于都县第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 设曲线f(x)x21在点(x,f(x))处的切线的斜率为g(x)，则函数yg(x)cosx的部分图象 可以为（ ）

A． B． C. D． 2． 如果执行如图所示的程序框图，那么输出的a=（ ）

A．2 B． C．﹣1 D．以上都不正确

3． 在空间中，下列命题正确的是（ ） A．如果直线m∥平面α，直线n⊂α内，那么m∥n

B．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β D．如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么必有m⊥β 4． 下列关系式中，正确的是（ ） A．∅∈{0} B．0⊆{0} （﹣3）的值为（ ） A．﹣2 B．﹣4 C．0 （ ） A．90种 B．180种

C．270种

D．540种

D．4 C．0∈{0}

D．∅={0}

C．如果平面α外的一条直线m垂直于平面α内的两条相交直线，那么m⊥α

5． 设定义在R上的函数f（x）对任意实数x，y，满足f（x）+f（y）=f（x+y），且f（3）=4，则f（0）+f

6． 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有

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7． 若变量x，y满足：，且满足（t+1）x+（t+2）y+t=0，则参数t的取值范围为（ ）

A．﹣2＜t＜﹣ B．﹣2＜t≤﹣ 8． 复数

C．﹣2≤t≤﹣ D．﹣2≤t＜﹣

的虚部为（ ）

D．2i

A．﹣2 B．﹣2i C．2

9． 若当xR时，函数f(x)a|x|（a0且a1）始终满足f(x)1，则函数y（ ）

loga|x|的图象大致是 x3

10．已知平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误 的是（ ）

A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥β C．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β 11．若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（ ） A．（0，+∞） B．（﹣1，0）∪（2，+∞）

C．（2，+∞）

D．（﹣1，0）

12．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）

【命题意图】本题考查了利用函数的基本性质来判断图象，对识图能力及逻辑推理能力有较高要求，难度中等．

A． B．（4+π） C． D．

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二、填空题

13．幂函数f(x)（m23m3)xm22m1在区间0,上是增函数，则m ．

，

），（3，

），则O点到直线AB

14．在极坐标系中，O是极点，设点A，B的极坐标分别是（2的距离是 ．

ym15．设mR，实数x，y满足2x3y60，若2xy18，则实数m的取值范围是___________．

3x2y60【命题意图】本题考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力． 16．如果椭圆

+

=1弦被点A（1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ．

217．【泰州中学2018届高三10月月考】设二次函数fxaxbxc（a,b,c为常数）的导函数为fx，

b2对任意xR，不等式fxfx恒成立，则2的最大值为__________． 2ac18．阅读如图所示的程序框图，则输出结果S的值为 .

【命题意图】本题考查程序框图功能的识别，并且与数列的前n项和相互联系，突出对逻辑判断及基本运算能

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力的综合考查，难度中等.

三、解答题

19．（本小题满分12分）

已知数列an的各项均为正数，a12，an1an（Ⅰ）求数列an的通项公式； （Ⅱ）求数列

20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB中点． （1）求证：BC1∥平面A1CD；

（2）若四边形BCC1B1是正方形，且A1D=

，求直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值．

4.

an1an1的前n项和Sn．

an1an

1x21．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe．（a∈R，e为自然对数的底数）

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（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数f（x）在0,1上无零点，求a的最小值； 2（Ⅲ）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范围．

22．已知p：﹣x2+2x﹣m＜0对x∈R恒成立；q：x2+mx+1=0有两个正根．若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．

23．已知一个几何体的三视图如图所示． （Ⅰ）求此几何体的表面积；

（Ⅱ）在如图的正视图中，如果点A为所在线段中点，点B为顶点，求在几何体侧面上从点A到点B的最短路径的长．

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24．已知椭圆C：的右顶点．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

N两点，MN、ON的斜率依次成等比数列，（Ⅱ）设不过原点O的直线与椭圆C交于M、且直线OM、求△OMN面积的取值范围．

+

=1（a＞b＞0）与双曲线

2

﹣y=1的离心率互为倒数，且直线x﹣y﹣2=0经过椭圆

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于都县第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】A 【解析】

试题分析：gx2x,gxcosx2xcosx,gxgx,cosxcosx，ygxcosx为奇函数，排除B，D，令x0.1时y0，故选A. 1 考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法. 2． 【答案】 B

【解析】解：模拟执行程序，可得 a=2，n=1

执行循环体，a=，n=3

满足条件n≤2016，执行循环体，a=﹣1，n=5 满足条件n≤2016，执行循环体，a=2，n=7 满足条件n≤2016，执行循环体，a=，n=9 …

由于2015=3×671+2，可得：

n=2015，满足条件n≤2016，执行循环体，a=，n=2017 不满足条件n≤2016，退出循环，输出a的值为． 故选：B．

3． 【答案】 C

【解析】解：对于A，直线m∥平面α，直线n⊂α内，则m与n可能平行，可能异面，故不正确；

对于B，如果平面α内的两条相交直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β，故不正确； 对于C，根据线面垂直的判定定理可得正确； 故选：C．

对于D，如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么可能m⊥β，也可能m和β斜交，；

【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于中档题．

4． 【答案】C

【解析】解：对于A∅⊆{0}，用“∈”不对，

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对于B和C，元素0与集合{0}用“∈”连接，故C正确； 对于D，空集没有任何元素，{0}有一个元素，故不正确．

5． 【答案】B

【解析】解：因为f（x）+f（y）=f（x+y）， 令x=y=0，

则f（0）+f（0）=f（0+0）=f（0）， 所以，f（0）=0； 再令y=﹣x，

则f（x）+f（﹣x）=f（0）=0， 所以，f（﹣x）=﹣f（x）， 所以，函数f（x）为奇函数． 又f（3）=4，

所以，f（﹣3）=﹣f（3）=﹣4， 所以，f（0）+f（﹣3）=﹣4． 故选：B．

【点评】本题考查抽象函数及其应用，突出考查赋值法的运用，判定函数f（x）为奇函数是关键，考查推理与运算求解能力，属于中档题．

6． 【答案】D

1212

【解析】解：三所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有：C3C6C2C4=540种． 故选D．

7． 【答案】C

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由（t+1）x+（t+2）y+t=0得t（x+y+1）+x+2y=0， 由

，得

，即（t+1）x+（t+2）y+t=0过定点M（﹣2，1），

则由图象知A，B两点在直线两侧和在直线上即可， 即[2（t+2）+t][﹣2（t+1）+3（t+2）+t]≤0， 即（3t+4）（2t+4）≤0， 解得﹣2≤t≤﹣，

即实数t的取值范围为是[﹣2，﹣]，

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故选：C．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，属于中档题．

8． 【答案】C 【解析】解：复数故选；C．

【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．

9． 【答案】C

【解析】由f(x)a|x|始终满足f(x)1可知a1．由函数y=

=

=1+2i的虚部为2．

loga|x|是奇函数，排除B；当x(0,1)时，3xloga|x|0，此时y10．【答案】D

loga|x|0，排除A；当x时，y0，排除D，因此选C． 3x【解析】【分析】由题设条件，平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，结合四个选项中的条件，对结论进行证明，找出不能推出结论的即可

【解答】解：A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；

B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面； C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；

D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面； 综上D选项中的命题是错误的 故选D

11．【答案】C

【解析】解：由题，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣2﹣令2x﹣2﹣

2

＞0，整理得x﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，

，

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结合函数的定义域知，f′（x）＞0的解集为（2，+∞）． 故选：C．

12．【答案】 D

【解析】解：由三视图知，几何体是一个组合体， 是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体， 圆柱的底面直径和母线长都是2， 四棱锥的底面是一个边长是2的正方形， 四棱锥的高与圆锥的高相同，高是∴几何体的体积是故选D．

【点评】本题考查由三视图求组合体的体积，考查由三视图还原直观图，本题的三视图比较特殊，不容易看出直观图，需要仔细观察．

=

，

=

，

二、填空题

13．【答案】 【解析】

【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质,属于中档题.幂函数定义与性质应用的三个关注点：（1）若幂函数yxR是偶函数，则必为偶数．当是分数时，一般将其先化为根式，再判断；（2）若幂函

数yxR在0,上单调递增，则0，若在0,上单调递减，则0；（3）在比较幂值

的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 1 14．【答案】

【解析】解：根据点A，B的极坐标分别是（2）、（﹣，故AB的斜率为﹣

），

，故直线AB的方程为 y﹣

=﹣

（x﹣3），即x+3

y﹣12=0，

，

），（3，

），可得A、B的直角坐标分别是（3，

．

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所以O点到直线AB的距离是故答案为：

．

=，

【点评】本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．

15．【答案】[3,6]. 【

解

析

】

16．【答案】 x+4y﹣5=0 ． 【解析】解：设这条弦与椭圆

+

=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2），

由中点坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=2，

22

把P（x1，y1），Q（x2，y2）代入x+4y=36，

得，

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①﹣②，得2（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0， ∴k=

=﹣，

∴这条弦所在的直线的方程y﹣1=﹣（x﹣1）， 即为x+4y﹣5=0，

由（1，1）在椭圆内，则所求直线方程为x+4y﹣5=0． 故答案为：x+4y﹣5=0．

【点评】本题考查椭圆的方程的运用，运用点差法和中点坐标和直线的斜率公式是解题的关键．

17．【答案】222

2【解析】试题分析：根据题意易得：f'x2axb，由fxf'x得：axb2axcb0在R

c4122a0b4ac4aa上恒成立，等价于：{ ，可解得：b24ac4a24aca，则：22222，

0acacc1ab2c4t44令t1,(t0)，y2的最大值为222． 222，故222aact2t2t2222t考点：1.函数与导数的运用;2.恒成立问题;3.基本不等式的运用 18．【答案】

2016 2017222 }的前1008项的和，即S1335(2n1)(2n1)2111112016(1)()(). 20152017335201520172017三、解答题

【解析】根据程序框图可知，其功能是求数列{19．【答案】（本小题满分12分） 解： （Ⅰ）由an1an24222得an1an4，∴an是等差数列，公差为4，首项为4， （3分）

an1an∴an44(n1)4n，由an0得an2n． （6分） （Ⅱ）∵

111(n1n)， （9分）

an1an2n12n2 ∴数列1的前n项和为

an1an第 12 页，共 18 页

11(21)(32)2220．【答案】

11(n1n)(n11)． （12分） 22【解析】证明：（1）连AC1，设AC1与A1C相交于点O，连DO，则O为AC1中点， ∵D为AB的中点， ∴DO∥BC1，

∵BC1⊄平面A1CD，DO⊂平面A1CD， ∴BC1∥平面A1CD．

解：∵底面△ABC是边长为2等边三角形，D为AB的中点， 四边形BCC1B1是正方形，且A1D=∴CD⊥AB，CD=∵

，∴

=

222

∴AD+AA1=A1D，∴AA1⊥AB，

，

，AD=1，

，

∴CD⊥DA1，又DA1∩AB=D，

∴CD⊥平面ABB1A1，∵BB1⊂平面ABB1A1，∴BB1⊥CD， ∵矩形BCC1B1，∴BB1⊥BC， ∵BC∩CD=C∴BB1⊥平面ABC， ∵底面△ABC是等边三角形， ∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．

以C为原点，CB为x轴，CC1为y轴，过C作平面CBB1C1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， B（2，0，0），A（1，0，

=（，﹣2，﹣

），D（，0，

），A1（1，2，

），

），平面CBB1C1的法向量=（0，0，1），

设直线A1D与平面CBB1C1所成角为θ， 则sinθ=

=

=

．

．

∴直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值为

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21．【答案】（1） f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；（2） 函数f（x）在0,无零点，则a的最小值为2﹣4ln2；（3）a的范围是,21 上23. e1【解析】试题分析：（Ⅰ）把a=1代入到f（x）中求出f′（x），令f′（x）＞0求出x的范围即为函数的增区间，令f′（x）＜0求出x的范围即为函数的减区间； （Ⅱ）f（x）＜0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，

11）上无零点，只需要对x∈（0，）时f（x）＞220恒成立，列出不等式解出a大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a的最小值；

试题解析：

（1）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，则f′（x）=1﹣由f′（x）＞0，得x＞2； 由f′（x）＜0，得0＜x＜2．

故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）； （2）因为f（x）＜0在区间故要使函数

上恒成立不可能，

上无零点，

，

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只要对任意的，f（x）＞0恒成立，即对恒成立．

令再令则

从而，l（x）＞0，于是l（x）在故要使

，则

，

，故m（x）在

上为增函数，所以

，

上为减函数，于是

，

，

恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），

综上，若函数f（x）在0,1 上无零点，则a的最小值为2﹣4ln2； 2（3）g′（x）=e1﹣x﹣xe1﹣x=（1﹣x）e1﹣x，

当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增； 当x∈（1，e]时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减． 又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e•e1﹣e＞0， 所以，函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]． 当a=2时，不合题意；

当a≠2时，f′（x）=当x=

时，f′（x）=0．

，即

，x∈（0，e]

由题意得，f（x）在（0，e]上不单调，故①

此时，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下： x f′（x） f（x） （0，﹣ ↘ ） 0 最小值 （+ ↗ ，e] 又因为，当x→0时，2﹣a＞0，f（x）→+∞，

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，

所以，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2）， 使得f（xi）=g（x0）成立，当且仅当a满足下列条件：

即

令h（a）=则h

，

，令h′（a）=0，得a=0或a=2，

故当a∈（﹣∞，0）时，h′（a）＞0，函数h（a）单调递增； 当

所以，对任意即②对任意由③式解得：

时，h′（a）＜0，函数h（a）单调递减．

，有h（a）≤h（0）=0， 恒成立． ．④

综合①④可知，当a的范围是,23 时，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的e1xi（i=1，2），使f（xi）=g（x0）成立． 22．【答案】

【解析】解：若p为真，则△=4﹣4m＜0，即m＞1 … 若q为真，则

，即m≤﹣2 …

∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，则p，q一真一假 若p真q假，则若p假q真，则

，解得：m＞1 … ，解得：m≤﹣2 …

综上所述：m≤﹣2，或m＞1 …

23．【答案】

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【解析】解：（Ⅰ）由三视图知：几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，且圆锥与圆柱的底面半径为2，母线长分别为2

、4，

其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和． S圆锥侧=×2π×2×2S圆柱底=π×22=4π． ∴几何体的表面积S=20π+4则AB=

=

π；

=2

，

．

（Ⅱ）沿A点与B点所在母线剪开圆柱侧面，如图： ∴以从A点到B点在侧面上的最短路径的长为2

=4

π；

S圆柱侧=2π×2×4=16π；

24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵双曲线的离心率为又∵直线x﹣y﹣2=0经过椭圆的右顶点， ∴右顶点为（2，0），即a=2，c=∴椭圆方程为：

．…

，b=1，…

，所以椭圆的离心率

，

（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：y=kx+m•（k≠0，m≠0），M（x1，y1）、N（x2，y2） 联立

222

消去y并整理得：（1+4k）x+8kmx+4（m﹣1）=0…

则于是

，

…

又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列． ∴

由m≠0得：

…

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2222222

又由△=64km﹣16（1+4k）（m﹣1）=16（4k﹣m+1）＞0，得：0＜m＜2 2

显然m≠1（否则：x1x2=0，则x1，x2中至少有一个为0，

直线OM、ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾） … 设原点O到直线的距离为d，则

∴故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1）…

【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，弦长公式以及三角形的面积的表式，考查转化思想以及计算能力．

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