2013年高考数学试题与答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1. 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至3页，第II卷

3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成，写在本试卷上无效。 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第I卷

一． 选择题：本大题共12小题，第小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。 （1）已知集合A{x|x22x0}，B{x|5x5}，则

（A） ABR （B）AB （C） BA （D）AB （2）若复数z满足(34i)z|43i|，则z的虚部为

（A）4 （B）44 （C）4 （D）

55（3）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调

查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个阶段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大。在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是

（A）简单随机抽样 （B）按性别分层抽样 （C）按学段分层抽样 （D）系统抽样

x2y25(4)已知双曲线C：221(a0,b0)的离心率为，则C的渐近线方程为

2ab（A）y111x （B）yx （C）yx （D）yx 432 开始（５）执行右边的程序框图，如果输入的t[1,3]，则输出的s属于 (A) [3,4] (B) [5,2] (C) [4,3] (D) [2,5]

是输入t否t1s3ts4tt2输出S 结束（６）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm.，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为

866500cm3 (B) cm3 3313722048cm3 (D) cm3 (C)

33(A)

（7）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，

Sm13，则m=

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

（A）16+8

2（B）8+8

（C）16+16 （D）8+16 （9）设m为正整数，(xy)值为a，(xy)2m12m24244展开式的二项式系数的最大

2展开式的二项式系数的最大值为b.若

13a7b，则m=

（A）5 （B）6 （C）7 （D）8

x2y2（10）已知椭圆E：221(ab0)的右焦点为F（3,0），过点F的直线交E于A，

abB两点.若AB的中点坐标为（1，-1），则E的方程为

x2y2x2y2x2y2x2y21 （B）1 （D）1 1 （C）（A）

453627181893627x22x,x0,(11)已知函数f(x)若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是

ln(x1),x0.(A) (,1] (B) (,0]

(C) [2,1]

(D) [2,0]

（12）设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3，….若

b1c1,b1c12a1,an1an,bn1（A）{Sn}为递增数列

cnanban,cn1n，则 22（B）{Sn}为递减数列

（C）{S2n1}为递增数列，{S2n}为递减数列 （D）{S2n1}为递减数列，{S2n}为递增数列

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答，第(22) ~ (24)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c=ta+(1-t) b.若b·c=0，则t=____________. （14）若数列{an}的前n项和Sn21an，则{an}的通项公式是an=__________. 33（15）设当x时，函数f(x)sinx2cosx取得最大值，则cos_________________. （15）若函数f(x)(1x2)(x2axb)的图像关于直线x=-2对称，则f(x)的最大值为________.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

如图，在△ABC中，ABC=90°，AB3，BC1，P为△ABC内一点，

BPC=90°.

1（Ⅰ）若PB，求PA；

2（Ⅱ）若APB=150°，求tanPBA.

（18）（本小题满分12分）

ACPB

如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB,ABAA1,BAA160. （Ⅰ）证明：ABA1C；

（Ⅱ）若平面ABC平面AA求直线A1C1B1B，ABCB，与平面BB1C1C所成角的正弦值。

BACC1B1A1（19）（本小题满分12分）

一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为品是否为优质品相互独立.

1，且各件产2（Ⅰ）这批产品通过检验的概率；

（Ⅱ）已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望. （20）（本小题满分12分）

已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A,B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

（21）（本小题满分12分）

设函数f(x)x2axb，g(x)ex(cxd).若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P（0,2），且在点P有相同的切线y4x2. （Ⅰ）求a,b,c,d的值；

（Ⅱ）若x2时，f(x)kg(x)，求k的取值范围.

请考生在第22、23、24题中任选一道作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请用２Ｂ铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 （22）（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线DBBE交圆与点E，DB垂直BE交圆与点D。 （1） 证明：DB＝DE；

（2） 设圆的半径为1, BC＝3，延长CE交AB与点F，求BCF外

接圆的半径。

（23）（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程式CEFAx45cost,（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴

y55sint,为极轴建立坐标系，曲线Ｃ２的极坐标方程式为2sin. （Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；

（0,02）（Ⅱ）求C1与Ｃ２交点的极坐标。

（24）（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲 已知函数f(x)|2x1||2xa|，g(x)x3. （Ⅰ）当a2时，求不等式f(x)g(x)的解集；

（2）设a1，且当x[a1,)时，f(x)g(x)，求a的取值范围。 22