参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1．（5分）（2011•广东）设复数Z满足（1+i）Z=2，其中i为虚数单位，则Z=（ ） A．1+i B．1﹣i C．2+2i D．2﹣2i 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】数系的扩充和复数．
【分析】我们可以利用待定系数法求出Z，我们设Z=x+yi，结合已知中（1+i）Z=2，结合复数相等的充要条件，我们易构造出一个关于x，y的方程组，解方程组即可求出满足条件的复数Z的值．
【解答】解：设Z=x+yi则 （1+i）Z=（1+i）（x+yi）=x﹣y+（x+y）i=2
即
解得x=1，y=﹣1 故Z=1﹣i 故选B
【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，其中利用复数相等的充要条件，构造出一个关于x，y的方程组，是解答本题的关键． 2．（5分）（2011•广东）已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B={（x，y）|x，y为实数，且y=x}，则A∩B的元素个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】交集及其运算． 【专题】集合．
【分析】据观察发现，两集合都表示的是点集，所以求两集合交集即为两函数的交点，则把两集合中的函数关系式联立求出两函数的交点坐标，交点有几个，两集合交集的元素就有几个．
【解答】解：联立两集合中的函数解析式得：
，把②代入①得：2x2=1，解得x=±
，
分别把x=±代入②，解得y=±，
，
）和（﹣
，﹣
），
所以两函数图象的交点有两个，坐标分别为（
则A∩B的元素个数为2个．
故选C
【点评】此题考查学生理解两个点集的交集即为两函数图象的交点个数，是一道基础题．
3．（5分）（2011•广东）若向量，，满足∥且⊥，则•（+2）=（ ）
1
A．4 B．3 C．2 D．0
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用．
【分析】利用向量共线的充要条件将用表示； 垂直的充要条件得到代入，利用向量的分配律求出值． 【解答】解：∵∴存在λ使∵∴∴
=0
=2
=0
；将的值
故选D
【点评】本题考查向量垂直的充要条件|考查向量共线的充要条件、考查向量满足的运算律． 4．（5分）（2011•广东）设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）
A．f（x）+|g（x）|是偶函数 B．f（x）﹣|g（x）|是奇函数 C．|f（x）|+g（x）是偶函数 D．|f（x）|﹣g（x）是奇函数 【考点】函数奇偶性的判断． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．
【解答】解：∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数， 则|g（x）|也为偶函数，
则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件； f（x）﹣|g（x）|是偶函数，故B不满足条件； |f（x）|也为偶函数，
则|f（x）|+g（x）与|f（x）|﹣g（x）的奇偶性均不能确定 故选A
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，其中根据已知确定|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，是解答本题的关键．
5．（5分）（2011•广东）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若
M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（，1），则z=•的最大值为（ ）
2
A．4 B．3 C．4 D．3
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域． 【专题】不等式的解法及应用．
【分析】首先画出可行域，z=•代入坐标变为z=x+y，即y=﹣x+z，z表示斜率
为的直线在y轴上的截距，故求z的最大值，即求y=﹣在y轴上的截距的最大值． 【解答】解：如图所示： z=
•
=
x+y，即y=﹣
x+z
x+z与可行域有公共点时
首先做出直线l0：y=﹣最大．
x，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z
因为B（，2），故z的最大值为4． 故选：C．
【点评】本题考查线形规划问题，考查数形结合解题． 6．（5分）（2011•广东）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式． 【专题】概率与统计．
【分析】根据已知中的比赛规则，我们可得甲要获得冠军可分为甲第一场就取胜，或甲第一场失败，第二场取胜，由分类事件加法公式，我们分别求出两种情况的概率，进而即可得到结论．
【解答】解：甲要获得冠军共分为两个情况 一是第一场就取胜，这种情况的概率为
一是第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为×= 则甲获得冠军的概率为
3
故选D
【点评】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解． 7．（5分）（2011•广东）如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】立体几何．
【分析】由已知中三视图我们可以确定，该几何体是以正视图为底面的直四棱柱，根据已知三视图中标识的数据，求出棱柱的底面积和高，代入棱柱体积公式 即可得到答案． 【解答】解：由已知中三视图该几何体为四棱柱，
其底面底边长为3，底边上的高为：=，
故底面积S=3×=3， 又因为棱柱的高为3， 故V=3×3=9， 故选B． 【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图判断出几何体的形状及相应底面面积和高是解答本题的关键． 8．（5分）（2011•广东）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（ ） A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的 B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的 C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的 D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的 【考点】元素与集合关系的判断． 【专题】集合．
【分析】本题从正面解比较困难，可运用排除法进行作答．考虑把整数集Z拆分成两个互不相交的非空子集T，V的并集，如T为奇数集，V为偶数集，或T为负整数集，V为非负整数集进行分析排除即可．
【解答】解：若T为奇数集，V为偶数集，满足题意，此时T与V关于乘法都是封闭的，排除B、C；
若T为负整数集，V为非负整数集，也满足题意，此时只有V关于乘法是封闭的，排除D； 从而可得T，V中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确．
4
故选A． 【点评】此题考查学生理解新定义的能力，会判断元素与集合的关系，是一道比较难的题型．
二、填空题（共7小题，每小题5分，其中14、15只能选做一题。满分30分） 9．（5分）（2011•广东）不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥0的解集是 {x|x≥1} ． 【考点】绝对值不等式．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】不等式等价于 ①，或
②，或 ③，
分别解出①②③的解集，再把各个解集取并集． 【解答】解：不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥0等价于
①，或
②，
或 ③．
解 ①得 无解，解②得{ x|3＞x≥1}，解③得 {x|x≥3}．
综上，不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥0的解集是 {x|3＞x≥1，或 x≥3}，即 {x|x≥1}． 故答案为 {x|x≥1}或[1，+∞）．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，以及等价转化的数学思想．
10．（5分）（2011•广东）x（x﹣）7的展开式中，x4的系数是 84 （用数字作答） 【考点】二项式系数的性质． 【专题】排列组合．
【分析】将问题转化为
展开式的x3的系数，利用二项展开式的通项求出展开式
的通项，令x的指数为3求出x4的系数． 【解答】解：∵
的展开式中x4的系数即求
展开式的通项为Tr+1=（﹣2）rC7rx7
﹣2r
展开式的x3的系数
令7﹣2r=3得r=2
∴展开式中x4的系数是4C72=84 故答案为：84 【点评】本题考查等价转化的能力、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
5
11．（5分）（2011•广东）等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1=1，ak+a4=0，则k= 10 ．
【考点】等差数列的前n项和． 【专题】等差数列与等比数列．
【分析】先根据“等差数列{an}前9项的和等于前4项的和”求得公差，再由ak+a4=0求得结果．
【解答】解：∵等差数列{an}前9项的和等于前4项的和 ∴9+36d=4+6d ∴d=
又∵ak+a4=0
∴1+（k﹣1）d+1+3d=0 ∴k=10
故答案为：10
【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题． 12．（5分）（2011•广东）函数f（x）=x3﹣3x2+1在x= 2 处取得极小值． 【考点】利用导数研究函数的极值． 【专题】导数的概念及应用．
【分析】首先求导可得f′（x）=3x2﹣6x，解3x2﹣6x=0可得其根，再判断导函数的符号即可．
【解答】解：f′（x）=3x2﹣6x，
令f′（x）=3x2﹣6x=0得x1=0，x2=2，
且x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0；x∈（0，2）时，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，
故f（x）在x=2出取得极小值． 故答案为：2．
【点评】本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查． 13．（5分）（2011•广东）某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 185 cm． 【考点】回归分析． 【专题】概率与统计．
【分析】设出解释变量和预报变量；代入线性回归方程公式，求出线性回归方程，将方程中的X用182代替，求出他孙子的身高．
【解答】解：设X表示父亲的身高，Y表示儿子的身高则Y随X的变化情况如下；建立这种线性模型： X 173 170 176 182 Y 170 176 182 ？ 用线性回归公式，
求解得线性回归方程y=x+3 当x=182时，y=185
6
故答案为：185．
【点评】本题考查由样本数据，利用线性回归直线的公式，求回归直线方程．
14．（5分）（2011•广东）已知两曲线参数方程分别为
（0≤θ＜π）和
（t∈R），它们的交点坐标为 （1，） ．
【考点】参数方程化成普通方程；直线的参数方程；椭圆的参数方程． 【专题】坐标系和参数方程．
【分析】利用同角三角函数的基本关系及代入的方法，把参数方程化为普通方程，再利用消去参数t化曲线的参数方程为普通方程，最后解方程组求得两曲线的交点坐标即可． 【解答】解：曲线参数方程
；
（0≤θ＜π）的直角坐标方程为：
曲线（t∈R）的普通方程为：
；
解方程组：
得：
）．
∴它们的交点坐标为（1，故答案为：（1，
）．
【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，参把数方程化为普通方程的方法，以及求两曲
线的交点坐标的方法，考查运算求解能力．属于基础题． 15．（2011•广东）如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5，∠BAC=∠APB，则AB= ．
【考点】圆的切线的性质定理的证明．
7
【专题】直线与圆．
【分析】根据同弧所对的圆周角与弦切角相等，得到∠C=∠BAP，根据所给的两个角相等，得到两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例，得到比例式，代入已知的长度，求出结果．
【解答】解：∵∠BAC=∠APB， ∠C=∠BAP，
∴△PAB∽△ACB， ∴
∴AB2=PB•BC=7×5=35， ∴AB=， 故答案为：．
【点评】本题可选圆的切线的性质的应用，考查同弧所对的圆周角等于弦切角，考查三角形相似的判断和性质，本题是一个综合题目．
三、解答题（共1小题，满分12分）
16．（12分）（2011•广东）已知函数f（x）=2sin（x﹣（1）求f（
）的值；
]，f（3α+
）=
，f（3β+2π）=，求cos（α+β）的值．
），x∈R
（2）设α，β∈[0，
【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数． 【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质． 【分析】（1）把x=求出对应的函数值； （2）分别把x=3α+
和x=3β+2π代入f（x）的解析式中，化简后利用诱导公式即可求出代入函数f（x）的解析式中，化简后利用特殊角的三角函数值即可
sinα和cosβ的值，然后根据α和β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα和sinβ的值，然后把所求的式子利用两角和的余弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值． 【解答】解：（1）把x=f（
）=2sin（×
）=
﹣
代入函数解析式得： ）=2sin
=
；
（2）由f（3α+2sin[（3α+sinα=
，f（3β+2π）=，代入得： ]=2sinα=
，2sin[（3β+2π）﹣]，
]=2sin（β+
）=2cosβ=
）﹣
，cosβ=，又α，β∈[0，
，sinβ=，
所以cosα=
8
则cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=．
【点评】此题考查学生掌握函数值的求法，灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题． 17．（13分）（2011•广东）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据： 编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y 75 80 77 70 81 （1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品总数．
（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175，y≥75，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量．
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中的优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．
【考点】离散型随机变量的期望与方差． 【专题】概率与统计． 【分析】（1）有分层抽样可知各层抽取的比例相等，先计算出甲厂抽取的比例，按此比例计算乙厂生产的产品总数即可．
（2）先计算抽取的5件样品中优等品的概率，再由此概率估计乙厂生产的优等品的数量即可．
（3）ξ的所有可能取值为0，1，2．由古典概型分别求概率，再求期望即可，此分布列为超几何分布．
【解答】解：（1）甲厂抽取的比例件．
=，因为乙厂抽出5件，故乙厂生产的产品总数35
（2）x≥175，y≥75的有两件，比例为，因为乙厂生产的产品总数35件， 故乙厂生产的优等品的数量为35×=14件．
（3）乙厂抽出的上述5件产品中有2件为优等品，任取两件的取法有C52=10种 ξ的所有可能取值为0，1，2． P（ξ=0）=P（ξ=1）=P（ξ=2）=
， =
， ，
∴ξ的分布列为： ξ 0 1
2
9
P 故Eξ=
．
【点评】本题考查分层抽样、样本估计总体、离散型随机变量的分布列和期望等知识，考查利用所学知识解决问题的能力． 18．（13分）（2011•广东）如图，在锥体P﹣ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点 （1）证明：AD⊥平面DEF
（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法． 【专题】空间位置关系与距离；空间角；立体几何． 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理进行证明是解决本题的关键，在平面DEF中找两条相交直线与AD垂直，利用60°角菱形的特征可以发现AD⊥DE，通过取出AD的中点构造一个平面可以证明AD⊥EF；
（2）利用（1）中的结论找到二面角P﹣AD﹣B的平面角是解决本题的关键，求角往往要利用三角形中的余弦定理． 【解答】解：（1）取AD的中点G，连接PG，BG，在△ABG中，根据余弦定理可以算出
BG=，
发现AG2+BG2=AB2，可以得出AD⊥BG，又DE∥BG ∴DE⊥AD，
又PA=PD，可以得出AD⊥PG，而PG∩BG=G， ∴AD⊥平面PBG，而PB⊂平面PBG， ∴AD⊥PB，又PB∥EF，
∴AD⊥EF．又EF∩DE=E，∴AD⊥平面DEF．
（2）由（1）知，AD⊥平面PBG，所以∠PGB为二面角P﹣AD﹣B的平面角， 在△PBG中，PG=
，BG=
，PB=2，
由余弦定理得cos∠PGB=，
10
因此二面角P﹣AD﹣B的余弦值为．
【点评】本题考查立体几何中基本的线面关系，考查线面垂直的判定方法，考查二面角的求法，训练了学生基本的空间想象能力，考查学生的转化与化归思想，解三角形的基本知识和学生的运算能力，属于基本的立体几何题．
19．（14分）（2011•广东）设圆C与两圆（x+另一个外切．
（1）求C的圆心轨迹L的方程； （2）已知点M（
，
），F（
）2+y2=4，（x﹣
）2+y2=4中的一个内切，
，0），且P为L上动点，求||MP|﹣|FP||的最大值及
此时点P的坐标．
【考点】圆方程的综合应用．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（1）根据两圆的方程分别找出两圆心和两半径，根据两圆内切时，两圆心之间的距离等于两半径相减，外切时，两圆心之间的距离等于两半径相加，可知圆心C到圆心F1的距离加2与圆心C到圆心F2的距离减2或圆心C到圆心F1的距离减2与圆心C到圆心F2的距离加2，得到圆心C到两圆心的距离之差为常数4，且小于两圆心的距离2，可知圆心C的轨迹为以原点为中心，焦点在x轴上的双曲线，根据a与c的值求出b的值，写出轨迹L的方程即可；
（2）根据点M和F的坐标写出直线l的方程，与双曲线L的解析式联立，消去y后得到关于x的方程，求出方程的解即可得到两交点的横坐标，把横坐标代入直线l的方程中即可求出交点的纵坐标，得到直线l与双曲线L的交点坐标，然后经过判断发现T1在线段MF外，T2在线段MF内，根据图形可知||MT1|﹣|FT1||=|MF|，利用两点间的距离公式求出|MF|的长度，当动点P与点T2重合时||MT2|﹣|FT2||＜|MF|，当动点P不是直线l与双曲线的交点时，根据两边之差小于第三边得到|MP|﹣|FP|＜|MF|，综上，得到动点P与T1重合时，||MP|﹣|FP||取得最大值，此时P的坐标即为T1的坐标． 【解答】解：（1）两圆的半径都为2，两圆心为F1（﹣，0）、F2（，0）， 由题意得：|CF1|+2=|CF2|﹣2或|CF2|+2=|CF1|﹣2， ∴||CF2|﹣|CF1||=4=2a＜|F1F2|=2=2c，
可知圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴为4，焦距为2的双曲线， 因此a=2，c=，则b2=c2﹣a2=1，
所以轨迹L的方程为
﹣y2=1；
（2）过点M，F的直线l的方程为y=（x﹣），
即y=﹣2（x﹣），代入
﹣y2=1，解得：x1=
，﹣
，x2=），T2（
， ，
），
故直线l与双曲线L的交点为T1（
11
因此T1在线段MF外，T2在线段MF内，故||MT1|﹣|FT1||=|MF|=
=2，
||MT2|﹣|FT2||＜|MF|=2，若点P不在MF上，则|MP|﹣|FP|＜|MF|=2， 综上所述，|MP|﹣|FP|只在点T1处取得最大值2，此时点P的坐标为（
，﹣
）．
【点评】此题考查学生会根据已知条件得到动点的轨迹方程，掌握双曲线的简单性质，灵活运用两点间的距离公式及三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解决实际问题，是一道中档题．
20．（14分）（2011•广东）设b＞0，数列{an}满足a1=b，an=（1）求数列{an}的通项公式； （2）证明：对于一切正整数n，an≤
+1．
（n≥2）．
【考点】数列与不等式的综合；数列递推式． 【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（1）首先要根据条件变形递推公式得：，然后通过换元的方法分
析得数列是等比数列，其中
．从而可以求得数列{bn}的通项公式，进
而即可求得数列{an}的通项公式；
﹣﹣﹣﹣
（2）首先要利用基本不等式获得b2n+b2n1•2+…+bn+1•2n1+bn1•2n+1+…+b•22n12n
+2≥n•2n+1•bn，然后对数列{an}的通项公式变形然后利用所获得的不等式放缩化简即可获得问题的解答． 【解答】解：（1）由题意知：
12
，
∴设设
，则
，则
，
，
当b=2时，∴
，
为首项是，公差是的等差数列．
∴an=2． 当b≠2时， 令∴∴
是等比数列．
，∴
，
，
∴又∵
，
，
∴，
∴
综上可知： 当b=2时，an=2． 当b≠2时，
．
（2）当b=2时，由（1）知命题显然成立； 当b≠2时， ∵
…
13
将以上n个式子相加得：
b2n+b2n1•2+…+bn+1•2n1+bn1•2n+1+…+b•22n1+22n＞n•2n+1•bn
﹣
﹣
﹣
﹣
∴
=
=
=．
综上可知：
．
【点评】本题考查的是数列的递推公式问题．在解答的过程当中充分体现了转化的思想、换元的思想、基本不等式的利用以及放缩法．值得同学们体会和反思．
21．（14分）（2011•广东）在平面直角坐标系xoy上，给定抛物线L：y=x2．实数p，q满足p2﹣4q≥0，x1，x2是方程x2﹣px+q=0的两根，记φ（p，q）=max{|x1|，|x2|}．
（1）过点，A（p0，p02）（p0≠0），作L的切线交y轴于点B．证明：对线段AB上的任一点Q（p，q），有φ（p，q）=
；
（2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a2﹣4b＞0，a≠0．过M（a，b）作L的两条切线l1，l2，切点分别为E（p1，
），E′（p2，p22），l1，l2与y轴分别交于F，F′．线段
．
EF上异于两端点的点集记为X．证明：M（a，b）∈X⇔|P1|＜|P2|⇔φ（a，b）=
（3）设D={ （x，y）|y≤x﹣1，y≥（x+1）2﹣}．当点（p，q）取遍D时，求φ（p，q）的最小值 （记为φmin）和最大值（记为φmax） 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．
14
【分析】（1）求导，写出过点A（p0，p02）（p0≠0）L的切线方程，求得点B的坐标，即可证得结果；
（2）求出过M（a，b）作L的两条切线l1，l2，根据φ（p，q）=max{|x1|，|x2|}，比较|a﹣
|、
、|a﹣
|的大小，即可证得结论；
、
（3）联立y=x﹣1，y=（x+1）2﹣求得交点坐标，利用导数求过点（p，q）抛物线L的切线方程，求得切点坐标，转化为求函数的最值问题． 【解答】解：（1）kAB=y′|x=p0=p0，
直线AB的方程为y﹣p02=p0（x﹣p0），即y=p0x﹣p02， ∴q=p0p﹣p02，方程x2﹣px+q=0的判别式△=p2﹣4q=（p﹣p0）2，
两根x1，2==或p﹣，
而|p﹣∴
|=||p|﹣|
||，又0≤|p|≤|p0|，
，得|p﹣
；
|=||p|﹣|
||
，
∴φ（p，q）=
（2）由a2﹣4b＞0知点M（a，b）在抛物线L的下方，
①当a＞0，b≥0时，作图可知，若M（a，b）∈X，则p1＞p2≥0， 得|p1|＞|p2|；显然有点M（a，b）∈X；∴M（a，b）∈X⇔|P1|＜|P2|．
②当a＞0，b＜0时，点M（a，b）在第二象限，作图可知，若M（a，b）∈X，则p1＞0＞p2，
且|p1|＞|p2|；
显然有点M（a，b）∈X，
∴显然有点M（a，b）∈X⇔|P1|＜|P2|．
根据曲线的对称性可知，当a＜0时，M（a，b）∈X⇔|P1|＜|P2|． 综上所述，M（a，b）∈X⇔|P1|＜|P2|． （*）
由（1）知点M在直线EF上，方程x2﹣ax+b=0的两根x1，2=同理知点M在直线E′F′上，方程x2﹣ax+b=0的两根x1，2=若φ（a，b）=
，则
不比|a﹣
|、
、|a﹣
或a﹣或a﹣|小，
， ，
∴|p1|＞|p2|；又|p1|＞|p2|⇒M（a，b）∈X；
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∴φ（p，q）=⇒M（a，b）∈X；
；
又由（1）知，M（a，b）∈X⇒φ（p，q）=∴M（a，b）∈X⇔φ（p，q）=
，综合（*）式，得证．
（3）联立y=x﹣1，y=（x+1）2﹣得交点（0，﹣1），（2，1），可知0≤p≤2，
过点（p，q）抛物线L的切线，设切点为（x0，x02），则得x02﹣2px0+4q=0，解得x0=p+
又q≥（p+1）2﹣，即p2﹣4q≤4﹣2p， x0≤p+∴φmax=； 而x0≥p+∴φmin=
=1．
=p+|p﹣2|=2， ，设
=t，x0≤
=
，
，
≤，
【点评】此题是个难题．本题考查了利用导数研究抛物线的切线方程，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题形式是个新定义问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．
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