高考三角函数 解答题及答案

解：(1) 由余弦定理：conB= 4

sin

2AB1

+cos2B= - 42115,得sinB. ∵b=2， 44（2）由cosBa215118+c2=ac+4≥2ac,得ac≤,S△ABC=acsinB≤(a=c时取等号)

223315 3 故S△ABC的最大值为

2在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC3acosBccosB. （I）求cosB的值；

（II）若BABC2，且b22，求a和cb的值.

解：（I）由正弦定理得a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC，

因此cosB1. 3

（II）解：由BABC2,可得acosB2，

所以a＝c＝6

π

3已知向量m =sinB,1cosB, 向量n = （2，0），且m与n所成角为，

3

其中A、B、C是ABC的内角。 (1)求角B的大小;

(2)求 sinAsinC的取值范围。

解：（1） m =sinB,1cosB，且与向量n = （2，0）所成角为又0B （2）由（1）知，B， 32，A+C=

33sinAsinC=sinAsin(13cosA=sin(A) A)=sinA22330A3，

sin(33， ,1,1 sinAsinCA)322urrurr4已知向量m(1,2sinA)，n(sinA,1cosA),满足m//n,bc3a. （I）求A的大

小；（II）求sin(B6)的值.

解：（1）由m//n得2sin2A1cosA0 ……2分 即2cos2AcosA10 cosA1或cosA1

2 A是ABC的内角,cosA1舍去 A

3

（2）bc3a

由正弦定理，sinBsinC3sinA3

2

2BC3

sinBsin(23B) 325在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，C＝2A，cosA（1）求cosC,cosB的值； （2）若BABC3， 427，求边AC的长。 2911 168解：（1）cosCcos2A2cos2A12 （2）BABC2727,accosB,ac24 ① 22ac3 又,C2A,c2acosAa ②

sinAsinC2 由①②解得a=4，c=6

b5，即AC边的长为5.

r6rABAB6已知A、B是△ABC的两个内角，向量a，若|a|. （2cos, sin）222（Ⅰ）试问tanAtanB是否为定值？若为定值，请求出；否则请说明理由；

（Ⅱ）求tanC的最大值，并判断此时三角形的形状. 解：（Ⅰ）由条件

36r()2|a|2 22∴cos(AB)1cos(AB) 2∴3sinAsinBcosAcosB ∴tanAtanB（Ⅱ）tanCtan(AB)1为定值. 3tanAtanB

1tanAtanB1 由（Ⅰ）知tanAtanB，∴tanA,tanB0

333从而tanC(tanAtanB)≤2tanAtanB3 22∴取等号条件是tanAtanB3， 即AB 取得最大值， 367在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a+b=5，c =

7，且

4sin2AB7cos2C. 22(1) 求角C的大小； （2）求△ABC的面积.

解：(1) ∵A+B+C=180°

AB7C7cos2C得4cos2cos2C 22221cosC7 ∴4(2cos2C1)

22 由4sin2整理，得4cos2C4cosC10

1 ……5分 2 ∵0C180 ∴C=60°

解 得：cosC（2）解：由余弦定理得：c=a+b－2abcosC，即7=a+b－ab

∴7(ab)3ab

由条件a+b=5得 7=25－3ab ab=6……10分 ∴SABC22

2

2

2

2

11333 absinC622228已知角A,B,C为ABC的三个内角，其对边分别为a,b,c，若m(cosAA,sin)，22AA1n(cos,sin)，a23，且mn．

222 （1）若ABC的面积S （2）求bc的取值范围．

解：（1）m(cos3，求bc的值．

AAAA1,sin)，n(cos,sin)，且mn. 22222cos2AA112………..2分 sin2，即cosA，又A(0,)，A222231又由SABCbcsinA3，bc4

22由余弦定理得：a2b2c22bccosb2c2bc

316(bc)2，故bc4

（2）由正弦定理得：

bca234，又BCA，

2sinBsinCsinA3sin3B0B3，则

3332sin(B)1，即bc的取值范围是.则233(23,4].…10分

9在锐角△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且

(tanA－tanB)＝1＋

tanA·tanB．

222

(1)若a－ab＝c－b，求A、B、C的大小；

(2)已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(cosB，sinB)，求｜3m－2n｜的取值范围． 10在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，m(2bc,a)，

n(cosA,cosC)，且mn。

⑴求角A的大小； ⑵当y2sin2Bsin(2B6)取最大值时，求角B的大小

解：⑴由mn，得mgn0，从而(2bc)cosAacosC0 由正弦定理得2sinBcosAsinCcosAsinAcosC0

QA,B(0,)，sinB0,cosA分）

⑵y2sin2Bsin(2B由(1)得，0B即B1，A （6

326)(1cos2B)sin2Bcos6cos2Bsin6

27,2B,时， 3666623时，y取最大值2

11在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且 （I）求角B的大小；

cosBb. cosC2ac （II）若b13，ac4，求△ABC的面积. 解：（I）解法一：由正弦定理

abc2R得 sinAsinBsinC 将上式代入已知

cosBbcosBsinB 得cosC2accosC2sinAsinC 即2sinAcosBsinCcosBcosCsinB0 即2sinAcosBsin(BC)0

∵ABC，∴sin(BC)sinA，∴2sinAcosBsinA0 ∵sinA≠0，∴cosB1， 22. 3 ∵B为三角形的内角，∴Ba2c2b2a2b2c2，cosC 解法二：由余弦定理得cosB

2ac2abcosBba2c2b22abb得×2 将上式代入 22cosC2ac2ac2acabc 整理得a2c2b2ac

a2c2b2ac1 ∴cosB2ac2ac2 ∵B为三角形内角，∴B2 32代入余弦定理b2a2c22accosB得 3 （II）将b13，ac4，B b(ac)2ac2accosB，

22 ∴13162ac(1)，∴ac3

∴S△ABC1213acsinB3. 2412ABC中，a、b、c是三个内角A、B、C的对边，关于x 的不等式

x2cosC4xsinC60的解集是空集． （1）求角C的最大值；

73，ABC的面积S3，求当角C取最大值时ab的值． 22cosC0解析：（1）显然cosC0 不合题意， 则有，

0 （2）若ccosC0cosC0即， 即1， 2cosC2或cosC16sinC24cosC02 故

cosC12，∴角

C的最大值为

60。 …………………6分

133absinCab3，∴ab6， 2422222 由余弦定理得cab2abcosC(ab)2ab2abcosC，

12111 ∴(ab)2c23ab，∴ab。

42 （2）当C=60时，SABC13在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a－c）cosB=bcosC.

（Ⅰ）求角B的大小；

urrurr （Ⅱ）设msinA,cos2A,n4k,1k1,且mn的最大值是5，求k的值.

解：（I）∵(2a－c)cosB=bcosC，

∴（2sinA－sinC）cosB=sinBcosC.……………………………………………2分 即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB =sin(B+C)

∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA.…………………………………………4分 ∵01.…………………………………………………………………5分 2∵03urr （II）mn=4ksinA+cos2A.…………………………………………………………7分

∴cosB=

=－2sinA+4ksinA+1，A∈（0，设sinA=t，则t∈(0,1].

2

22）……………………………………10分 3urr222

则mn=－2t+4kt+1=－2(t－k)+1+2k,t∈(0,1].…………………………12分 urr∵k>1，∴t=1时，mn取最大值.

依题意得，－2+4k+1=5，∴k=

uv14已知锐角△ABC三个内角为A、B、C，向量p=(2-2sinA,cosA+sinA) 与向量

vq=(sinA-cosA,1+sinA)是共线向量.

C-3B2（Ⅰ）求角A. （Ⅱ）求函数y=2sinB+cos的最大值.

2urr解：（Ⅰ） Qp,q共线

3. 222sinA1sinAcosAsinAcosAsinA……2分

3…………4分 43又A为锐角，所以sinAA………6分

23B3BC3B32sin2Bcos （Ⅱ）y2sin2Bcos

2231sin2Bcos2B1sin(2B)1……………9分 2265 QB0,2B,…………10分

2666 sin2A 2B62B3时，ymax2…………12分

15在三角形ABC中，m=（cos （1）求C；

CCCC,sin）, n=(cos,－sin)且m,n的夹角为

22223337,三角形的面积S=,求a+b（a、b、c分别∠A、∠B、∠C所对的边）

22CC解：（1） m•ncos2sin2cosC

221 cosC= C=

237222

（2） c=a+b－2abcosC c=

2 （2）已知c=

3331149222

=a+b－ab=(a+b)－3ab. S=absinC=absin=ab=

2224342

Ab=6 (a+b)=

494912111+3ab=+18= a+b= 444216已知ABC中，角A，B，C，所对的边分别是a,b,c，且2a2b2c23ab； （1）求sin2AB

2 （2）若c2，求ABC面积的最大值。

3a2b2c232分 解：（Ⅰ）abcab,cosC22ab4222（Ⅱ）a2b2c2又a2b22ab,33ab,且c2，a2b24ab， 223ab2ab4,ab88分 2当且仅当ab22时，△ABC面积取最大值，最大值为7. 17在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC．

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求3sinA-cos（B+4）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。

解析：（I）由正弦定理得sinCsinAsinAcosC. 因为0A,所以

B3（II）由（I）知

4A.于是

2sin(A6)取最大值2．

3sinAcos(B)A,B5综上所述，4的最大值为2，此时312.

18 △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知A—C=90°，a+c=2b，求解：由ac2b及正弦定理可得

sinAsinC2sinB.

…………3分

又由于AC90,B180(AC),故 2cos2C.

…………7分

因为0C90， 所以2C45C,

cosA-2cosC=2c-a19在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知

cosBb．sinC1 （I）求sinA的值；（II）若cosB=4，b=2，ABC的面积S。

abck,解： （I）由正弦定理，设sinAsinBsinC 2ca2ksinCksinA2sinCsinA则bksinBsinB,

C．

cosA2cosC2sinCsinA.cosBsinB所以

即(cosA2cosC)sinB(2sinCsinA)cosB， 化简可得sin(AB)2sin(BC). 又ABC， 所以sinC2sinA

sinC2.因此sinA

sinC2sinA （II）由得c2a.

由余弦定理 解得a=1。因此c=2

151sinB.cosB,且GB.44又因为所以

因此

20在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，

且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC （Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）若sinBsinC1，试判断ABC的形状.

解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a(2bc)b(2cb)c

即abcbc

由余弦定理得abc2bccosA 故cosA22222221,A120 2222 （Ⅱ）由（Ⅰ）得sinAsinBsinCsinBsinC.

又sinBsinC1，得sinBsinC因为0B90,0C90， 故BC

1 2 所以ABC是等腰的钝角三角形。

21在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 （Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）求sinBsinC的最大值. 解：

（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a(2bc)b(2cb)c 即 abcbc

由余弦定理得 abc2bccosA 故 cosA22222221，A=120° ……6分 2（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。 ……12分

22△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足

S32(ab2c2)。 4（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求sinAsinB的最大值。

23设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2bsinA． （Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）求cosAsinC的取值范围．

解：（Ⅰ）由a2bsinA，根据正弦定理得sinA2sinBsinA，所以sinB由△ABC为锐角三角形得B1， 2π． 6A （Ⅱ）cosAsinCcosAsin3sinA．

3由△ABC为锐角三角形知，

AB，B． 2222632A， 336所以

13． sinA232由此有333sinA3， 232332，． 2所以，cosAsinC的取值范围为24在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，a23，tanABCtan4, 222sinBcosCsinA，求A,B及b,c

ABCCCtan4得cottan4 2222CCcossin1224 ∴∴4 CCCCsincossincos22221∴sinC，又C(0,)

25∴C，或C

66解：由

tan由2sinBcosCsinA得 2sinBcosBsin(BC) 即sin(BC)0 ∴BC 由正弦定理

abc得 sinAsinBsinC25在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且3a2csinA

(Ⅰ)确定角C的大小： （Ⅱ）若c＝7,且△ABC的面积为

332,求a＋b的值。

解（1）由3a2csinA及正弦定理得，

a2sinAsinA 21世纪教育网 csinC3QABC是锐角三角形，C（2）解法1：Qc3

7,C3.由面积公式得

由余弦定理得21世纪教育网

（a+b)25,故ab5 由②变形得

解法2：前同解法1，联立①、②得

2消去b并整理得a13a360解得a4或a9 所以4222a2a3故ab5 或b3b2