一、选择题(每小题4分，共40分） 1．4的平方根是( ) A．2 B．±2
23
C． D．﹣2
2．计算（a)结果正确的是（ ) A．3a B．a C．a D．6a 3．分式﹣A．﹣
可变形为( ） B．
C．﹣
D．
2
6
5
4．一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（ ) A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
5．附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置,判断△ACD与下列哪一个三角形全等？（ ）
A．△ACF B．△ADE C．△ABC D．△BCF
6．如图,数轴上所表示关于x的不等式组的解集是（ ）
A．x≥2 B．x＞2 C．x＞﹣1 D．﹣1＜x≤2
7．某小组7位学生的中考体育测试成绩（满分30分）依次为27，30,29，27，30，28，30．则这组数据的众数与中位数分别是（ ） A．30，27 B．30,29
C．29，30 D．30，28
8．如图,点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值,错误的是（ ）
A． B． C． D．
2
9．命题：“关于x的一元二次方程x+bx+1=0，当b＜0时，必有实数根”;能说明这个命题是假命题的一个反例可以是( ） A．b=﹣1
B．b=﹣2
C．b=﹣3
2
D．b=﹣4
10．已知二次函数y=a（x﹣h）+k（a＞0)的图象过点A(0，1）、B（8,2），则h的值可以是（ )
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（每小题4分，共24分) 11．方程x=x的解是 ．
12．同时抛掷两枚材质均匀的硬币，则正面都向上的概率为 ．
13．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，以B为圆心,BA的长为半径画弧，交BC于点D，连接AD，则∠DAC的度数是 °．
2
14．如图,⊙O的半径为2，OA=3.5，∠OAB=30°，则AB与⊙O的位置关系是 ．
15．对于任意实数,我们可以用 max｛a,b｝，表示两数中较大的数． (1）max{﹣1，﹣2}= ；
（2）max｛1,﹣x+2x﹣1}（ x为任意实数）= ． 16．已知
=（a﹣b)（c﹣a）且a≠0，则
= ．
2
三、解答题（共86分） 17．计算：
×sin45°﹣2015+2．
0
﹣1
18．如图，AB、CD相交于点O，O是AB的中点,AD∥BC，求证：O是CD的中点．
19．解方程:．
20．如图,已知△ABC，∠C=Rt∠，AC＜BC．D为BC上一点,且到A，B两点的距离相等． （1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹); (2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数．
21．学校开展“献爱心”捐款活动，某班50名同学积极参加了这次活动,下表是李华同学对全班捐款情况的统计表: 捐 款 （元) 人 数
5 18
10 20
20 B
A 4
30 2
已知全班平均每人捐款11.4元．请求出A、B的值．
22．甲、乙两商场春节期间都进行让利酬宾活动．其中，甲商场对一次购物中超过200元后的价格部分打7折，如图所示，表示甲商场在让利方式下y关于x的函数图象，x(单位:元)表示商品原价，y（单位：元）表示购物金额．若乙商场所有商品按8折出售,请在同一坐标系下画出乙商场在让利方式下y关于x的函数图象，并说明如何选择这两家商场购物更省钱．
23．如图,点A在∠B的边BG上,AB=5,sin∠B=，点P是∠B的边BH上任意一点，连接AP,以AP为直径画⊙O交BH于C点． 若BP=
，求证：BG与⊙O相切．
24．如图，点B（3，3）在双曲线y=（其中x＞0）上，点D在双曲线y=（ 其中x＜0）
上，点A、C分别在x、y轴的正半轴上，且点A、B、C、D围成的四边形为正方形．设点A的坐标为（a，0），求a的值．
25．阅读下面的材料：某数学学习小组遇到这样一个问题： 如果α,β都为锐角，且tanα=，tanβ=,求α+β的度数．
该数学课外小组最后是这样解决问题的:如图1，把α，β放在正方形网格中，使得∠ABD=α，∠CBE=β，且BA，BC在直线BD的两侧，连接AC． （1）观察图象可知：α+β= °;
（2）请参考该数学小组的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tanα=3，tanβ=时，在图2的正方形网格中，画出∠MON=α﹣β，并求∠MON的度数．
26．设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点,线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上,且AQ∥PC． （1）连接AC,证明：PC=2AQ；
(2）当点F为BC的中点时，AP与PF满足什么样的数量关系？并说明理由．
27．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M中,其最小值称为这个函数的边界值．例如图中的函数是有界函数，其边界值是1．
(1）若函数y=﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；
（2）将函数y=x（﹣1≤x≤m,m≥0)的图象向下平移m个单位长度,得到的函数的边界值是t,当m在什么范围时，满足≤t≤1？
2
2016年福建省厦门六中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题4分,共40分） 1．4的平方根是( ） A．2 B．±2 C． D．﹣2
【考点】平方根．
【分析】根据平方根的定义求出4的平方根即可． 【解答】解：4的平方根是±2； 故选B．
2．计算(a2)3
结果正确的是( ） A．3a2
B．a6
C．a5
D．6a 【考点】幂的乘方与积的乘方．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则求出答案即可． 【解答】解：（a2
）3
=a6
． 故选：B． 3．分式﹣可变形为（ ） A．﹣
B．
C．﹣
D．
【考点】分式的基本性质．
【分析】先提取﹣1，再根据分式的符号变化规律得出即可．【解答】解：﹣=﹣
=
，
故选D．
4．一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（ A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【考点】多边形内角与外角．
）【分析】一个多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数,即多边形的边数．
【解答】解:外角是180°﹣120°=60°， 360÷60=6,则这个多边形是六边形． 故选：C．
5．附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，判断△ACD与下列哪一个三角形全等？（ ）
A．△ACF B．△ADE C．△ABC D．△BCF
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS,SSS）结合图形进行判断即可． 【解答】解：根据图象可知△ACD和△ADE全等， 理由是：∵根据图形可知AD=AD,AE=AC，DE=DC， ∴△ACD≌△AED, 即△ACD和△ADE全等， 故选B．
6．如图，数轴上所表示关于x的不等式组的解集是( ）
A．x≥2 B．x＞2 C．x＞﹣1 D．﹣1＜x≤2
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【分析】根据在数轴上表示不等式组解集的方法进行解答即可． 【解答】解：由数轴可得:关于x的不等式组的解集是：x≥2． 故选：A．
7．某小组7位学生的中考体育测试成绩（满分30分）依次为27，30，29，27，30，28，30．则这组数据的众数与中位数分别是( ） A．30，27 B．30，29 C．29，30 D．30，28 【考点】众数；中位数．
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中30出现了3次，次数最多，故众数是30；
将这组数据从小到大的顺序排列为：27，27，28,29,30，30，30，处于中间位置的那个数是29，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是29． 故选B．
8．如图,点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D,下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ )
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α=∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB， ∴∠α+∠BCD=∠ACD+∠BCD， ∴∠α=∠ACD， ∴cosα=cos∠ACD=
=
=
，
只有选项C错误，符合题意． 故选：C．
9．命题：“关于x的一元二次方程x+bx+1=0,当b＜0时,必有实数根”；能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（ ） A．b=﹣1
B．b=﹣2
C．b=﹣3
D．b=﹣4
2
【考点】命题与定理．
【分析】先根据判别式得到△=b﹣4，在满足b＜0的前提下，取b=﹣1得到△＜0，根据判别式的意义得到方程没有实数解,于是b=﹣1可作为说明这个命题是假命题的一个反例． 【解答】解：△=b﹣4，由于当b=﹣1时，满足b＜0，而△＜0，方程没有实数解，所以当b=﹣1时,可说明这个命题是假命题． 故选A．
10．已知二次函数y=a（x﹣h)+k（a＞0）的图象过点A（0，1）、B(8,2）,则h的值可以是（ )
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】把A点和B点坐标分别代入解析式得到方程组，消去k得到可解得a=利用a＞0得到h的取值范围，再利用此范围对各选项进行判断．
，然后
2
2
2
【解答】解：把A（0，1）、B（8,2）分别代入y=a（x﹣h)+k（a＞0）得②﹣①得64a﹣16ah=1， 解得a=所以h＜4． 故选A．
二、填空题（每小题4分，共24分） 11．方程x=x的解是 x1=0，x2=1 ． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
2
2
，
＞0，
【分析】将方程化为一般形式，提取公因式分解因式后，利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解:x=x， 移项得：x﹣x=0，
分解因式得：x（x﹣1）=0， 可得x=0或x﹣1=0, 解得：x1=0，x2=1． 故答案为：x1=0，x2=1
12．同时抛掷两枚材质均匀的硬币,则正面都向上的概率为 【考点】列表法与树状图法．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，求出正面都向上的概率即可． 【解答】解：列表如下：
2
2
．
正
（正，正) (正，反）
反
（反，正） （反，反)
正 反
所有等可能的情况有4种，正面都向上的情况有1种, 则P=, 故答案为：
13．如图，在△ABC中,AB=AC,∠B=40°，以B为圆心,BA的长为半径画弧，交BC于点D，连接AD，则∠DAC的度数是 30 °．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠C=∠B=40°,由AB=BD，得到∠ADB=70°，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【解答】解:∵AB=AC，∠B=40°, ∴∠C=∠B=40°，
∵AB=BD， ∴∠ADB=70°，
∴∠DAC=∠ADB﹣∠C=30°, 故答案为：30．
14．如图,⊙O的半径为2，OA=3.5，∠OAB=30°,则AB与⊙O的位置关系是 相交 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】如图，作OH⊥AB于H，求出OH与半径半径即可判断． 【解答】解:如图，作OH⊥AB于H，
在RT△AOH中，∵∠OAH=30°．OA=3.5，∠OHA=90°， ∴OH=OA=＜2， ∴⊙O与AB相交． 故答案为相交．
15．对于任意实数，我们可以用 max{a，b},表示两数中较大的数． （1)max｛﹣1,﹣2｝= ﹣1 ；
(2)max{1,﹣x+2x﹣1｝（ x为任意实数）= 1 ． 【考点】二次函数的性质．
【分析】（1）比较﹣1和﹣2的大小关系即可求得答案;
（2）把﹣x+2x﹣1可化为完全平方式的形式,则可比较其与1的大小关系，即可求得答案． 【解答】解：
2
2
（1)∵﹣1＞﹣2， ∴max{﹣1，﹣2｝=﹣1， 故答案为:﹣1；
（2)∵﹣x+2x﹣1=﹣(x﹣1)≤0， ∴1＞﹣x+2x﹣1,
∴max｛1，﹣x+2x﹣1}=1， 故答案为：1． 16．已知
=(a﹣b）(c﹣a）且a≠0，则
= 2 ．
2
22
2
【考点】整式的混合运算；非负数的性质：偶次方．
【分析】根据题意将原式变形，盘后主要利用添项法可配成完全平方式，再利用偶次方的非负性即可得出答案． 【解答】解:
，
化简：4a﹣4a(b+c）+（b+c）=0，即：
故答案为：2．
三、解答题（共86分） 17．计算:
×sin45°﹣2015+2．
0
﹣1
22
，
，所以=2．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值及二次根式性质化简,第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果． 【解答】解:原式=2
18．如图，AB、CD相交于点O,O是AB的中点，AD∥BC,求证：O是CD的中点．
×
﹣1+=1．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据线段中点的定义求出OA=OB,再根据两直线平行,内错角相等可得∠A=∠B，∠C=∠D，然后利用“角角边”证明△AOD和△BOC全等，根据全等三角形对应边相等可得OC=OD，最后根据线段中点的定义证明即可． 【解答】证明：∵O是AB的中点， ∴OA=OB， ∵AD∥BC，
∴∠A=∠B,∠C=∠D，
在△AOD和△BOC中,∴△AOD≌△BOC（AAS）, ∴OC=OD,
∴O是CD的中点．
19．解方程：
【考点】解分式方程．
．
，
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解:去分母得：2a=a+2， 解得:a=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
20．如图，已知△ABC,∠C=Rt∠，AC＜BC．D为BC上一点,且到A，B两点的距离相等． （1）用直尺和圆规,作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）; （2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数．
【考点】作图-复杂作图;线段垂直平分线的性质．
【分析】（1）利用线段垂直平分线的作法得出D点坐标即可；
（2)利用线段垂直平分线的性质得出，∠BAD=∠B=37°，进而求出即可． 【解答】解：（1)如图所示：点D即为所求；
(2）在Rt△ABC中，∠B=37°， ∴∠CAB=53°， 又∵AD=BD,
∴∠BAD=∠B=37°，
∴∠CAD=53°﹣37°=16°．
21．学校开展“献爱心\"捐款活动，某班50名同学积极参加了这次活动,下表是李华同学对全班捐款情况的统计表： 捐 款 （元）
人 数
5 18
10 20
20 B
A 4
30 2
已知全班平均每人捐款11.4元．请求出A、B的值． 【考点】二元一次方程组的应用；加权平均数．
【分析】根据总人数50和加权平均数的计算公式得出A、B的值．
【解答】解：根据题意，得：解得：
，
，
故A的值为25，B的值为6．
22．甲、乙两商场春节期间都进行让利酬宾活动．其中，甲商场对一次购物中超过200元后的价格部分打7折,如图所示,表示甲商场在让利方式下y关于x的函数图象，x（单位：元)表示商品原价，y（单位:元）表示购物金额．若乙商场所有商品按8折出售，请在同一坐标系下画出乙商场在让利方式下y关于x的函数图象,并说明如何选择这两家商场购物更省钱．
【考点】一次函数的应用．
【分析】利用两点法作出函数图象即可，求出两家商场购物付款相同的x的值，然后根据函数图象作出判断即可．
【解答】解：乙商场的让利方式y关于x的函数图象如图所示：
∵y乙=0.8x，y甲=200+0.7(x﹣200)=0。7x+60， 令0。7x+60=0.8x，得x=600， 当x＞600元时，选择甲， 当x=600元时，甲乙一样， 当x＜600元时，选择乙．
23．如图，点A在∠B的边BG上,AB=5，sin∠B=，点P是∠B的边BH上任意一点，连接AP，以AP为直径画⊙O交BH于C点． 若BP=
，求证：BG与⊙O相切．
【考点】切线的判定；圆周角定理;相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
【分析】根据圆周角定理得出∠ACP=90°，求出∠ACB=90°,求出AC=3，BC=4,计算求出=
=，根据相似三角形的判定得出△BCA∽△BAP，根据相似求出∠BAP=90°,根据切线的
判定得出即可．
【解答】证明：∵AP为⊙O的直径, ∴∠ACP=90°, ∴∠ACB=90°, ∵AB=5，sin∠B=， ∴AC=3，BC=∵BP=∴
=， =，
=4，
∵∠B=∠B， ∴△BCA∽△BAP， ∴∠BCA=∠BAP， ∵∠BCA=90°， ∴∠BAP=90°， ∴PA⊥AB， ∵PA过圆心O， ∴BG与⊙O相切．
24．如图，点B（3，3）在双曲线y=(其中x＞0）上，点D在双曲线y=
（ 其中x＜0）上，点A、C分别在x、y轴的正半轴上，且点A、B、C、D围成的四边形为正方形．设点A的坐标为（a,0）,求a的值．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的判定．
【分析】如图，作DE⊥OC于E，DF⊥x轴于F，BM⊥OA于M,先证明△CDE≌△ADF，△ADF≌△BAM,推出DE=DF，AF=BM,求出点D坐标即可解决问题． 【解答】解：如图，作DE⊥OC于E，DF⊥x轴于F，BM⊥OA于M．
∵四边形ABCD是正方形,
∴CD=AD=AB，∠CDA=∠DAB=90°, ∵∠DFO=∠DEO=∠EOF=90°， ∴∠EDF=90°=∠CDA， ∴∠CDE=∠ADF， 在△CDE和△ADF中,
，
∴△CDE≌△ADF,同理△ADF≌△BAM， ∴DE=DF，AF=BM=3， ∵点D在y=﹣上， ∴点D坐标（﹣2，2)，
∴DE=DF=2， ∴OA=1，
∴点A坐标（1，0）． ∴a=1．
25．阅读下面的材料:某数学学习小组遇到这样一个问题： 如果α，β都为锐角，且tanα=，tanβ=,求α+β的度数．
该数学课外小组最后是这样解决问题的：如图1，把α,β放在正方形网格中，使得∠ABD=α,∠CBE=β，且BA，BC在直线BD的两侧，连接AC． (1）观察图象可知：α+β= 45 °；
（2)请参考该数学小组的方法解决问题:如果α，β都为锐角，当tanα=3，tanβ=时，在图2的正方形网格中，画出∠MON=α﹣β，并求∠MON的度数．
【考点】解直角三角形．
【分析】（1）由BC=AB+AC=2AB，得出△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°,那么α+β=∠ABC=45°;
(2）连结MN，由OM=ON+MN=2ON，得出△OMN是等腰直角三角形，且∠ONM=90°，那么α﹣β=∠MON=45°．
【解答】解：(1）如图1．
∵BC=3+5=34，AB=4+1=17，AC=4+1=17， ∴BC=AB+AC=2AB，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°， ∴α+β=∠ABC=45°． 故答案为45；
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
（2）如图2，连结MN．
∵OM=3+1=10,ON=2+1=5,MN=2+1=5， ∴OM=ON+MN=2ON，
∴△OMN是等腰直角三角形，且∠ONM=90°， ∴α﹣β=∠MON=45°
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
26．设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC． (1）连接AC,证明：PC=2AQ；
（2）当点F为BC的中点时，AP与PF满足什么样的数量关系？并说明理由．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】(1）〖法二〗如图2，延长DE,CB相交于点R，作BM∥PC，根据AQ∥PC，BM∥PC,和E是AB的中点，D、E、R三点共线,求证△AEQ≌△BEM．同理△AED≌△REB．再求证△RBM∽△RCP,利用其对应边成比例即可证明结论．
（2）如图3,当点F为BC的中点时，PF=2AP不成立．作BN∥AF,交RD于点N．根据△RBN∽RFP．利用F是BC的中点，RB=BC,可得∠NBE=∠PAE．求证△BNE≌△APE即可．
【解答】（1)证明：延长DE，CB相交于点R，作BM∥PC．如图1所示： ∵AQ∥PC，BM∥PC， ∴MB∥AQ．
=，又利用AE=BE，∠NEB=∠PEA，
∴∠AQE=∠EMB．
∵E是AB的中点，D、E、R三点共线， ∴AE=EB，∠AEQ=∠BEM． ∴△AEQ≌△BEM． ∴AQ=BM．
同理△AED≌△REB． ∴AD=BR=BC ∵BM∥PC,
∴△RBM∽△RCP， 相似比是． PC=2MB=2AQ．
(2）解：当点F为BC的中点时,AP=PF．理由如下： 作BN∥AF，交RD于点N．如图2所示； 则△RBN∽RFP． ∵F是BC的中点， 由（1）得:RB=BC, ∴RB=RF． ∴
=，
又AE=BE，∠NEB=∠PEA，∠NBE=∠PAE． ∴△BNE≌△APE， ∴AP=BN． ∴AP=BN=PF．
27．对某一个函数给出如下定义:若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M,则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如图中的函数是有界函数，其边界值是1．
（1）若函数y=﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；
（2）将函数y=x(﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位长度,得到的函数的边界值是t,当m在什么范围时，满足≤t≤1？
2
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据函数的增减性、边界值确定a=﹣1;然后由“函数的最大值也是2\"来求b的取值范围;
（2)需要分类讨论：m＜1和m≥1两种情况．由函数解析式得到该函数图象过点（﹣1,1）、（0，0)，根据平移的性质得到这两点平移后的坐标分别是(﹣1,1﹣m）、（0，﹣m);最后由函数边界值的定义列出不等式≤1，﹣m≤1﹣m≤1或﹣1≤﹣m≤﹣,易求m取值范围：0≤m≤或≤m≤1．
【解答】解:(1）∵函数y=﹣x+1的图象是y随x的增大而减小， ∴当x=a时，y=﹣a+1=2，则a=﹣1
当x=b时,y=﹣b+1．则∴﹣1＜b≤3;
，
（2）若m＞1，函数向下平移m个单位后，x=0时，函数值小于﹣1，此时函数的边界t＞1,与题意不符，故m≤1．
当x=﹣1时，y=1 即过点（﹣1，1） 当x=0时,y最小=0，即过点（0，0）， 都向下平移m个单位,则
(﹣1,1﹣m）、(0，﹣m）≤1﹣m≤1或﹣1≤﹣m≤﹣， ∴0≤m≤或≤m≤1．
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