高密市第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

高密市第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知命题p；对任意x∈R，2x2﹣2x+1≤0；命题q：存在x∈R，sinx+cosx=A．①④

B．②③

C．③④

D．②④

，则下列判断：①p且q

是真命题；②p或q是真命题；③q是假命题；④¬p是真命题，其中正确的是（ ） 2． 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）

A． B． C． D．

3． 在ABC中，若A60，B45，BC32，则AC（ ） A．43 B．23 C.

3 D．

2

3 24． 设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（ ） A．（﹣，﹣2]

B．[﹣1，0]

C．（﹣∞，﹣2]

D．（﹣，+∞）

的图象是（ ）

5． 如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y=x

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A．① B．② C．③

）的图象向左平移

D．④

个单位长度得到的曲线关于y轴对称；命题q：函数

6． 设命题p：函数y=sin（2x+

y=|2x﹣1|在[﹣1，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（ ） A．p为假

B．￢q为真 C．p∨q为真 D．p∧q为假

7． 若函数yf(x1)是偶函数，则函数yf(x)的图象的对称轴方程是（ ）111.Com] A．x1 B．x1 C．x2 D．x2 8． 已知函数f（x）=31+|x|﹣A．

B．

，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（ ）

C．（﹣，） D．

9． 已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x),且在区间[0,2]上是增函数，则 A、f(25)f(11)f(80) B、f(80)f(11)f(25) C、f(11)f(80)f(25) D、f(25)f(80)f(11) 10．函数f（x）=cos2x﹣cos4x的最大值和最小正周期分别为（ ） A．，π

B．，

C．，π

D．，

11．下面的结构图，总经理的直接下属是（ ）

A．总工程师和专家办公室 B．开发部

C．总工程师、专家办公室和开发部 D．总工程师、专家办公室和所有七个部

12．设0＜a＜b且a+b=1，则下列四数中最大的是（ ）

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A．a2+b2 B．2ab C．a

D．

二、填空题

13．直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B（1，4），D（5，0），则直线l的方程为 ．

14．B、C、D四点，在半径为2的球面上有A、若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为 ．

15．定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：（1）f（2x）=2f（x）；（2）当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|，则集合S={x|f（x）=f（34）}中的最小元素是 ．

16．集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜1}，则A∩B= ．

17．f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则常数c的值为 ． 14．已知集合18．设不等式组

的概率是 ．

，若3∈M，5∉M，则实数a的取值范围是 ．

表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2

三、解答题

19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=

，AC=3，BC=2，P是△ABC内一点．

（1）若P是等腰三角形PBC的直角顶角，求PA的长； （2）若∠BPC=

，设∠PCB=θ，求△PBC的面积S（θ）的解析式，并求S（θ）的最大值．

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20．在平面直角坐标系xOy中．己知直线l的参数方程为x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=4． （1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程； （2）直线l与曲线C相交于A、B两点，求∠AOB的值．

21．在平面直角坐标系xOy中，F1、F2分别为椭圆C：个端点，E是椭圆C上的一点，满足（1）求椭圆C的方程；

（2）设点M是线段OF2上的一点，过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆C于P、Q两点，若△MPQ是以M为顶点的等腰三角形，求点M到直线l距离的取值范围．

22．已知等差数列（Ⅰ）求数列

的公差

，

，

．

的通项公式；

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，B为短轴的一

．

（t为参数），以坐标原点为极点，

，且△EF1F2的周长为

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（Ⅱ）设

，记数列前n项的乘积为，求的最大值．

23．（本小题满分12分）已知函数fxax2bxlnx（a,bR）．

1（2）当a0时，是否存在实数b，当x0,e（e是自然常数）时，函数f(x)的最小值是3，若存在，求

（1）当a1,b3时，求函数fx在,2上的最大值和最小值；

2出b的值；若不存在，说明理由；

24．设数列（1）求数列（2）设（3）设数列

的前项和为和

，且满足

，数列

满足

，且

的通项公式 ，数列

的前项和为（

,求证:

是递增数列，求实数

的取值范围。

满足），若数列

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高密市第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：∵命题p；对任意x∈R，2x﹣2x+1≤0是假命题，

2

命题q：存在x∈R，sinx+cosx=故选D．

2． 【答案】 A

是真命题，

∴①不正确，②正确，③不正确，④正确．

【解析】解：由三视图知几何体为半个圆锥，且圆锥的底面圆半径为1，高为2， ∴母线长为

，

=2+

．

2

圆锥的表面积S=S底面+S侧面=×π×1+×2×2+×π×

故选A．

【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．

3． 【答案】B 【解析】

考点：正弦定理的应用.

4． 【答案】A

2

【解析】解：∵f（x）=x﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，

2

故函数y=h（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，

故有故选A．

，即

，解得﹣＜m≤﹣2，

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【点评】本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．

5． 【答案】D

【解析】解：幂函数y=x只有④符合． 故选：D．

为增函数，且增加的速度比价缓慢，

【点评】本题考查了幂函数的图象与性质，属于基础题．

6． 【答案】C

【解析】解：函数y=sin（2x+当x=0时，y=sin故命题p为假命题；

x

函数y=|2﹣1|在[﹣1，0]上是减函数，在[0，+∞）上是增函数．

）的图象向左平移个单位长度得到y=sin（2x+）的图象，

=，不是最值，故函数图象不关于y轴对称，

故命题q为假命题； 则￢q为真命题； p∨q为假命题； p∧q为假命题， 故只有C判断错误， 故选：C

7． 【答案】A 【解析】

试题分析：∵函数yf(x1)向右平移个单位得出yf(x)的图象，又yf(x1)是偶函数，对称轴方程为x0，yf(x)的对称轴方程为x1.故选A． 考点：函数的对称性. 8． 【答案】A

【解析】解：函数f（x）=3当x≥0时，f（x）=3∵此时y=3

1+x

1+x

1+|x|

﹣

为偶函数，

﹣

为增函数，y=为减函数，

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∴当x≥0时，f（x）为增函数， 则当x≤0时，f（x）为减函数， ∵f（x）＞f（2x﹣1）， ∴|x|＞|2x﹣1|， ∴x2＞（2x﹣1）2， 解得：x∈故选：A．

【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数的单调性，难度中档．

9． 【答案】D

【解析】∵f(x4)f(x)，∴f(x8)f(x4)，∴f(x8)f(x)， ∴f(x)的周期为8，∴f(25)f(1)，f(80)f(0)，

，

f(11)f(3)f(14)f(1)f(1)，

又∵奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数，∴f(x)在区间[2,2]上是增函数， ∴f(25)f(80)f(11)，故选D. 10．【答案】B

2422222

【解析】解：y=cosx﹣cosx=cosx（1﹣cosx）=cosx•sinx=sin2x=

，

故它的周期为=，最大值为=．

故选：B．

11．【答案】C

【解析】解：按照结构图的表示一目了然， 就是总工程师、专家办公室和开发部． 故选C．

读结构图的顺序是按照从上到下，从左到右的顺序．

【点评】本题是一个已知结构图，通过解读各部分从而得到系统具有的功能，在解读时，要从大的部分读起，一般而言，是从左到右，从上到下的过程解读．

12．【答案】A

【解析】解：∵0＜a＜b且a+b=1

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∴∴2b＞1

∴2ab﹣a=a（2b﹣1）＞0，即2ab＞a

222

又a+b﹣2ab=（a﹣b）＞0 22

∴a+b＞2ab

22

∴最大的一个数为a+b

故选A

二、填空题

13．【答案】

．

【解析】解：∵直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，则直线过BD的中点（3，2）， 故斜率为

=，

，

∴由斜截式可得直线l的方程为故答案为

．

【点评】本题考查直线的斜率公式，直线方程的斜截式．

14．【答案】

．

【解析】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P， 设点P到CD的距离为h， 则有 V=×2×h××2，

，

当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2则四面体ABCD的体积的最大值为故答案为：

．

．

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【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．属于基础题．

15．【答案】 6

【解析】解：根据题意，得； ∵f（2x）=2f（x）， ∴f（34）=2f（17） =4f（=16f（

）=8f（）；

）

又∵当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|， ∴f（

）=1﹣|

﹣3|=，

∴f（2x）=16×=2；

当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|≤1，不存在； 当4≤x≤8时，f（x）=2f（）=2[1﹣|﹣3|]=2， 解得x=6； 故答案为：6．

【点评】本题考查了根据函数的解析式求函数值以及根据函数值求对应自变量的最小值的应用问题，是基础题目．

16．【答案】 {x|﹣1＜x＜1} ．

【解析】解：∵A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜1}， ∴A∩B={x|﹣1＜x＜1}， 故答案为：{x|﹣1＜x＜1}

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【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

17．【答案】 6 ．

32222

【解析】解：f（x）=x﹣2cx+cx，f′（x）=3x﹣4cx+c， f′（2）=0⇒c=2或c=6．若c=2，f′（x）=3x2﹣8x+4， 令f′（x）＞0⇒x＜或x＞2，f′（x）＜0⇒＜x＜2，

故函数在（﹣∝，）及（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减， ∴x=2是极小值点．故c=2不合题意，c=6． 故答案为6

【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，会利用待定系数法求函数解析式．

18．【答案】

【解析】解：到坐标原点的距离大于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆外 区域D：

表示正方形OABC，（如图） ．

其中O为坐标原点，A（2，0），B（2，2），C（0，2）． 因此在区域D内随机取一个点P，

则P点到坐标原点的距离大于2时，点P位于图中正方形OABC内， 且在扇形OAC的外部，如图中的阴影部分

22

∵S正方形OABC=2=4，S阴影=S正方形OABC﹣S扇形OAC=4﹣π•2=4﹣π

∴所求概率为P=故答案为：

=

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【点评】本题给出不等式组表示的平面区域，求在区域内投点使该到原点距离大于2的概率，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识点，属于基础题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）∵P为等腰直角三角形PBC的直角顶点，且BC=2， ∴∠PCB=∵∠ACB=

，PC=

，

，

=5，

，∴∠ACP=

222

在△PAC中，由余弦定理得：PA=AC+PC﹣2AC•PC•cos

整理得：PA=；

，∠PCB=θ，

（2）在△PBC中，∠BPC=∴∠PBC=

﹣θ，

=sin（

由正弦定理得：∴PB=

sinθ，PC=

=﹣θ），

=．

sin（

，

∴△PBC的面积S（θ）=PB•PCsin则当θ=

时，△PBC面积的最大值为

﹣θ）sinθ=sin（2θ+）﹣，θ∈（0，），

【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

20．【答案】

【解析】解：（1）∵直线l的参数方程为∴直线l的普通方程为

．

（t为参数），

2

∵曲线C的极坐标方程是ρ=4，∴ρ=16， 22

∴曲线C的直角坐标系方程为x+y=16．

（2）⊙C的圆心C（0，0）到直线l：d=

=2，

+y﹣4=0的距离：

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∴cos∵0∴

．

， ，∴

，

21．【答案】

【解析】（本小题满分12分）

解：（1）由已知F1（﹣c，0），设B（0，b），即∴∴

=（﹣c，

，得

），即E（﹣c，

，①…

）， ，∴b=1，

=1．…

），

=（﹣c，0），

=（0，b），

又△PF1F2的周长为2（∴2a+2c=2+2

，②…

又①②得：c=1，a=

∴所求椭圆C的方程为：

（2）设点M（m，0），（0＜m＜1），直线l的方程为y=k（x﹣1），k≠0， 由

2222

，消去y，得：（1+2k）x﹣4kx+2k﹣2=0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ中点为N（x0，y0）， 则∴即N（

，∴y1+y2=k（x1+x2﹣2）=

，），…

=

，

，

∵△MPQ是以M为顶点的等腰三角形，∴MN⊥PQ， 即

=﹣1，

∴m=∈（0，），…

设点M到直线l：kx﹣y﹣k=0距离为d，

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2则d=

=＜=，

∴d∈（0，），

即点M到直线距离的取值范围是（0，）．…

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查点到直线的距离的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、中点坐标公式、点到直线的距离公式的合理运用．

22．【答案】

【解析】【知识点】等差数列 【试题解析】（Ⅰ）由题意，得解得所以

（Ⅱ）由（Ⅰ），得所以所以只需求出由（Ⅰ），得因为所以当所以

，或的最大值为

时，

，

取到最大值．

．

或

（舍）． ． ．

． 的最大值．

．

23．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、探究能力、运算求解能力．

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（2）当a0时，fxbxlnx．

假设存在实数b，使gxbxlnxx0,e有最小值3，

f(x)b1bx1．………7分 xx4（舍去）．………8分 e①当b0时，f(x)在0,e上单调递减，f(x)minfebe13,b②当0111

e时，f(x)在0,上单调递减，在,e上单调递增， bbb

12∴f(x)ming1lnb3,be，满足条件．……………………………10分

b14③当e时，f(x)在0,e上单调递减，f(x)mingebe13,b（舍去），………11分

be2综上，存在实数be，使得当x0,e时，函数f(x)最小值是3．……………………………12分

24．【答案】 【解析】

解：∵Sn＝2－an，即an＋Sn＝2，∴an＋1＋Sn＋1＝2. 两式相减：an＋1－an＋Sn＋1－Sn＝0.

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即an＋1－an＋an＋1＝0，故有2an＋1＝an，∵an≠0，，

，

，

∵bn＋1＝bn＋an（n＝1,2,3，…），得b2－b1＝1，

，

．

将这n－1个等式相加，得

又∵b1＝1，（2）证明： 而①

－

②

.．

得

＝8－∴Tn＜8. （3）由（1）知由数列即恒成立， 即

当为奇数时，即当为偶数时，即

恒成立， 恒成立，∴恒成立，∴

， ，

是递增数列，∴对

恒成立，

（n＝1,2,3，…）．

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综上实数

的取值范围为

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