2014年理科数学真题

2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标Ⅰ

理科数学

注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.

3. 回答第Ⅰ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效. 4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={x|x22x30}，B={x|－2≤x＜2}，则AB= A.[-2,-1] B.[-1,2） C.[-1,1] D.[1,2）

(1i)32.= (1i)2A.

1i B.1i C.1i D.1i

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3.设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)时奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是

A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数

4.已知F是双曲线C：x2my23m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为

A.3 B.3 C.3m D.3m 5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率

A. B. C. D. 6.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)，则y=f(x)在[0,]上的图像大致为

18385878

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7.执行下图的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，则输出的M=

A.

2016715 B. C. D. 35288.设(0,)，(0,)，且tan221sin，则 cosA.32 B.3 C.2 D.2222

xy19.不等式组的解集记为D.有下面四个命题：

x2y4p1：(x,y)D,x2y2，p2：(x,y)D,x2y2, P3：(x,y)D,x2y3，p4：(x,y)D,x2y1.

其中真命题是

A.p2,P3 B.p1,p4 C.p1,p2 D.p1,P3 10.已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是

uuuruuur直线PF与C的一个交点，若FP4FQ，则|QF|=

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A. B.3 C. D.2 11.已知函数f(x)=ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为

A.（2，+∞） B.（1，+∞） C.（-∞，-2） D.（-∞，-1） 12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为

A.62 B. 6 C.42 D.4

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分.第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答.第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答.

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分.

13.(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为 .(用数字填写答案) 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

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乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 .

uuuruuur1uuuruuuruuur15.已知A，B，C是圆O上的三点，若AO(ABAC)，则AB与AC2的夹角为 .

16.已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边，a=2，且

(2b)(sinAsinB)(cb)sinC，则ABC面积的最大值为 .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an0，

anan1Sn1，其中为常数.

(Ⅰ)证明：an2an；

（Ⅰ）是否存在，使得{an}为等差数列？并说明理由.

18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

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(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（Ⅰ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,2)，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差s2.

(i)利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；

（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，网记X表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX.

附：150≈12.2.

若

Z～N(,2)，则P(Z)=0.6826，

P(2Z2)=0.9544.

19. (本小题满分12分)如图三棱锥ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C.

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(Ⅰ) 证明：ACAB1；

（Ⅰ）若ACAB1，CBB160o，AB=BC，求二面角AA1B1C1的余弦值.

20. (本小题满分12分) 已知点Ax2y23（0，-2），椭圆E：221(ab0)的离心率为，F是椭圆的焦点，

2ab直线AF的斜率为23，O为坐标原点. 3(Ⅰ)求E的方程；

（Ⅰ）设过点A的直线l与E相交于P,Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.

bex121. (本小题满分12分)设函数f(x)aelnx，曲线yf(x)在点

xx（1，f(1)处的切线为ye(x1)2.

(Ⅰ)求a,b； （Ⅰ）证明：f(x)1.

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.

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(22)（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲 如图，四边形ABCD是eO的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE.

（I）证明：DE；

（II）设AD不是eO的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：

ADE为等边三角形.

(23)（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

x2tx2y2已知曲线C:1，直线l:（t为参数）

49y22t(Ⅰ)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

(Ⅰ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求PA的最大值与最小值.

(24)（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲 若a0,b0,且ab

1a1b（I）求a3b3的最小值；

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，使得2a3b6？并说明理由. 实用文档 精心整理

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（II）是否存在a,b