2012年全国高考理科数学试题及参考答案-全国卷[1]

绝密*启用前

2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

理科数学

注息事项:

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效· 4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。 第一卷 一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合A{1,2,3,4,5},B{(x,y)xA,yA,xyA}；,则B中所含元素 的个数为（） 【解析】选D x5,y1,2,3,4，x4,y1,2,3，x3,y1,2，x2,y1共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动， 每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）

(A)12种(B)10种 (C)种 (D)种 【解析】选A 12C412种 甲地由1名教师和2名学生：C2（3）下面是关于复数z2的四个命题：其中的真命题为（） 1ip1:z2p2:z22ip3:z的共轭复数为1ip4:z的虚部为1 【解析】选C p1:z2，p2:z22i，p3:z的共轭复数为1i，p4:z的虚部为1

x2y23a（4）设F1F2是椭圆E:221(ab0)的左、右焦点，P为直线x上一点，

ab2F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（） 【解析】选C

3c3F2PF1是底角为30的等腰三角形PF2F2F12(ac)2ce

2a4精心整理

（5）已知an为等比数列，a4a72，a5a68，

a1a10（）

则

【解析】选D

a4a72，

a5a6a4a78a44,a72或

a42,a74

（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N2)实数a1,a2,...,an，输出A,B，则（） (A)AB为a1,a2,...,an的和 (B)AB为a1,a2,...,an的算术平均数 2和

(C)A和B分别是a1,a2,...,an中最大的数和最小的数 (D)A和B分别是a1,a2,...,an中最小的数和最大的数 【解析】选C （7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（） 【解析】选B 该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 11此几何体的体积为V6339 32（8）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于A,B 两点，AB43；则C的实轴长为（） 【解析】选C 设C:x2y2a2(a0)交y216x的准线l:x4于A(4,23)B(4,23)

得：a2(4)2(23)24a22a4

（9）已知0，函数f(x)sin(x)在(,)上单调递减。则的取值范围是（）

42【解析】选A

592(x)[,]不合题意排除(D)

444精心整理



351(x)[,]合题意排除(B)(C)

4443另：()2，(x)[,][,]

2424422315得：,

2424224（10）已知函数f(x)【解析】选B

得：x0或1x0均有f(x)0排除A,C,D

（11）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上，ABC是边长为1的正三角形， SC为球O的直径，且SC2；则此棱锥的体积为（） 【解析】选A 1；则yf(x)的图像大致为（）

ln(x1)xABC的外接圆的半径r63，点O到面ABC的距离dR2r2 3326 3SC为球O的直径点S到面ABC的距离为2d113262此棱锥的体积为VSABC2d 3343613另：VSABC2R排除B,C,D 361（12）设点P在曲线yex上，点Q在曲线yln(2x)上，则PQ最小值为（） 2【解析】选A 1函数yex与函数yln(2x)互为反函数，图象关于yx对称 21xex1x1x2函数ye上的点P(x,e)到直线yx的距离为d 222111ln2设函数g(x)exxg(x)ex1g(x)min1ln2dmin 222由图象关于yx对称得：PQ最小值为2dmin2(1ln2)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。 精心整理

（13）已知向量a,b夹角为45，且a1,2ab10；则b_____ 【解析】b_____32 x,y0(14)设x,y满足约束条件：xy1；则zx2y的取值范围为

xy3【解析】zx2y的取值范围为[3,3]

约束条件对应四边形OABC边际及内的区域：O(0,0),A(0,1),B(1,2),C(3,0)

则zx2y[3,3] （15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从 正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命 超过1000小时的概率为 3【解析】使用寿命超过1000小时的概率为 8三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1000,502) 得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p1 23 42超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率P11(1p)3那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为p2p1p 8（16）数列{an}满足an1(1)nan2n1，则{an}的前60项和为 【解析】{an}的前60项和为1830 可证明：bn1a4n1a4n2a4n3a4n4a4n3a4n2a4n2a4n16bn16 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，acosC3asinCbc0 （1）求A（2）若a2，ABC的面积为3；求b,c。 【解析】（1）由正弦定理得：

1（2）SbcsinA3bc4

2解得：bc2（lfxlby） 精心整理

18.（本小题满分12分）

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售， 如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。 （1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，nN）的函数解析式。

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，

数学期望及方差；

（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？

请说明理由。 【解析】（1）当n16时，y16(105)80 当n15时，y5n5(16n)10n80 10n80(n15)得：y(nN) 80(n16)（2）（i）X可取60，70，80 X的分布列为 （ii）购进17枝时，当天的利润为 76.476得：应购进17枝 （19）（本小题满分12分） 如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC1AA1， 2D是棱AA1的中点，DC1BD （1）证明：DC1BC （2）求二面角A1BDC1的大小。 【解析】（1）在RtDAC中，ADAC 得：ADC45

同理：A1DC145CDC190

得：DC1DC,DC1BDDC1面BCDDC1BC （2）DC1BC,CC1BCBC面ACC1A1BCAC

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取A1B1的中点O，过点O作OHBD于点H，连接C1O,C1H

AC11B1C1C1OA1B1，面A1B1C1面A1BDC1O面A1BD OHBDC1HBD得：点H与点D重合

且C1DO是二面角A1BDC1的平面角 设ACa，则C1O2a，C1D2a2C1OC1DO30 2既二面角A1BDC1的大小为30 （20）（本小题满分12分） 设抛物线C:x22py(p0)的焦点为F，准线为l，AC，已知以F为圆心， FA为半径的圆F交l于B,D两点； （1）若BFD900，ABD的面积为42；求p的值及圆F的方程； （2）若A,B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点， 求坐标原点到m,n距离的比值。 【解析】（1）由对称性知：BFD是等腰直角，斜边BD2p 点A到准线l的距离dFAFB2p 圆F的方程为x2(y1)28 2x0p（2）由对称性设A(x0,)(x00)，则F(0,) 2p222x0x0p2x03p2 点A,B关于点F对称得：B(x0,p)p2p2p23pp3p22xpx3y3p0 得：A(3p,)，直线m:y2223p3ppx2x33,) x2pyyyxp切点P(362pp332直线n:y精心整理

p33p3(x)x3yp0 6336

坐标原点到m,n距离的比值为（21）（本小题满分12分）

1已知函数f(x)满足满足f(x)f(1)ex1f(0)xx2；

23p3p:3。（lfxlby） 26（1）求f(x)的解析式及单调区间；

12xaxb，求(a1)b的最大值。 21【解析】（1）f(x)f(1)ex1f(0)xx2f(x)f(1)ex1f(0)x

2（2）若f(x)令x1得：f(0)1 1得：f(x)exxx2g(x)f(x)ex1x 2g(x)ex10yg(x)在xR上单调递增 1得：f(x)的解析式为f(x)exxx2 2且单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0) （2）f(x)12xaxbh(x)ex(a1)xb0得h(x)ex(a1) 2①当a10时，h(x)0yh(x)在xR上单调递增 x时，h(x)与h(x)0矛盾 ②当a10时，h(x)0xln(a1),h(x)0xln(a1) 得：当xln(a1)时，h(x)min(a1)(a1)ln(a1)b0 令F(x)x2x2lnx(x0)；则F(x)x(12lnx) 当xe时，F(x)maxe 2e 2请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分， 做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

当ae1,be时，(a1)b的最大值为

如图，D,E分别为ABC边AB,AC的中点，直线DE交

ABC的外接圆于F,G两点，若CF//AB，证明： （1）CDBC； 精心整理

（2）BCDGBD

【解析】（1）CF//AB，DF//BCCF//BD//ADCDBF （2）BC//GFBGFCBD

（23）本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

x2cos已知曲线C1的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴

y3sin为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是2，正方形ABCD的顶点都在C2上， 且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,)

3（1）求点A,B,C,D的直角坐标； （2）设P为C1上任意一点，求PAPBPCPD的取值范围。 22225411【解析】（1）点A,B,C,D的极坐标为(2,),(2,),(2,),(2,) 3636点A,B,C,D的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1) x02cos（2）设P(x0,y0)；则(为参数) y03sin5620sin2[56,76]（lfxlby） （24）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲

已知函数f(x)xax2 （1）当a3时，求不等式f(x)3的解集； （2）若f(x)x4的解集包含[1,2]，求a的取值范围。 【解析】（1）当a3时，f(x)3x3x23 x2x32x3或或 3x2x33xx23x3x23x1或x4

（2）原命题f(x)x4在[1,2]上恒成立

xa2x4x在[1,2]上恒成立 2xa2x在[1,2]上恒成立

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