量子力学复习题汇总

(r,t)(r,t)状态中测量力2、当体系处于归一化波函数所描绘的状态时，简述在

3、设粒子在位置表象中处于态(r,t),采用Dirac符号时，假设将(r,t)改写为

学量F的可能值及其几率的方法。

(r,t)有何不妥？采用Dirac符号时，位置表象中的波函数应如何表示？

4、简述定态微扰理论。

5、Stern—Gerlach实验证实了什么？ 6、简述波函数的统计解释；

7、对“轨道〞和“电子云〞的概念，量子力学的解释是什么？

ˆ在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 8、力学量G9、简述能量的测不准关系；

1(x,y,z)ˆ10、电子在位置和自旋Sz表象下，波函数(x,y,z)如何归一化？解释各项的

2几率意义。

20、厄米算符有那些特性？

23．描绘氢原子状态需要几个量子数？量子数目取决于什么？ 1. 微观实物粒子的波粒二象性 1. Bohr的原子量子论 3. 态迭加原理

4. 波函数的标准条件 5. 定态 6 .束缚态 7. 几率波

8 归一化波函数 9. 几率流密度矢量

10. 线性谐振子的零点能 11. 厄密算符 12. 简并度

13. 力学量的完全集合 14. 箱归一化 15. 函数的正交性 16. 角动量算符

17. 力学量算符的本征函数的正交归一性 18. 表象

19. 希耳伯特空间 20. 幺正变换

单项选择题〔每题2分〕2*10=20分

1.能量为100ev的自由电子的De Broglie 波长是 AAAA.

00005.用Bohr-Sommerfeld的量子化条件得到的一维谐振子的能量为〔n0,1,2,〕

1 A.Enn. B.En(n).

2 C.En(n1). D.En2n. 9.Compton 效应证实了

A.电子具有波动性. B. 光具有波动性. C.光具有粒子性. D. 电子具有粒子性. 10.Davisson 和Germer 的实验证实了 A. 电子具有波动性. B. 光具有波动性. C. 光具有粒子性. D. 电子具有粒子性.

14.设1(x)和2(x)分别表示粒子的两个可能运动状态，那么它们线性迭加的态c11(x)c22(x)的几率分布为 A.c11c22.

* B. c11c22+c1c212.

222222 C. c11c22+2c1c21*2.

D. c11c22+c1*c21*2c1c2*12*. 15.波函数应满足的标准条件是

A.单值、正交、连续. B.归一、正交、完全性. C.连续、有限、完全性. D.单值、连续、有限. 18.假设波函数(x,t)归一化，那么

A.(x,t)exp(i)和(x,t)exp(i)都是归一化的波函数.

B.(x,t)exp(i)是归一化的波函数，而(x,t)exp(i)不是归一化的波函数. C.(x,t)exp(i)不是归一化的波函数，而(x,t)exp(i)是归一化的波函数. D.(x,t)exp(i)和(x,t)exp(i)都不是归一化的波函数.(其中,为任意实

数)

19.波函数1、2c1(c为任意常数)， A.1与2c1描写粒子的状态不同.

B.1与2c1所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1: c. C.1与2c1所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1:c. D.1与2c1描写粒子的状态一样. 23.几率流密度矢量的表达式为

(**). A.J2i(**). B.J2i(**). C.J2(**). D.J224.质量流密度矢量的表达式为

222J A.(**).

2iB.J(**).

2i C.J(**).

2D.J(**).

225. 电流密度矢量的表达式为

q A.J(**).

2iq* B.J(*).

2iq(**). C.J2q(**). D.J226.以下哪种阐述不是定态的特点

A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化. B.几率流密度矢量不随时间变化.

C.任何力学量的平均值都不随时间变化.

D.定态波函数描绘的体系一定具有确定的能量. 32.在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的 A.能量是量子化的，而动量是连续变化的. B.能量和动量都是量子化的. C.能量和动量都是连续变化的.

D.能量连续变化而动量是量子化的. 33.线性谐振子的能级为

,,3,...). A.(n1/2),(n12,,,....). B.(n1),(n012,,,...). C.(n1/2),(n012,,3,...). D.(n1),(n1235.线性谐振子的

A.能量是量子化的,而动量是连续变化的. B.能量和动量都是量子化的. C.能量和动量都是连续变化的.

D.能量连续变化而动量是量子化的. 36.线性谐振子的能量本征方程是

2d21222x]E. A.[2dx222d2122x]E. B.[22dx22d2122 C.[x]E. 22dx22d21222D.[x]E. 2dx2237.氢原子的能级为

242es2es2es4es A..B.22.C.. D. 22. 222n2n2n2n38.在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为

22 A.Rnl(r)r. B.Rnl(r)r2.

C.Rnl(r)rdr. D.Rnl(r)r2dr.

39. 在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为 A.Ylm(,). B. Ylm(,). C. Ylm(,)d. D. Ylm(,)d.

为厄密算符的定义是 40.波函数和是平方可积函数,那么力学量算符Fd*F*d. A.*F2222d(FB.F)d. )dFC.(Fd. dFD.Fd.

*******和G是厄密算符,那么 41. F必为厄密算符. B.FGGF必为厄密算符. A.FGGF)必为厄密算符. C.i(FGGF)必为厄密算符. D. i(FG,那么 xx都是厄密算符. B.xp A.xx必是厄密算符. 和pxx C.xpxp必是厄密算符. xxD.xpxp必是厄密算符.

43.自由粒子的运动用平面波描写,那么其能量的简并度为 A.1. B. 2. C. 3. D. 4.

44.二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到函数)

A.1/(2)1/2. B.1/(2). C.1/(2)3/2. D.1/(2)2

47.假设不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3的简并度为 A. 3. B. 6. C. 9. D. 12. 48.氢原子能级的特点是

A.相邻两能级间距随量子数的增大而增大. B.能级的绝对值随量子数的增大而增大. C.能级随量子数的增大而减小.

D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小.

xi42.算符xx和p49一粒子在中心力场中运动,其能级的简并度为n2,这种性质是 A. 库仑场特有的. B.中心力场特有的. C.奏力场特有的. D.普遍具有的.

56.体系处于Ccoskx状态,那么体系的动量取值为

1 A.k,k. B. k. C. k. D. k.

2x]等于 64.对易关系[x,p A.i. B. i. C.  . D. .

]等于 66. 对易关系[Ly,z. B. ix. C.x. D.x. A.ixy]等于 68. 对易关系[x,p A.. B. 0. C. i . D. .

,L]等于 70. 对易关系[Lxz. B. iL. C. L. D. L. A.iLyyyy2,L]等于 72. 对易关系[LxL). D. 0. . B. iL. C. i(L A.Lxxzyy]等于 74. 对易关系[Lx,p. B. iL. C. ipz. D. ipz. A.iLzz,p]等于 76. 对易关系[Lzy. D. iL. A.ipx. B. ipx. C. iLxx,c]等于(c为任意常数) 80. .对易式[F. B. 0. C. c. D. Fˆ. A.cF,那么F和G的对易关系为[F、G的测不准关系是 ,G]ik81.算符F2222kk)(G))(G) A.(F. B. (F.

442222kk22 C. (F)(G). D. (F)(G). 44和p,px]i,那么xx的测不准关系是 82.[x222)(p))(px). B. (x A.(x.

4222222)(px))(px). D. (x C. (x.

484.电子在库仑场中运动的能量本征方程是

222zes A.[]E.

2r2222222zes B. [2]E.

2r22zes C.[]E.

2r2222zesD.[2]E.

2r85.类氢原子体系的能量是量子化的,其能量表达式为

z2es22z2es4 A.22. B. . 222n2n2zesz2es4C.22. D. 22.

2n2n91.一维自由粒子的能量本征值 A. 可取一实在数值. B.只能取不为负的一实在数. C.可取一实在数,但不能等于零. D.只能取不为正的实数.

99.动量为p'的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是

1iP'(x)exp(p'x),它在动量表象中的表示是

2 A.(pp'). B.(pp'). C.(p). D.(p').

对应于本征值为x'的本征函数在坐标表象中的表示是 100.力学量算符x A.(xx'). B.(xx'). C.(x). D.(x'). 106.力学量算符在自身表象中的矩阵表示是 A. 以本征值为对角元素的对角方阵. B. 一个上三角方阵. C.一个下三角方阵. D.一个主对角线上的元素等于零的方阵.

ˆ在动量表象中的微分形式是 107.力学量算符x A.i. B.i. C.i2. D.i2.

pxpxpxpx01表象中F109.在Q,其本征值是

10 A. 1. B. 0. C. i. D. 1i. 110.

111.幺正矩阵的定义式为

A.SS. B.SS*. C.SS. D.S*S.

1/2i(),那么对易关系式[a,a]等于 )(xp113.算符a2,a]0. B. [a,a]1. A. [a,a]1. D. [a,a]i. C. [a115. 非简并定态微扰理论中第n个能级的一级修正项为 A.H'mn. B.H'nn. C.H'nn. D.H'nm. 119.非简并定态微扰理论的适用条件是 A.

H'mkEk(0)2Em(0)1. B.

H'mkEk(0)Em(0)1.

(0)(0) C. H'mk1. D. EkEm1.

122.氢原子的一级斯塔克效应中,对于n2的能级由原来的一个能级分裂为

A. 五个子能级. B. 四个子能级. C. 三个子能级. D. 两个子能级.

124.用变分法求量子体系的基态能量的关键是 A. 写出体系的哈密顿. B. 选取合理的尝试波函数.

C. 计算体系的哈密顿的平均值.

D. 体系哈密顿的平均值对变分参数求变分. 实验证实了

A. 电子具有波动性. B.光具有波动性. C. 原子的能级是分立的. D. 电子具有自旋.

,S]等于 126.S为自旋角动量算符,那么[Syx. A.2i. B. i. C. 0 .D. iSz为Pauli算符,那么[x,z]等于 127. y. B. iy. C.2iy. D.2iy. A.i129.单电子的Pauli算符平方的本征值为

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

143.以下有关全同粒子体系阐述正确的选项是

A.氢原子中的电子与金属中的电子组成的体系是全同粒子体系. B.氢原子中的电子、质子、中子组成的体系是全同粒子体系. C.光子和电子组成的体系是全同粒子体系. D.粒子和电子组成的体系是全同粒子体系.

144.全同粒子体系中,其哈密顿具有交换对称性,其体系的波函数 A.是对称的. B.是反对称的. C.具有确定的对称性. D.不具有对称性. 填空题，每题2分，8*2=16分

效应证实了 。

5.黑体辐射和光电效应提醒了 。

年,法国物理学家De Broglie提出了微观实物粒子具有 。

7.自由粒子的De Broglie波函数为 。 9.玻恩对波函数的统计解释是 。 12.态迭加原理的内容是 。 15.一维自由粒子的薛定谔方程是 。 个粒子体系的薛定谔方程是 。

21.量子力学中的质量守恒定律是 。 22.量子力学中的电荷守恒定律是 。 23.波函数应满足的三个标准条件是 。 24.定态波函数的定义式是 。 .线性谐振子的零点能为 。 28.线性谐振子的两相邻能级间距为 。 30.表示力学量的算符都是 。 31.厄密算符的本征值必为 。 33.角动量平方算符的本征值为 。

34.角动量平方算符的本征值的简并度为 。 。

38.氢原子基态的电离能为 。 39.氢原子体系n2的能量是 。 48.测不准关系反映了微观粒子的 。

,B,B的不确定关系]ic成立，那么A49.假设对易关系[A是 。

50.假如两个力学量算符对易，那么在 中它们可同时具有确定值。

ˆ,pˆy] 。 55.[y57.一维自由粒子的动量本征函数是 。 58.角动量平方算符的本征值方程为 。 61.量子力学中， 称为表象。 62.动量算符在坐标表象的表达式是 。 63.角动量算符在坐标表象中的表示是 。

71.量子力学中，表示力学量算符的矩阵是 矩阵。 73.力学量算符在自身表象中的矩阵是 矩阵。 75.幺正矩阵满足的条件是 。

83.非简并定态微扰理论的适用条件是 。 效应是 。

计算题1*8+4*10=48分

2.1.证明在定态中，几率流密度与时间无关。 证：对于定态，可令

(r，t)(r)f(t)Et (r)ei J(**)2iiiii

EtEtEt*Eti* [(r)e（(r)e）(r)e（(r)e）]2i [(r)*(r)*(r)(r)]2 可见J与t无关。

2.4. 证明〔〕式中的归一化常数是A1a

证：

nAsin(xa), xa an 0, xa〔〕

由归一化，得

1ndxA2sin2a2an(xa)dxaA21n[1cos(xa)]dxa2aaaA2A2 x2a2aacosn(xa)dxaa

A2an2Aasin(xa)2naaA2a ∴归一化常数A1a

3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，假如粒子的状态由波函

数

(x)Ax(ax)

描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。

解：由波函数(x)的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为

2nsinx, 0xa (x)a a 0, x0, xan222 2， 3， ) En (n1，2a2 动量的几率分布函数为(E)Cn Cn2*(x)(x)dxsin0anx(x)dx a 先把(x)归一化，由归一化条件， 1(x)dxAx(ax)dxA02a222a0x2(a22axx2)dx

A22a0(a2x22ax3x4)dx

5a5a5a52a)A A( 32530 ∴Aa30 5a ∴ Cn0230nsinxx(ax)dx aaa5aa215nn2 [axsinxdxxsinxdx] 00aaa3

215a2na3na2n[xcosxsinxxcosx322naanaan 2an2anxsinxcosx]2233aann023a

415n[1(1)] 33n2 ∴ (E)Cn240n2[1(1)] 66n960 3， 5， 66，n1， n

0，n2, 4, 6,  2ˆpˆ(x)dx(x)(x)dx E(x)H02a a0302d2x(xa)[x(xa)]dx

2dx2a5302 a552



a2

a0302a3a3x(xa)dx() 523aˆ和Lˆ的矩阵分别为 ˆ2和Lˆ的共同表象中，算符L 设在LZxy0100i22101 Lx Li0y220100i0i 0 求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵Lx和Ly对角化。 解：Lx的久期方程为



22020320

20 10，2，3

ˆ的本征值为0，， ∴Lxˆ的本征方程 Lxa1010a1 101a2a2

2a010a33a1ˆ的本征函数Lˆ2和Lˆ共同表象中的矩阵  其中a2设为LZxa3 当10时，有

010a10 101a20

2010a30a20 a1a30 a3a1，a20

20a2a10 ∴ 0

a1 由归一化条件

a120(a1*,0,a1*)02a1 10a1 取 a112

12ˆ的本征值0 。 对应于L 00x12 当2时，有

a1010a1 101a2a2

2a010a33 12aa22a111(a1a3)a2a22a3 2aa1a331a22a2a1 ∴ 2a1

a1 由归一化条件

a12*** 1(a1,2a1,a1)2a14a1

a1 取 a11 2121ˆ的本征值。 ∴归一化的对应于Lx212 当2时，有

a1010a1 101a2a2

2a010a33 2aa22a111(a1a3)a2a22a3 2aaa3131a221a1a1 ∴ 2a1

a1 由归一化条件

a12*** 1(a1,2a1,a1)2a14a1

a1 取 a11 2 ∴归一化的121ˆ的本征值 对应于Lx212ˆ2和Lˆ的共同表象变到Lˆ表象的变换矩阵为 由以上结果可知，从LZx12 S012121212

212121 ∴对角化的矩阵为LxSLxS

 Lx21212120121211201021101020101122121212

21212111000122 1112112202

112122111222200 0020200000

00200 按照与上同样的方法可得

Lˆy的本征值为0，， Lˆy的归一化的本征函数为 1122 0i0  12212 从Lˆ2和LˆZ的共同表象变到Lˆy表象的变换矩阵为 1111222102 S0ii12i12S221221211i222212利用S可使Lˆy对角化 12 i212 000 LySLyS00

00#

ˆ的作用，微 设一体系未受微扰作用时有两个能级：E01及E02，如今受到微扰HH21a，H11H22b；a、b都是实数。用微扰公式求能量至扰矩阵元为H12二级修正值。

解：由微扰公式得

(1) EnHnn(2)' EnmHmnE(0)n2(0)mE

(1)(1)b b 得 E01H11E02H22 E(2)01m'1Hm2E01E0m'a2 E01E02a2 E02E01 E(2)02m1Hm2E02E0m ∴ 能量的二级修正值为

a2 E1E01b

E01E02a2 E2E02b

E02E01#

01ˆ0iˆ.求S及Sxyi0的本征值和所属的本征函数。 2102ˆ的久期方程为 解：Sx

220 2()20

22ˆ的本征值为。 ∴ Sx2设对应于本征值

a1的本征函数为 1/2 2b1ˆ ，得 由本征方程 Sx1/21/2201a1a1b2b 10211b1a1 ab  b1a1 11由归一化条件 1/21/21，得

a1(a,a)a1

1*1*1

即 2a11 ∴ a1212 b112

11对应于本征值的本征函数为 1/2 221设对应于本征值a2的本征函数为 1/2b 22a2ˆ由本征方程 Sx1/21/2 b22b2a2 abb2a2

22由归一化条件，得

a**2 (a2,a2)1 a2即 2a221 ∴ a212 b212

11 对应于本征值的本征函数为 1/21 22ˆ的本征值为。其相应的本征函数分别为 同理可求得Sy2121111 122i2i