《机械工程测试技术基础》第三版课后答案

1-1 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|cn|–ω和φn–ω图，并与表1-1对比。

x(t) A … T0 20 -A T0 2T0 … t T0 图1-4 周期方波信号波形图

解答：在一个周期的表达式为

T0A (t0)2x(t)

 A (0tT0)2积分区间取（-T/2，T/2）

T02T02T020

1cnT0 =jx(t)ejn0t1dt=T00T02Aejn0t1dt+T0Aejn0tdt

A(cosn-1) (n=0, 1, 2, 3, )n所以复指数函数形式的傅里叶级数为

x(t)ncnejn0tj1(1cosn)ejn0t，n=0, 1, 2, 3, 。 nnA

Ac(1cosn)nI (n=0, 1, 2, 3, ) ncnR0cncnR2cnI22A n1,3,, A(1cosn)n n0 n0,2,4,6, 

φnarctancnIcnRπ2n1,3,5,πn1,3,5,

2n0,2,4,6,0没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。

|cn| 2A/π 2A/3π -3ω0 -ω0 ω0 2A/π 2A/3π 2A/5π 3ω0 5ω0 ω φn π/2 ω0 -5ω0 -3ω0 -ω0 -π/2 相频图

周期方波复指数函数形式频谱图

3ω0 5ω0 ω 2A/5π -5ω0 幅频图

1-2 求正弦信号x(t)x0sinωt的绝对均值μx和均方根值xrms。

2x1T1T解答：μxx(t)dtx0sinωtdt0T0T0Txrms1T21T22x(t)dtx0sinωtdtT0T0at2x0TT20T2x04x02x02 sinωtdtcosωt0TωTωπ

T0x1cos2ωtdt0 22

1-3 求指数函数x(t)Ae解答：

(a0,t0)的频谱。

X(f)x(t)ej2ftdtAee0atj2fte(aj2f)tdtA(aj2f)0AA(aj2f)2

aj2fa(2f)2

X(f)ka(2f)22

(f)arctanImX(f)2f arctanReX(f)a|X(f)| A/a φ(f) π/2 0 0 f -π/2 f 单边指数衰减信号频谱图

1-6 求指数衰减信号x(t)eat

sinω0t的频谱

x(t) 指数衰减信号

解答：

sin(0t)1j0tj0t ee2j所以x(t)eat1j0tj0t ee2j

单边指数衰减信号x1(t)eat(a0,t0)的频谱密度函数为

X1(f)x(t)1ejtdteatejtdt01aj 2aja2根据频移特性和叠加性得：

X()

11aj(0)aj(0)X()X()21201022j2ja(0)a(0)2

2220[a(0)]2a02j[a(0)2][a2(0)2][a2(0)2][a2(0)2]X(ω) φ(ω) π 0 ω -π 0 ω 指数衰减信号的频谱图

第二章 测试装置的基本特性

2-1 进行某动态压力测量时，所采用的压电式力传感器的灵敏度为90.9nC/MPa，将它与增益为

0.005V/nC的电荷放大器相连，而电荷放大器的输出接到一台笔式记录仪上，记录仪的灵敏度为20mm/V。试计算这个测量系统的总灵敏度。当压力变化为3.5MPa时，记录笔在记录纸上的偏移量是多少？ 解：若不考虑负载效应，则各装置串联后总的灵敏度等于各装置灵敏度相乘，即 S=90.9(nC/MPa)0.005(V/nC)20(mm/V)=9.09mm/MPa。

偏移量：y=S3.5=9.093.5=31.815mm。 2-2 用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s、2s和5s的正弦信号，问稳态响应幅值误差将是多少？

解：设一阶系统H(s)11，H()

1js1

A()H()11()21，T是输入的正弦信号的周期

221()T稳态响应相对幅值误差A1100%，将已知周期代入得

58.6%T1s32.7%T2s

8.5%T5s 2-3 求周期信号x(t)=0.5cos10t+0.2cos(100t−45)通过传递函数为H(s)=1/(0.005s+1)的装置后得到的稳态响应。

解：H()11，A()，()arctan(0.005)

21j0.0051(0.005) 该装置是一线性定常系统，设稳态响应为y(t)，根据线性定常系统的频率保持性、比例性和叠加性得

到 y(t)=y01cos(10t+1)+y02cos(100t−45+2) 其中y01A(10)x0111(0.00510)120.50.499，1(10)arctan(0.00510)2.86

y02A(100)x021(0.005100)20.20.179，2(100)arctan(0.005100)26.57

所以稳态响应为y(t)0.499cos(10t2.86)0.179cos(100t71.57)

2-5 想用一个一阶系统做100Hz正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在5%以内，那么时间常数应取多少？若用该系统测量50Hz正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？ 解：设该一阶系统的频响函数为

H()1，是时间常数

1j11()2则

A()

1稳态响应相对幅值误差A()1100%11(2f)2令≤5%，f=100Hz，解得≤523s。 如果f=50Hz，则

100% 1相对幅值误差：121(2f)1100%1621(25231050)6100%1.3% 相角差：()arctan(2f)arctan(25231050)9.33

2-6 试说明二阶装置阻尼比多采用0.6~0.8的原因。 解答：从不失真条件出发分析。在0.707左右时，幅频特性近似常数的频率范围最宽，而相频特性曲线最接近直线。

2-8 求频率响应函数为3155072 / (1 + 0.01j)(1577536 + 1760j - 2)的系统对正弦输入x(t)=10sin(62.8t)的稳态响应的均值显示。 解：该系统可以看成是一个一阶线性定常系统和一个二阶线性定常系统的串联，串联后仍然为线性定常系统。根据线性定常系统的频率保持性可知，当输入为正弦信号时，其稳态响应仍然为同频率的正弦信号，而正弦信号的平均值为0，所以稳态响应的均值显示为0。 2-9 试求传递函数分别为1.5/(3.5s + 0.5)和41n2/(s2 + 1.4ns + n2)的两环节串联后组成的系统的总灵敏度（不考虑负载效应）。 解：

H1(s)K11.53，即静态灵敏度K1=3 3.5s0.57s17s1

41n2K2n2H2(s)2，即静态灵敏度K2=41

s1.4nsn2s21.4nsn2因为两者串联无负载效应，所以 总静态灵敏度K = K1  K2 = 3  41 = 123 2-10 设某力传感器可作为二阶振荡系统处理。已知传感器的固有频率为800Hz，阻尼比=0.14，问使用该传感器作频率为400Hz的正弦力测试时，其幅值比A()和相角差()各为多少？若该装置的阻尼比改为=0.7，问A()和()又将如何变化？

n2解：设H()2，则

s2nsn212212nn22，()arctan

A()n21nffn，即

A(f)12f2f12ffnn22，(f)arctanf1fn2

将fn = 800Hz， = 0.14，f = 400Hz，代入上面的式子得到 A(400)  1.31，(400)  −10.57

如果 = 0.7，则A(400)  0.975，(400)  −43.03

第三章 常用传感器与敏感元件

3-3 电阻丝应变片与半导体应变片在工作原理上有何区别？各有何优缺点？应如何针对具体情况来选用？ 解答：电阻丝应变片主要利用形变效应，而半导体应变片主要利用压阻效应。 电阻丝应变片主要优点是性能稳定，现行较好；主要缺点是灵敏度低，横向效应大。 半导体应变片主要优点是灵敏度高、机械滞后小、横向效应小；主要缺点是温度稳定性差、灵敏度离散度大、非线性大。 选用时要根据测量精度要求、现场条件、灵敏度要求等来选择。 3-4 有一电阻应变片（见图3-84），其灵敏度Sg＝2，R＝120。设工作时其应变为1000，问R＝？设将此应变片接成如图所示的电路，试求：1）无应变时电流表示值；2）有应变时电流表示值；3）电流表指示值相对变化量；4）试分析这个变量能否从表中读出？

1.5V

图3-84 题3-4图

解：根据应变效应表达式R/R=Sg得 R=Sg R=2100010-6120=0.24 1）I1=1.5/R=1.5/120=0.0125A=12.5mA 2）I2=1.5/(R+R)=1.5/(120+0.24)0.012475A=12.475mA 3）=(I2-I1)/I1100%=0.2% 4）电流变化量太小，很难从电流表中读出。如果采用高灵敏度小量程的微安表，则量程不够，无法测量12.5mA的电流；如果采用毫安表，无法分辨0.025mA的电流变化。一般需要电桥来测量，将无应变时的灵位电流平衡掉，只取有应变时的微小输出量，并可根据需要采用放大器放大。

3-7 一个电容测微仪，其传感器的圆形极板半径r＝4mm，工作初始间隙=0.3mm，问：1）工作时，如果传感器与工件的间隙变化量＝1m时，电容变化量是多少？2）如果测量电路的灵敏度S1=100mV/pF，读数仪表的灵敏度S2=5格/mV，在＝1m时，读数仪表的指示值变化多少格？ 解：1）

C

0A0AAA002000(0)012328.85101(410)(1106)(0.3103)24.941015F4.94103pF

2）B=S1S2C=1005(4.9410-3)2.47格 答：

3-9 试按接触式与非接触式区分传感器，列出它们的名称、变换原理，用在何处？ 解答：接触式：变阻器式、电阻应变式、电感式（涡流式除外）、电容式、磁电式、压电式、热电式、广线式、热敏电阻、气敏、湿敏等传感器。 非接触式：涡电流式、光电式、热释电式、霍尔式、固态图像传感器等。 可以实现非接触测量的是：电容式、光纤式等传感器。

3-13 何谓霍尔效应？其物理本质是什么？用霍尔元件可测哪些物理量？请举出三个例子说明。 解答：

霍尔（Hall）效应：金属或半导体薄片置于磁场中，当有电流流过薄片时，则在垂直于电流和磁场方向的两侧面上将产生电位差，这种现象称为霍尔效应，产生的电位差称为霍尔电势。

霍尔效应产生的机理（物理本质）：在磁场中运动的电荷受到磁场力FL（称为洛仑兹力）作用，而向垂直于磁场和运动方向的方向移动，在两侧面产生正、负电荷积累。 应用举例：电流的测量，位移测量，磁感应强度测量，力测量；计数装置，转速测量（如计程表等），流量测量，位置检测与控制，电子点火器，制做霍尔电机—无刷电机等。 3-21 选用传感器的基本原则是什么？试举一例说明。

解答：灵敏度、响应特性、线性范围、可靠性、精确度、测量方法、体积、重量、价格等各方面综合考虑。

第四章 信号的调理与记录

4-1 以阻值R=120、灵敏度Sg=2的电阻丝应变片与阻值为120的固定电阻组成电桥，供桥电压为3V，并假定负载电阻为无穷大，当应变片的应变为2和2000时，分别求出单臂、双臂电桥的输出电压，并比较两种情况下的灵敏度。

解：这是一个等臂电桥，可以利用等比电桥和差特性表达式求解。

Uo1(R1R2R3R4)Ue 4R=2时：

1R1UeSgUe2210633106V3μV 4R41R1双臂输出电压：UoUeSgUe2210636106V6μV

2R2单臂输出电压：Uo=2000时：

1R1UeSgUe2200010633103V3mV 4R41R1双臂输出电压：UoUeSgUe2200010636103V6mV

2R2单臂输出电压：Uo 双臂电桥较单臂电桥灵敏度提高1倍。

4-2 有人在使用电阻应变仪时，发现灵敏度不够，于是试图在工作电桥上增加电阻应变片数以提高灵敏度。试问，在下列情况下，是否可提高灵敏度？说明为什么？ 1）半桥双臂各串联一片； 2）半桥双臂各并联一片。 解答：电桥的电压灵敏度为SUoR，即电桥的输出电压UoS和电阻的相对变化成正比。由此

R/RR可知：

1）半桥双臂各串联一片，虽然桥臂上的电阻变化增加1倍，但桥臂总电阻也增加1倍，其电阻的相对变化没有增加，所以输出电压没有增加，故此法不能提高灵敏度； 2）半桥双臂各并联一片，桥臂上的等效电阻变化和等效总电阻都降低了一半，电阻的相对变化也没有增加，故此法也不能提高灵敏度。

4-3 为什么在动态应变仪上除了设有电阻平衡旋钮外，还设有电容平衡旋钮

解答：动态电阻应变仪采用高频交流电给电桥供电，电桥工作在交流状态，电桥的平衡条件为 Z1Z3=Z2Z4|Z1||Z3|=|Z2||Z4|，13=24 由于导线分布、各种寄生电容、电感等的存在，光有电阻平衡是不能实现阻抗模和阻抗角同时达到平衡，只有使用电阻、电容两套平衡装置反复调节才能实现电桥阻抗模和阻抗角同时达到平衡。 4-10 已知某RC低通滤波器，R=1k，C=1F，试；

1）确定各函数式H(s)；H()；A()；()。 2）当输入信号ui=10sin1000t时，求输出信号uo，并比较其幅值及相位关系。 解：

R ui(t) i(t) C uo(t)

一阶RC低通滤波器

1）H(s)11，H()

1js1=RC=100010-6=0.001s

所以

H(s)11，H()

1j0.0010.001s1

A()1，()arctan0.001 21(0.001)2）ui=10sin1000t时，=1000rad/s，所以

A(1000)12

1(0.0011000)22

(1000)arctan0.00110004

uo10A(1000)sin[1000t(1000)]52sin(1000t)（稳态输出）

4相对输入ui，输出幅值衰减为52（衰减了-3dB），相位滞后。

44-11已知低通滤波器的频率响应函数

H()1

1j式中=0.05s。当输入信号x(t)=0.5cos(10t)+0.2cos(100t-45)时，求其输出y(t)，并比较y(t)与x(t)的幅值与相位有何区别。 解：A()11()2，()arctan

A(10)11(0.0510)120.894， (10)arctan(0.0510)26.6

A(100)1(0.05100)20.196，(100)arctan(0.05100)78.7

y(t)=0.5A(10)cos[10t+(10)]+0.2A(100)cos[100t-45+(100)] =0.447 cos(10t-26.6)+0.039cos(100t-123.7)

比较：输出相对输入，幅值衰减，相位滞后。频率越高，幅值衰减越大，相位滞后越大。 4-12 若将高、低通网络直接串联（见图4-46），问是否能组成带通滤波器？请写出网络的传递函数，并分析其幅、相频率特性。

C1 ui(t)

R1

R2 C2

uo(t)

图4-46 题4-12图

解：H(s)

1s

12s2(123)s1j1 212j(123)11=R1C1，2=R2C2，3=R1C2

H()

A()11(2212123)2

1122()arctan

(123)A(0)=0，(0)=/2；A()=0，()=-/2，可以组成带通滤波器，如下图所示。

Bode Diagram

0 Magnitude (dB) Phase (deg) -10 -20 -30 -40 -50 90 45 0 -45 -90 1 10100 101 102 103 104

Frequency (rad/sec)