2)a b +=r r ，-(3,2)a b =-r ra b +=r r

，-a b =r r 341a b ?=-+=r r

所以cos -a b a b a b

θ?===+r r r r r r 【点睛】

本题主要考查的向量的模以及数量积，属于简单题。4．（1）10；（2）1118-【解析】

【分析】 （1）根据向量的坐标运算，得到b c +r r ，然后利⽤向量数量积的坐标运算，得到()a b c ?+r r r 的值；（2）根据向量的坐标运算，得到a λb +r r，再根据向量平⾏得到关于λ的⽅程，求出λ的值.【详解】

（1）因为()2,1a =-r ，()3,2b =-r ，()3,4c =r所以()6,2b c +=r r所以()

()261210a b c ?+=?+-?=r r r . （2）()23,12a b λλλ+=+--r r因为()a b c λ+r r r ∥

所以()()234123λλ+?=--? 解得1118λ=-【点睛】

本题考查向量线性运算的坐标表⽰，向量数量积的坐标表⽰，根据向量的平⾏求参数的值，属于简单题.5．（1）3a b ?=-r r ；（2）56πα=. 【解析】

【分析】 （1）由(23)()2a b a b -?+=r r r r 即||2a =r

，||b =r 得。

（2）由夹⾓公式cos a b a b

α?=?r r r r 计算出夹⾓的余弦值，即可求出夹⾓。 【详解】解：（1）()()

232a b a b -?+=r r r r Q 2222332a a b a b b ∴+?-?-=r r r r r r||2a =r Q

，||b =r 3a b ∴?=-r r

（2）由（1）知3a b ?=-r r ，||2a =r，||b =r

cosa ba bα∴===r rr r[]0,απ∈Q56πα∴=【点睛】

本题考查向量的数量积的运算律，特殊⾓的三⾓函数值及夹⾓公式，属于基础题。6．（12

1）-；（2）9-.【解析】【分析】（1）求得(3,24)ka b k k+=-+r r，2(7,6)a b-=-r r

，根据向量的共线条件，即可求解。（【详解】

（1）由题意，向量()1,2a=r，()3,4b=-r，

则(1,2)(3,4)(3,24)ka b k k k+=+-=-+r r

，2(1,2)(6,8)(7,6)a b-=--=-r r，因为ka b+r r与2

2）根据向量的垂直条件，列出⽅程，即可求解。a b-r r

共线，可得(3)(6)(24)7k k-?-=+?，解得12k=-。

（2）由（1）可得，向量(3,24)ka b k k+=-+r r，2(7,6)a b-=-r r，因为ka b+r r与2a b-r r

垂直，可得(3)7(24)(6)0k k-?++?-=，解得9k=-。【点睛】

本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的共线与垂直的应⽤，其中解答中熟记向量的共线与垂直的条件，以及熟练应⽤向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能⼒，属于基础题。7．（1）9

5

k=；（2）2914k=-.【解析】【分析】

(1)先由c d v P v ,设c d r v λ=，列出等式即可求出结果；（2）先由题意求出a b ?r v ，根据c d ⊥v v ,得0c d ?=vv ，进⽽可求出结果.

【详解】 ⑴c d v v P 因为,所以设c d r v λ=()

533a b a kb λ∴+=+r r v v ， 53,3k λλ∴==，

95k ∴=. ⑵因为2,3a b ==v v ,a v 与b r 的夹⾓为60?,12332a b ∴?=??=r v ， ⼜ c d ⊥v v ,0c d ∴?=v v ，()()

()()225331535960273590a b a kb a kb k a b k k ∴+?+=+++?=+++=r r r v v v v v ， 2914k ∴=-. 【点睛】

本题主要考查向量共线以及垂直的应⽤，熟记向量共线定理以及向量数量积的运算即可，属于常考题型.