成人高考《高等数学（二)》模拟试题和答案解析（一）
一、选择题：1～10小题,每小题4分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内．
2
1．当x→0时,x是x—1n(1+x）的( )． A．较高阶的无穷小量 B．等价无穷小量
C．同阶但不等价的无穷小量 D．较低阶的无穷小量
2
2．设函数ƒ（sinx）=sin x，则ƒˊ（x)等于（ ）． A．2cos x
B．—2sin xcosx C．% D．2x
3．以下结论正确的是（ ）．
A．函数ƒ（x）的导数不存在的点，一定不是ƒ（x）的极值点 B．若x0为函数ƒ（x）的驻点，则x0必为ƒ（x）的极值点
C．若函数ƒ（x）在点x0处有极值,且ƒˊ（x0）存在，则必有ƒˊ（x0）=0 D．若函数ƒ（x)在点x0处连续,则ƒˊ（x0)一定存在 4．A．B．
C．exdx D．exIn xdx
5．函数y=ex—x在区间（—1，1)内（ ）． A．单调减少 B．单调增加 C．不增不减 D．有增有减 6．
A．F(x) B．—F（x) C．0
D．2F（x）
7．设y=ƒ（x)二阶可导,且ƒˊ（1)=0，ƒ″(1)>0,则必有（ ）． A．ƒ（1）=0 B．ƒ(1)是极小值
C．ƒ（1)是极大值
D．点（1,ƒ（1）)是拐点 8．
A．ƒ（3）— ƒ（1） B．ƒ（9）- ƒ（3） C．1[f（3）-f（1)
D．1/3［ƒ（9）— ƒ（3）] 9．
A．2x+1 B．2xy+1
2
C．x+1
2
D．x
10．设事件A，B的P(B)=0．5，P（AB)=0．4,则在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率P（A ｜ B)=（ ）． A．O．1 B．0．2 C．0．8 D．0．9
二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分．把答案填在题中横线上． 11．
12．当x→0时,1—cos戈与x是同阶无穷小量,则k= __________． 13．设y=in（x+cosx），则yˊ __________． 14． 15．
k
16．设ƒ（x）的导函数是sin 2x,则ƒ（x)的全体原函数是 __________． 17．
18．曲线y=xlnx—x在x=e处的法线方程为 __________． 19．20．
三、解答题：21～28小题,共70分．解答应写出推理、演算步骤．
21．
22．24．
23．
25．（本题满分8分)一枚5分硬币，连续抛掷3次，求“至少有1次国徽向上”的概率．
2
26．（本题满分10分)在抛物线y=4x与x=2所围成的平面区域内作一矩形,其一边在x=2 上，另外两个顶点在抛物线上，求此矩形面积最大时的长和宽，最大面积是多少？
22
27．（本题满分10分)设z=z（x,y）由方程ez—x+y+x+z=0确定，求出． 28．（本题满分10分）求由曲线y=x，y=lnx及y=0,y=1围成的平面图形的面积S，并求 此平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积Vy．
参考答案及解析
一、选择题 1．【答案】应选C．
【解析】本题考查两个无穷小量阶的比较．
比较两个无穷小量阶的方法就是求其比的极限,从而确定正确的选项．本题即为计算：
由于其比的极限为常数2,所以选项C正确．
请考生注意：由于分母为x-ln（1+x）,所以本题不能用等价无穷小量代换ln(1+x）-x，否则将导致错误的结论．
与本题类似的另一类考题(可以为选择题也可为填空题）为:确定一个无穷小量的“阶\"．例如：当x→0时，x—In（1+x）是x的 A．1/2阶的无穷小量 B．等价无穷小量 C．2阶的无穷小量 D．3阶的无穷小量
要使上式的极限存在，则必须有k—2=0,即k=2．
所以，当x→0时，x—in(1坝）为x的2阶无穷小量，选C． 2．【答案】应选D．
【解析】本题主要考查函数概念及复合函数的导数计算． 本题的解法有两种:
解法1先用换元法求出ƒ（x)的表达式,再求导．
2
设sinx=u，则ƒ(x)=u,所以ƒˊ(u）=2u，即ƒˊ（x）=2x,选D．
解法2将ƒ（sinx)作为ƒ（x)，u=sinx的复合函数直接求导，再用换元法写成ƒˊ（x）的形式．
等式两边对x求导得
ƒˊ(sinx）·COSx=2sin xCOSx，ƒˊ(sin x）=2sinx． 用x换sin x，得ƒˊ（x）=2x，所以选D．
请考生注意:这类题是基本题型之一，也是历年考试中经常出现的．熟练地掌握基本概念及解题的基本方法,必能较大幅度地提高考生的成绩．为便于考生对有关的题型有一个较全面的了解和掌握,特将历年试卷的部分试题中的相关部分摘录如下：
（2004年)设函数ƒ （cosx）=1+cosx，求ƒˊ（x）．（答案为3x） 3．【答案】应选C．
【解析】本题考查的主要知识点是函数在一点处连续、可导的概念，驻点与极值点等概念的相互关系，熟练地掌握这些概念是非常重要的．要否定一个命题的最佳方法是举一个反例, 例如：
y=|x｜在x=0处有极小值且连续,但在x=0处不可导，排除A和D． 3
y=x,x=0是它的驻点，但x=0不是它的极值点，排除B,所以命题C是正确的． 4．【答案】应选A．
【解析】本题可用dy=yˊdx求得选项为A，也可以直接求微分得到dy．
3
2
5．【答案】应选D．
【解析】本题需先求出函数的驻点,再用y″来判定是极大值点还是极小值点,若是极值点，则在极值点两侧的yˊ必异号，从而进一步确定选项．
x
因为yˊ=e—1,令yˊ=0，得x=0．
x
又y″=e〉0，x∈（—1，1）,且y″|x=0=1〉0，所以x=0为极小值点,故在x=0的左、右两侧的函数必为由减到增，则当x∈（—1，1）时，函数有增有减,所以应选D． 6．【答案】应选B．
【解析】用换元法将F（—x)与F(x）联系起来，再确定选项．
7．【答案】应选B．
【提示】根据极值的第二充分条件确定选项． 8．【答案】应选D．
【解析】本题考查的知识点是定积分的换元法．本题可以直接换元或用凑微分法．
9．【答案】应选B．
【解析】用二元函数求偏导公式计算即可．
10．【答案】应选C．
【解析】利用条件概率公式计算即可．
二、填空题
—2
11．【答案】应填e。
—2
【解析】利用重要极限Ⅱ和极限存在的充要条件，可知k=e．
12．【答案】应填2．
【解析】根据同阶无穷小量的概念,并利用洛必达法则确定k值．
13．
【解析】用复合函数求导公式计算．
14．【答案】应填6．
15．
【解析】利用隐函数求导公式或直接对x求导． 将等式两边对x求导（此时y=y（x)),得
16．
【解析】 本题主要考查的知识点是导函数和原函数的概念．
17．
18．【答案】应填x+y—e=0．
【解析】 先求切线斜率，再由切线与法线互相垂直求出法线斜率，从而得到法线方程．
19．【答案】 应填2π．
【提示】 利用奇、偶函数在对称区间上积分的性质． 20．
x2y
【提示】 将函数z写成z=e·e，则很容易求得结果． 三、解答题 21．本题考查的是【解析】含变上限的
型不定式极限的概念及相关性质． 型不定式极限直接用洛必达法则求解．
22．本题考查的知识点是复合函数的求导计算． 【解析】 利用复合函数的求导公式计算．
23．本题考查的知识点是不定积分的公式法和凑微分积分法．
【解析】 本题被积函数的分子为二项之差，一般情况下要考虑将它分成二项之差的积分． 另外由于被积函数中含有根式，所以也应考虑用三角代换去根式的方法进行积分． 解法1
解法2三角代换去根号．
24．本题考查的知识点是反常积分的计算． 【解析】 配方后用积分公式计算．
25．本题考查的知识点是古典概型的概率计算．
26．本题考查的知识点是利用导数研究函数特性的方法．
【解析】 本题的关键是正确列出函数的关系式，再求其最大值． 解如图2-7—1所示，设A点坐标为（x0，y0），则AD=2-x0,矩形面积
27．本题考查的知识点是二元隐函数全微分的求法．
利用公式法求导的关键是需构造辅助函数F(x，y，z)=e-x+y+x+z,
然后将等式两边分别对x，y,z求导．考生一定要注意：对x求导时，y，z均视为常数,而对y或z求导时,另外两个变量同样也视为常数．也即用公式法时，辅助函数F（x,y，z）中的三个变量均视为自变量． 解法1直接求导法． 等式两边对x求导得
z
2
2
解法2公式法．
解法3微分法． 对等式两边求微分得
三种解法各有优劣,但公式法更容易理解和掌握．建议考生根据自己的熟悉程度，牢记一种方法．
28．本题考查的知识点是曲边梯形面积的求法及旋转体体积的求法．
【解析】 首先应根据题目中所给的曲线方程画出封闭的平面图形,然后根据此图形的特点选择对x积分还是对），积分．选择的原则是：使得积分计算尽可能简单或容易算出．本题如果选择对x积分,则有
这显然要比对y积分麻烦．
在求旋转体的体积时一定要注意是绕x轴还是绕y轴旋转．历年的试题均是绕x轴旋转,而本题是求绕y轴旋转的旋转体的体积．
旋转体的体积计算中最容易出现的错误（在历年的试卷均是如此)是：
解 画出平面图形，如图2—7—2所示的阴影部分，则有阴影部分的面积
山水是一部书，枝枝叶叶的文字间,声声鸟鸣是抑扬顿挫的标点，在茂密纵深间,一条曲径,是整部书最芬芳的禅意。春风翻一页，桃花面，杏花眼，柳腰春细；夏阳读一页，蔷花满架，木槿锦绣、合欢幽香、蜀葵闲澹,一派峥嵘；秋风传一页，海棠妆欢,野菊淡姿，高远深邃；冬雪润一页，水仙临水一舞,腊梅素心磬口,向爱唱晚。
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