广东省揭阳市惠来县2016_2017学年高二数学下学期第二次阶段考试5月试题理

高二理科数学

本试卷分选择题和非选择题两部分。满分为150分，考试时间120分钟。 附：球的体积公式为VR3

第Ⅰ卷 选择题 (共60分)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

1．抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验结果是( ) A．一颗是3点，一颗是1点 B．两颗都是2点

C．两颗都是4点 D．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点 2．已知i为虚数单位，若复数za21(1a)i（其中aR）为纯虚数，则A.

3．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是 半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆． 则该几何体的体积为( ) A.4

4．“m1”是“函数fxx6mx6在区间,3上为减函数”的( )

243z（ ） 2i42244224i B.i C.i D.i 555555552π 3 B.422π42π C.8 33 D.882π 3A．充分必要条件 B．既不充分又不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件

5. 将两颗骰子各掷一次，记事件A＝“两个点数都不同”，B＝“至少出现一个6点”，则条件概率PBA 等于( )

A. B.6.二项式(axA. 2

1311105 C. D.

63011a362的展开式的第二项的系数为，则xdx的值为( ) )326 B.

7 3 C.

8 3

D. 3

1

a15

7.随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝nn＋1(n＝1,2,3,4，„,10),中a是常数，则P(2的值为( )

73115A.15 B.5 C.15 D.6

8.设等差数列an的前n项和为Sn,等差数列bn的前n项和为Tn,若此时满足

Snn3, Tnn+3a28a2=（ ） 则

b10b20b12b18A. 1

B.

2 3 C.

1 2 D.

13 169．将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是( ) A. 40 B. 60 C. 80 D.100

10. 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是

12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.则甲队以3：2234 278 2716 81 获得比赛胜利的概率为 ( ) A.

2 81 B. C. D.

11.如图所示，椭圆中心在原点，F是左焦点，直线AB1与BF交于D， 且BDB190，则椭圆的离心率为（ ） A.

3151 B. C.2251 D.3

2212.已知a,bR，且exa(x1)b对任意的xR恒成立，则ab的最大值是（ ） A.

13e B. 2e3 C. 3e3 D. e3 222第Ⅱ卷 非选择题 (共90分)

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．已知随机变量X服从二项分布B(6,)，则E(X)＝ ，D(X)＝ . 14．若函数fx的图象如图所示，它在点P处的切线方程是yx8，函数gxxfx；则g(5)g'(5)= .

15 2

15．将函数f(x)2cosx6的图象向左平移3个单位后得到g(x)的图象. 设m,n是集合

{1,2,3,4,5}中任意选取的2个不同的元素，记Xg(m)g(n)，则P(X3)= 16．若(x3)a0a1xa2xa3xa4xa5x，则

52345a0a12a23a34a45a5 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）

某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等制划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在70,85内，记为B等；分数在60,70内，记为C等；60分以下，记为D等.同时认定A,B,C为合格，D为不合格.已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在50,100内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照50,60,60,70,70,80,80,90,90,100的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C,D的所有数据茎叶图如图2所示. （1）求图1中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；

（2）在选取的样本中，从甲，乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

频率/组距0.056茎叶５４７0.0180.0120.010６３４７８图2O5060708090100成绩/分图118．（本小题满分12分）

已知函数f(x)23sinxcosx2cos2x1. （1）求函数f(x)的最小正周期与其对称轴；

3

x（2）在ABC中，若f()2，边AC1,AB2，求边BC的长及sinB的值.

19．（本小题满分12分）

如图，已知等腰直角三角形RBC，其中∠RBC90，RBBC2．点A、D分别是RB、RC 的中点，现将△RAD沿着边AD折起到△PAD位置， 使PAAB，连结PB、PC． （1）求证：BCPB；

（2）求二面角ACDP的平面角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖． (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；

(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X.求X的分布列和数学期望．

21.（本题满分12分）

如图，在圆x2y29上任取一点P，过点P作x轴的垂线PD，D为垂足，点M满足

D P A2C R A B 2DMDP；当点P在圆x2y29上运动时，点M的轨迹

3为E.

（1）求点M的轨迹的方程E；

（2）与已知圆x2y21相切的直线l:ykxm 交E于A,B两点，求OAOB的取值范围.

4



22.（本小题满分12分） 已知f(x)x2aln(x1). （1）求f(x)的单调区间；

（2）若F(x)f(x)ln2有两个极值点x1、x2且x1x12，求证F(x2)4.

5

答案：

1、D 2、B 3、C 4、C 5、A 6、B 7、C 8、D 9、A 10、B 11、B 12、A 262413、， 14、13 15、5 16、-163

52517、解：（1）由题意，可知10x0.012100.056100.018100.010101，

∴x0.004．．．．．．．．．．．．．．．．2分

∴甲学校的合格率为1100.0040.96．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3

分

而乙学校的合格率为120.96．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 50∴甲、乙两校的合格率均为96%

（2）样本中甲校C等级的学生人数为0.01210506

而乙校C等级的学生人数为4．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

∴随机抽取3人中，甲校学生人数X的可能取值为0，1，2，3．．．．．．．．．．．6分

123C6CC413,PX134, ∴PX03C1030C1010213C6C41C61PX23,PX33

C102C106．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（对两个给1分） ∴X的分布列为

X 0 1 2 3 P 1 303 101 21 6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

数学期望EX1311923．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 1026518、【解析】（1）f(x)3sin2xcos2x2sin(2x∴T6)， „„„„2分

2，所以函数f(x)的最小正周期为.„„„„4分 2kk,kZ∴函数f(x)对称轴为x,kZ„„„„当2xk,kZ，x6223236分

6

（2）f()2sin(AA26)2，A(0,)，∴A62，∴A2.„„„8分 3AC2AB2BC2， ABC中，由余弦定理得，cosA2ACAB141BC2即，∴BC7.„„„„10分

2221由正弦定理

BCAC21，可得sinB.„„„„12分 sinAsinB1419、解：（1）∵点A、D分别是RB、RC的中点，

∴AD//BC,AD1BC. ∴∠PADRADRBC=90°. 2∴PAAD. ∵AD//BC∴ PABC, -----1分 ∵BCAB,-----2分 PAABA-----3分 ∴BC⊥平面PAB. ------------------------4分 ∵PB平面PAB, ∴BCPB. -----5分

（2）法1：取RD的中点F，连结AF、PF． ∵RAAD1, ∴AFRC. -------6分

∵APAR,APAD, ∴AP平面RBC. ∵RC平面RBC, ∴RCAP. ∵AFAPA, ∴RC平面PAF. ∵PF平面PAF, ∴RCPF.-------7分 ∴∠AFP是二面角ACDP的平面角. -----------------8分 在Rt△RAD中, AF112， RDRA2AD222226cosAFPAF23在Rt△PAF中, PFPA2AF2，.

PF3622∴ 二面角ACDP的平面角的余弦值是

3. ---------------12分 320．解：(1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，

A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，

B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意，A1与A2相互独立，

－

－

－

－

A1A2与A1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1A2＋A1A2，C＝B1∪B2.

7

4251

因为P(A1)＝10＝5，„„„1分 P(A2)＝10＝2，„„„2分 211

所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝5×2＝5，„„„3分

－

－

－

－

－

－

P(B2)＝P(A1A2＋A1A2)＝P(A1A2)＋P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2)

21211

＝P(A1)[1－P(A2)]＋[1－P(A1)]P(A2)＝5×1－2＋1－5×2＝2.„„„5分

117

故所求概率P(C)＝P(B1∪B2)＝P(B1)＋P(B2)＝5＋2＝10.„„6分（互斥角度求出答案正确给６分） 1

(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为5，

1所以X～B3，5.［写出服从二项分布可以给一分］ 10436411424801于是P(X＝0)＝C355＝125，．．．．．7分 P(X＝1)＝C355＝125，．．．．．．8分 124112134013P(X＝2)＝C55＝125，．．．．．．9分 P(X＝3)＝C355＝125.．．．．．．10分

2

3

故X的分布列为

X P 0 64125 1 48125 2 12125 3 1125 „„„1１分 13

X的数学期望为E(X)＝3×5＝5.„„„1２分

223M(x,y)D(x,0)P(x,y)DMDPyyyy， 21、（1）设点，，，由已知 得即0003323点P(x,y)；„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分

2332x2y2222因为点P(x,y)在圆xy9上运动，得x(y)9即1；„4分

2294x2y2所以点M的轨迹E的方程为1．„„„„„„„„„„„„„„„„5分

94（2）1直线l：ykxm与xy1相切，d22|m|k211即m2k21；7分

224x9y36A(x,y)B(x,y)得(9k24)x218kmx9m2360， 2设11、22，由ykxm直线l与E交于两点得144(9k24m2)144(8k23)0，x1x2

18km， 29k48

9m2364m236k2，„„„8分 从而y1y2(kx1m)(kx2m)；„„„„9分 x1x2229k49k413m236k236235(1)，„„„103OAOB(x1,y1)(x2,y2)x1x2y1y29k2499k24分

5559232352311(1)，，．„11分

9k2449k244499k2492323,)．„„„„„„„„„„„„„„„12分 所以，OAOB的的取值范围[49又0

22、解：（1）f(x)的定义城(1,) „„„„„1分

a2x22xa 又f(x)2x „„„„„2分 x1x11 当48a0时，即a1时，2x22xa0，f(x)0，故f(x)在(1,) 递2增. „„„„„3分

2.当48a0，即a1112a时，令f(x)0得2x22xa0，解之x1，22x2112a， „„„„„4分

2112ax2(1,)，x1(1,)，12a1，即a0时，1时，12a1，

2①当x1所以在(1,x2)上f(x)0，f(x)递减，(x2,)上f(x)0，f(x)递增. ②当x11112a1时，即0a时，所以在(1,x1)上f(x)0，f(x)递增，(x1,x2)22上f(x)0，f(x)递减，在(x2,)上，f(x)0，f(x)在(x2,)递增. „„„„„5分 综上：

1 当a1时，f(x)的单调增区间为(1,)，无减区间. 21时，f(x)单调增区间为(1,x1)和(x2,)，减区间为(x1,x2). 22 当0a3 当a0时，f(x)的调减区间为(1,x2)，增区间为(x2,). „„„„„6分

9

（2）F(x)f(x)2x22xax1

若F(x)有两个极值点，由（Ⅰ）知0a1112a2，且x22，„„„7分 12xa(2x220，22x2) „„„„„8分 F(x2(2x22)x222x2)ln(x21)ln2 „„„„„9分

设(x)x2(2x22x)ln(x1)ln2(12x0)„„„„„10分 (x)2x2(2x1)ln(x1)2x

2(2x1)ln(x1)

12x0，12x11，ln(x1)0，2x10 (x)0，(x)在(12,0)递增 „„„„„11分

(x)(12)(12)2[2(12)22(1112)]ln(21)ln24.

F(x2)(x2)14 „„„„„12分

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