混凝土本构模型

高等混凝土结构学课程报告

学生：汤鹏

学号：2010202100018 班级：硕士一班 老师：何英明 教授 日期：2011.8

混凝土非线性弹性本构模型

有三种不同形式的基于弹性的本构模型用在一般公式中，它们是： (1)Cauchy型；(2)Green(超弹性)型；(3)增量(亚弹性)型。

1) Cauchy型的全应力—应变公式

在Cauchy弹性材料模型中，将当前的应力状态ij惟一地表示成当前应变状态kl的函数，即ij=Fij(kl)

上式描述的弹性性质是可逆的和路径无关的，从这种意义上讲，应力由应变的当前状态惟一确定，反之亦然，材料性质与达到当前应力或应变状态的应力或应变历史没有相关性。然而，一般地，应力由应变惟一确定或相反，而逆命题不一定正确。而且，应变能W (ij)和余能密度函数(ij)的可逆性和与路径无关的情况通常不能保证， W(ij)ij0ijdij(ij)ij0ijdij

已经证明，Cauchy型弹性模型在加载－卸载循环中要产生能量。这就是说，这类模型违背了热力学原理(实际上是不能接受的)，这自然就让人想到第二类公式，Green超弹性型。

一般说来，Cauchy型各向异性线弹性模型有36个材料弹性模量。对于最简单的各向同性线弹性材料，这个数目将减少到两个(E和，或K和G)，相应的应力—应变关系简化为熟悉的广义虎克定律。

2) Green(超弹性)型的全应力—应变公式

严格地说，弹性材料必须满足热力学平衡方程。由此附加要求表

征的弹性模型就叫做Green超弹性型，此类模型的基础是假定有如下的应变能W (ij)和余能密度函数(ij)

ijWijijij

式中，W和分别是当前应变张量和应力张量分量的函数，这就保证了在加载循环过程中没有能量产生，热力学准则总能满足。 对初始各向同性弹性材料，w或分别用任意三个独立的应变或应力张量ij 或ij的不变量表示。 一般地，如果用下面三个应力张量不变量表示 则有

ijI1I1ijI2I2ijI3I3ij1ij2ij3imjmI1kkI2I31213

kmkm kmknmn

ii(Ij)iIjIi

jIi

在各向同性线弹性材料情况下，Cauchy弹性公式和Green超弹性公式都可简化为用两个独立材料常数表示的广义虎克定律。然而，在一般的各向异性线弹性材料中，Cauchy型公式有36个材料常数，而在Green公式中，仅需要21个材料常数。

概括起来说，上面描述的Cauchy和Green超弹性两种基于弹性

的模型，可进一步归结为以割线(全量)公式描述的有限材料特征，而且这些模型的关系既有可逆性又与路径无关，它们的应用主要限制在单调或比例加载范围。尽管有这些缺点，但这些模型简单，所以，割线型公式已用于描述混凝土材料的非线性性质，并在此基础上发展了好几种本构模型。

3) 微分(亚弹性)型应力—应变增量关系

微分型应力—应变增量公式经常用来描述一类材料的力学性质，但这类材料的应力状态决定于应变状态和达到该状态的应力路径。 在最一般的形式中，与时间相关的材料的增量关系记为： F(ij, kl, mn, pq)=0

kl, pq分别是应力增量和应变增量，F是张量函数。 作为弹性材料的最低要求是在任何情况下应力应变增量张量之间存在一一对应的坐标关系，最简单的类型就是通过取决于单一状态变量的材料响应模量使得应变增量与应力增量线性相关，常用到以下四种特殊形式，它们为：

ij=Cijkl(mn)kl ; ij=Cijkl(mn)kl ij=Dijkl(mn)kl ;   ij=Dijkl(mn )kl 其中，材料响应函数Cijkl (刚度系数) 和Dijkl(柔度系数)是指标自变量的一般函数(如，要么是应力张量的函数，要么是应变张量的函数)，上式描述的是无穷小(或增量)可逆性。这一点证明了Truesdell(1995)在“亚弹性”一词中用后缀“弹性”来描述第一式的本构

关系的用途，实际上可以得出这样的结论，在递增的测量中，词语亚弹性、Cauchy弹性和Green超弹性具有弹性和可恢复的意思。 亚弹性材料的响应一般是与路径有关的(与应力或应变历史有关)。例如：对式中的微分(增量)方程在不同的路径和初始条件下积分明显导致不同的应力—应变关系。此外，亚弹性通常表现出应力或应变诱发的各向异性。

全量型非线性弹性本构关系 1. 线弹性关系表达式

ij=Cijklkl

[]={x y z xy yz zx}T []={x y z xy yz zx}T []=[D][]

1E[D](1)(12)1对11220001220称122

4KG3K2G32[D]KG3KKK234323GGGK43GG对称000G0 GKE3(12)9KG2KGGE2(1)

E12GSij

3K2G2(3KG)ijkk9KijijKVij2Geij

2. 全量K、G型

Andenaes、Cedolin、Kapfer和Gerstle等人都进行了一系列实验，得到了X、G随八面体应力和应变的变化规律。下面介绍的是Cedolin等建议的模型。对各向同性体，八面体应力(oct、oct)与八面体应变(oct、oct)之间有如下弹性关系

oct3KsoctoctGsoct

Cedolin等人做了一批实验，由量测得出的应力、应变推算出八面体的应力与应变，并收集了其他学者的一些实验数据，由此可以得到Ks及Gs的变化规律有如下形式

KsK0aboctcd

GsG0pqoc/tmsoct

t

其中K0，G0为初始体积模量与剪切模量；Ks，Gs为全量型体积模量与剪切模量，它随八面体应变oct与oct的增大而减小。a、b、c、d、p、q、m、s和t为材料常数，由实验数据统计求出，Cedolin等人求得

a=0.85 b=2.5 c=0.0014 d=0.15 p=0.81 q=2.2 m=0.002 s=2.0 t=0.19

将变化了的Ks、Gs代替弹性矩阵中的K0、G0，即得非线性弹性本构矩阵.这一形式是很简洁的。但根据一部分实验数据得出的规律不一定适用于不同原材料、不同配合比、不同强度的混凝土。即使规律相似，要确定上述式子中九个材料常数也不是件容易的事。因而在实用上受到很大的限制。

3．全量E-型(0ttosen模型)

Ottosen提出了一个建议，将一维的-关系推广到复杂的应力状态中去，这一模型既能描述-关系的上升段，也能描述-关系的下降段，计算也不复杂，因而应用较广。

Ottosen建议的本构模型，要点是要明确以下三个条件： ①破坏准则，处于什么应力状态下，混凝土达到破坏； ②非线性指示，在某一应力状态下，这一指标要能定量地表示它与破坏时应力状态相距多远，这相当于在一维应力状态下表示其应力水平有多高；

③等效的单轴应力—应变关系表达式，有了非线性指标，便可以

在相应的单轴应力应变曲线上确定相当的应力水平，从而由单轴应力、应变关系表达式中求得相应的材料参数。 1)非线性指标

所谓非线性指标是描述实际应力状态与破坏时的应力状态相互关系的一个定量指标，它表明了应力状态的相对水平，从而可以据此确定混凝土变形的非线性程度，放称非线性指标。

在单向应力状态下，我们常说在应力小于0.3fc时，应力应变关系基本上呈线性关系。这个系数0.3就是一种非线性指标，在单向应力状态下，非线性指标可用单向应力惟一地确定，非线性指标定义为

=/|fc|

其中，fc为单轴抗压强度。  =0时，处于未加载状态，  =1时处于破坏状态，所以必有0≤  ≤1，可以从的大小确定混凝土的非线性变形程度。

在双向应力状态下，就不能仅由某一单向应力决定非线性指标，它必与两个方向的应力水平有关。由于双轴抗压强度比单轴抗压强度有所提高，如果仍用=1/|fc|或=2/|fc|来确定非线性指标，则会出现=1时混凝土还未达破坏的情况。这是不合理的。在这种情况下，首先得定义破坏准则，即破坏包络曲线。

若有某一应力状态为(1,2)，可以保持＝ 1/2不变，按比例增加应力(1,2) ，使之达破坏状态(1f,2f) 。实际应力状态为P (1,2)点，连OP线，延长与破坏包络线相交于F (1f,2f)点，

取非线性指标

22f11fOPOF

在三向应力状态下，问题比较复杂。当然首先要定义破坏曲面。若有一应力状态在主应力空间用P点表示，P(1，2，3)，这一点与破坏曲面关系如何，距破坏曲面有多远?在单轴应力—应变曲线上，破坏曲面相当于与fc对应的点，这是没有问题的。但P点应相当于什么水平，这显然是一个复杂的问题。 (1)Ottosen法

设某点应力状态为已知， 1≥2≥3 ，若保持1≥2不变，减少3(绝对值增大)到3f使(1,2,3f )达破坏曲线,实际应力状态的莫尔圆与破坏包络线不相交。当3减小(绝对值增大)到3f时，莫尔圆与破坏包络线相切相切，达破坏状态，显然<1，=1, >1分别表示实际应力状态的莫尔圆在破坏曲面以内，在破坏面上和在破坏面以外三种情况。因而可用作为非线性指标，这里也满足0≤≤1。在三维空间中，这一方法相当于过P点作3轴的平行线，使之交于破坏曲面，得3f 。

因混凝土受拉时的应力应变关系更接近直线，当实际应力状态中有主拉应力出现时，如1＞0时，可取’1=0, ’2 =2- 1, ’3 =3- 1 的应力状态(’1, ’2 , ’3)来替代(1,2,3 )去求得非线性指标，即由’3去求3f，使(’1,’2,3f )达破坏状态，这时非线性指标为

33f显然，求值要用到破坏曲面方程，求3f ，在一般情况下

需要经过多次迭代方能求出3f 。 (2) √J2法

为了避免求值时的迭代过程，清华大学江见鲸提出了一种算法。设某一应力状态(1，2，3) ，其相应的三个不变量参数为(I1，J2，)。若保持I1与 不变，增大J2，使之达破坏状态 。若达破坏状态时的不变量为(I1，J2f， )，则非线性指标可取为J2J2fOPOFJ2J2f

从另一方面看，因√J2与oct成比例。这一方法也可看作保持oct不变，而增大oct达破坏(oct)f，取＝ oct / (oct)f。 这一方法的物理意义明确，几何上表达直观，对大多数破坏曲线方程来讲，可以从破坏准则直接求出√J2而不用迭代求解。这要比用Ottosen的方法求3f方便得多，并可节省计算机运行时间。数值计算表明，这两种方法的计算精度相仿。 (3)比例增大法

在清华大学王传志教授指导下，几位研究生经过研究分析，对Ottosen模型中的非线性指标提出了一种算法，这一方法对Ottosen法的修改有两点：一是不单一地增大3 ，而是按比例增大 (1,2,3) 使之达破坏状态(1f,2f,3f )；二是在求非线性指标时又引入一调整系数k，将非线性指标的计算公式表达为

33fk0k1

调整k值，可以更好地适应各种不同的加载情况。

2)等效一维应力应变关系表达式

通过实验，已经求得单轴应力状态下的应力－应变关系。在Ottosen建议的本构模型是，基本上采用Sargin于1971年提出的表达式(但不考虑侧压系数k3)

A(D1)cc2fc1(A2)Dcc2

其中，和以受压为正，fc为混凝土单轴抗压强度；A=E0/Ec；E0为混凝土初始弹性模量， Ec为混凝土应力达到fc时的割线模量；c为应力达到峰值应变时的应变；D为系数，对-曲线上升段影响不大，而对下降段影响很大。限制0≤D≤1.0，D愈大，则曲线下降愈平缓。这一曲线基本反映了应力应变全曲线的主要特征。因而在混凝土有限元分析中应用很广。 单轴时非线性指标为fc

对任一应力，其应变为，则割线模量Es=/。将=/fc及 Es=/代入得

(A2)DA(D1)cccc22

又

cEscEcEcEs

整理后得割线模量

1EsE0E0Ec221112EEEED(1)100fc222 其中根号前的正号适用于上升段，负号适用于下降段。对于任一应力水平，当=/fc已知时，即可从中求出相应割线模量。 在三轴应力状态下，应力应变曲线与单轴应力应变曲线有相同的特征，但参数有变化，应用上述公式时应作适当修正，这里以Ef代替Ec， Ef是在三轴应力状态下混凝土破坏时的割线弹性模量，关于Ef的取值有以下几种建议。 ⑴ 王传志等的建议

EfEc0.180.00150.038octfc1.75

Ef为混凝土破坏时的割线模量，Ec为混凝土初始弹性模量；为应力矢量与1轴在平面上投影之夹角(相似角)；oct为八面体正应力。

⑵ Ottosen的建议 Ottosen的建议

EfEc14(A1)xEc

而AE0x

J210 fc3f 当计算出x<0时，取x=0。式中(√J2/fc)f 是达破坏时的√J2f(1、2、3求得)与fc之比，而1/ √3来自单轴应力状态下破坏时√ J2(0、0、fc)与fc 之比，这里有J2fc13。

参考文献

1 《混凝土结构设计规范》(GB 50010-2002).北京：中国建筑工业出版社，2002 丁大均.现代混凝土结构学. 北京：中国建筑工业出版社，2000 2 沈蒲生,罗国强.混凝土结构疑难释义. 北京：中国建筑工业出版社，1998 3 赵国藩主编，《高等钢筋混凝土结构学》，北京：中国电力出版社，1999 4 朱伯龙，董振祥 钢筋混凝土非线性分析。上海:同济大学出版社，1985