平面向量平面向量的基本定理文含解析-高考文科数学考点训练

专题31 平面向量 平面向量的基本定理（及坐标运算）

【考点讲解】

一、具本目标： 平面向量的基本定理及坐标表示 （1）了解平面向量的基本定理及其意义. （2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. （3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. （4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 考点透析：

1.理解平面向量基本定理的实质，理解基底的概念，会用给定的基底表示向量. 2.掌握求向量坐标的方法，掌握平面向量的坐标运算.

3.能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线，解三形等有关的问题.

4.用坐标表示的平面向量的共线条件是高考考查的重点，分值5分.一般是中低档题. 二、知识概述：平面向量基本定理及其应用 平面向量基本定理：

如果e1，e2是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量a，有且只有一对实数1，2，

使

.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

平面向量基本定理及其应用策略：平面向量基本定理又称向量的分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础.

用平面向量基本定理解决问题常用的思路是：先选择一组合适的基底，然后用平面向量基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．这对基底没有给定的情况下，合理的选取基底解决问题带来很多意想不到的便利.要熟练应用分点及中点的向量表达式.特别注意基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的

选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表

示是唯一的． 【真题分析】

1.【2014天津，文13】已知菱形ABCD的边长为2，

，点E，F分别在边BC、DC上，

BC3BE，DCDF.若AEAF1,，则的值为________.

xo

【答案】2

2.【山东省威海市2018届二模】在平行四边形

（

），则

中，

分别为边_______.

的中点，若

【解析】本题考点平面向量的加法法则、平面向量基本定理的应用，由题意可知，

又因为

，所以

所以有

4x3，解得，所以xy2.

y23【答案】2

3.【2014全国1，文6】设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点，则EBFC（ ） A.AD B.

11AD C. BC D. BC 22

【答案】A

4.【2017·湖南东部六校联考】如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交→→→→

于M，N两点，且AM＝xAB，AN＝yAC，则x＋2y的最小值为( )

13＋223

A．2 B． C. D． 334

→21→→1→1→1→1→11

【解析】由已知可得AG＝×(AB＋AC)＝AB＋AC＝AM＋AN，又M，G，N三点共线，故＋＝1，∴

32333x3y3x3y1

x＋

1

y＝3，则

(当且仅当x＝2y 时，取“＝”号)． 【答案】C

5.【优选题】设O(0,0),A(1,0),B(0,1), 点P是线段AB上的一个动点,AP AB, 若

,

则实数的取值范围是 ( )

A.

11 B. 2C. D.

【答案】B

6.【2017课标3】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上. 若AP= AB+AD，则+的最大值为（ ）

A．3

B．22

C．5

D．2

【解析】本题考点是向量的基本定理及坐标运算，由题意可知，建立如图所示的平面直角坐标系，可得点

，设点P到直线BD的距离也就是圆C的半径

x,y.由题意可得点C25为r，所以圆C的方程为

5【答案】90．

.

6.在平面直角坐标系中，给定ABC，点M为BC的中点，点N满足AN2NC，点P满足

.

、B、C三点坐标分别为（1）求与的值；（2）若A点坐标.

，求P

（2）

A(2,2)、B(5,2)、C(3,0)，由于M为BC中点，M(1,1) .

设P(x,y)，又由（1）知AP4PM 所以

可得

6x5，解之得

2y56255所以P点的坐标为(,).

4625【答案】（1）；（2）P点的坐标为(,).

5535