抽象函数奇偶性对称性周期性总结__知识点[1]

 蚌埠翰林院培训学校 1、抽象函数的对称性 性质1 若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x) 性质2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x) 易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例。 2、复合函数的对称性 性质3复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于直线x＝（b－a）/2轴对称 性质4、复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点（（b－a）/2，0）中心对称 推论1、 复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称 推论2、 复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称 3、函数的对称性与周期性 性质5 若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b| 性质6、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b| 性质7、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b| 例1、 函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间（D ） A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称 C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称 解：据复合函数的对称性知函数y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)之间关于 点（（6－4）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D。（原卷错选为C） 练习、（河南省郑州市2009年高中毕业班第一次质量预测数学（理））定义在R上的函数f(x)的反函数为f1(x)，且对于任意xR，都有f(x)f(x)3，则f1(x1)f1(4x)（ ） C．2 D．2x4 A．0 答案：A B．2 蚌埠翰林院培训学校 抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论 一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义： 对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(xT)f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（kZ,k0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期。 分段函数的周期：设yf(x)是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:把yf(x)沿x轴平移KTK(ba)个单位即按向量yf(x),xa,b,Tba。a(kT,0)平移，即得yf(x)在其他周期的图像：yf(xkT),xkTa,kTb。 f(x) xa,bf(x) f(xkT) xkTa,kTb 2、奇偶函数： 设yf(x),xa,b或xb,aa,b ①若f(x)f(x),则称yf(x)为奇函数； ②若f(x)f(x)则称yf(x)为偶函数。 分段函数的奇偶性 3、函数的对称性： （1）中心对称即点对称： ①点A(x,y)与B(2ax,2by)关于点(a,b)对称； ②点A(ax,by)与B(ax,by)关于(a,b)对称； ③函数yf(x)与2byf(2ax)关于点(a,b)成中心对称； ④函数byf(ax)与byf(ax)关于点(a,b)成中心对称； ⑤函数F（x,y)0与F(2ax,2by)0关于点(a,b)成中心对称。 （2）轴对称：对称轴方程为：AxByC0。 蚌埠翰林院培训学校 ①点A(x,y)与B(x/,y/)B(x直线AxByC0成轴对称； ②函数yf(x)与y2A(AxByC)AB22,y2B(AxByC)AB22)关于2B(AxByC)AB22f(x2A(AxByC)AB22)关于直线 AxByC0成轴对称。 ③F(x,y)0与F(x2A(AxByC)AB22,y2B(AxByC)AB22)0关于直线 AxByC0成轴对称。 二、函数对称性的几个重要结论 （一）函数yf(x)图象本身的对称性（自身对称） 若f(xa)f(xb)，则f(x)具有周期性；若f(ax)f(bx)，则“内同表示周期性，内反表示对称性”。 f(x)具有对称性： 1、f(ax)f(bx) yf(x)图象关于直线x(ax)(bx)2ab2对称 推论1：f(ax)f(ax) yf(x)的图象关于直线xa对称 推论2、f(x)f(2ax) yf(x)的图象关于直线xa对称 推论3、f(x)f(2ax) yf(x)的图象关于直线xa对称 2、f(ax)f(bx)2c yf(x)的图象关于点(ab2,c)对称 推论1、f(ax)f(ax)2b yf(x)的图象关于点(a,b)对称 推论2、f(x)f(2ax)2b yf(x)的图象关于点(a,b)对称 推论3、f(x)f(2ax)2b yf(x)的图象关于点(a,b)对称 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、偶函数yf(x)与yf(x)图象关于Y轴对称 2、奇函数yf(x)与yf(x)图象关于原点对称函数 蚌埠翰林院培训学校 3、函数yf(x)与yf(x)图象关于X轴对称 4、互为反函数yf(x)与函数yf1(x)图象关于直线yx对称 5.函数yf(ax)与yf(bx)图象关于直线xba2对称 推论1:函数yf(ax)与yf(ax)图象关于直线x0对称 推论2:函数yf(x)与yf(2ax) 图象关于直线xa对称 推论3:函数yf(x)与yf(2ax)图象关于直线xa对称 （三）抽象函数的对称性与周期性 1、抽象函数的对称性 性质1 若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x) 性质2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x) 易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例。 2、复合函数的奇偶性 定义1、 若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y＝f[g(x)]为偶函数。 定义2、 若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y＝f[g(x)]为奇函数。 说明： （1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。 （2）两个特例：y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x) （3）y＝f(x＋a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称（或关于点（a，0）中心对称） 3、复合函数的对称性 性质3复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于直线x＝（b－a）/2轴对称 蚌埠翰林院培训学校 性质4、复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点（（b－a）/2，0）中心对称 推论1、 复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称 推论2、 复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称 4、函数的周期性 若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。 ①f(x＋a)＝f(x－a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x) 5、函数的对称性与周期性 性质5 若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b| 性质6、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b| 性质7、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b| 6、函数对称性的应用 （1）若yf(x)关于点（h,k)对称，则xx/2h,yy/2k,即 f(x)f(x)f(x)f(2hx)2k/ f(x1)f(x2)f(xn)f(2hxn)f(2hxn1)f(2hx1)2nk （2）例题 1、f(x)412x1xaaxx关于点（a11，）对称：f(x)f(1x)1; 22f(x)2x1关于（0，1）对称：f(x)f(x)2 111，）对称：f（x)f()1 22xf(x)1x1(R,x0)关于（ 2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称：f(x)f(x)0。 3、若f(x)f(2ax)或f(ax)f(ax),则yf(x)的图像关于直线xa对称。设f(x)0有n个不同的实数根，则 . x1x2xnx1(2ax1)x2(2ax2)xn(2axn)na22(当n2k1时，必有x12ax1,x1a) 蚌埠翰林院培训学校 （四）常用函数的对称性 三、函数周期性的几个重要结论 1、f(xT)f(x)( T0) yf(x)的周期为T，kT(kZ)也是函数的周期 2、f(xa)f(xb) yf(x)的周期为Tba 3、f(xa)f(x) yf(x)的周期为T2a 4、f(xa)1f(x)1f(x) yf(x)的周期为T2a 5、f(xa) yf(x)的周期为T2a 6、f(xa)1f(x)1f(x)1 yf(x)的周期为T3a 7、 f(xa)f(x)1 yf(x)的周期为T2a 8、f(xa)1f(x)1f(x) yf(x)的周期为T4a 9、f(x2a)f(xa)f(x) yf(x)的周期为T6a 10、若p0,f(px)f(pxp2) , 则Tp2. 11、yf(x)有两条对称轴xa和xb (ba)yf(x) 周期T2(ba) 推论：偶函数yf(x)满足f(ax)f(ax)yf(x) 周期T2a 12、yf(x)有两个对称中心(a,0)和(b,0) (ba) yf(x) 周期T2(ba) 蚌埠翰林院培训学校 推论：奇函数yf(x)满足f(ax)f(ax)yf(x) 周期T4a 13、yf(x)有一条对称轴xa和一个对称中心(b,0)(ba)f(x)的T4(ba) 四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型 灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。 1.求函数值 例1.（1996年高考题）设f(x)是(,)上的奇函数，f(2x)f(x),当0x1时，f(x)x，则f(7.5)等于（-0.5） （A）0.5; （B）-0.5; （C）1.5; （D）-1.5. 例2．（1989年北京市中学生数学竞赛题）已知f(x)是定义在实数集上的函数，且f(x2)1f(x)1f(x)，f(1)23,求f(1989)的值.f(1989)32。 2、比较函数值大小 1例3.若f(x)(xR)是以2为周期的偶函数，当x0,1时，f(x)x1998,试比较f(9819)、f(10117)、f(10415)的大小. 1解：f(x)(xR)是以2为周期的偶函数，又f(x)x1998在0,1上是增函数，且0117161914151，f(117)f(1619)f(1415),即f(10117f(9819)f(10415). 3、求函数解析式 例4.（1989年高考题）设f(x)是定义在区间(,)上且以2为周期的函数，对kZ，用Ik表示区间(2k1,2k1),已知当xI0时，f(x)x2.求f(x)在Ik上的解析式. 解：设x(2k1,2k1),2k1x2k11x2k1 xI0时，有f(x)x,由1x2k1得f(x2k)(x2k)22 f(x)是以2 为周期的函数，f(x2k)f(x),f(x)(x2k)2. 蚌埠翰林院培训学校 例5．设f(x)是定义在(,)上以2为周期的周期函数，且f(x)是偶函数，在区间2,3上，f(x)2(x3)24.求x1,2时，f(x)的解析式. 解：当x3,2，即x2,3， f(x)f(x)2(x3)42(x3)4 22又f(x)是以2为周期的周期函数，于是当x1,2，即3x42时， 有f(x)f(x4)f(x)2(x4)342(x1)4(1x2).22 f(x)2(x1)4(1x2). 24、判断函数奇偶性 例6.已知f(x)的周期为4，且等式f(2x)f(2x)对任意xR均成立， 判断函数f(x)的奇偶性. 解：由f(x)的周期为4，得f(x)f(4x)，由f(2x)f(2x)得 f(x)f(4x)，f(x)f(x),故f(x)为偶函数. 5、确定函数图象与x轴交点的个数 例7.设函数f(x)对任意实数x满足f(2x)f(2x)，f(7x) f(7x)且f(0)0,判断函数f(x)图象在区间30,30上与x轴至少有多少个交点. 解：由题设知函数f(x)图象关于直线x2和x7对称，又由函数的性质得 f(x)是以10为周期的函数.在一个周期区间0,10上， f(0)0,f(4)f(22)f(22)f(0)0且f(x)不能恒为零, 故f(x)图象与x轴至少有2个交点. 而区间30,30有6个周期，故在闭区间30,30上f(x)图象与x轴至少有13个交点. 6、在数列中的应用 蚌埠翰林院培训学校 例8.在数列an中，a13,an算a1a5a9a1997. 1an11an1(n2)，求数列的通项公式，并计分析：此题的思路与例2思路类似. 解：令a1tg,则a241a11a11tg1tgtg(4) a31a21a21tg(1tg()tg(2)44)1an1an1tg(n1),于是antg(n1)41an14 不难用归纳法证明数列的通项为：antg(4n4)，且以4为周期. 于是有1，5，9 „1997是以4为公差的等差数列， a1a5a9a1997，由19971(n1)4得总项数为500项， 3. a1a5a9a1997500a15007、在二项式中的应用 例9.今天是星期三，试求今天后的第9292天是星期几？ 分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可. 0921919029191C9291C9291C92911 解：9292(911)92C9292C92(7131)92C92(713)092C92(713)191C92(713)9029192 (713)1因为展开式中前92项中均有7这个因子，最后一项为1，即为余数， 故9292天为星期四. 8、复数中的应用 例10.（上海市1994年高考题）设zzn1232i(i是虚数单位)，则满足等式z,且大于1的正整数n中最小的是 蚌埠翰林院培训学校 （A） 3 ； （B）4 ； （C）6 ； （D）7. 分析：运用z1232i方幂的周期性求值即可. 解：znz,z(zn11)0zn11， z1,n1必须是3的倍数,即n13k(kN),n3k1(kN).k1时,n最小,(n)min4.故选择(B)3 9、解“立几”题 例11.ABCD—A1B1C1D1是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是AA1A1D1,黑蚁爬行的路线是ABBB1.它们都遵循如下规则：所爬行的第i2段所在直线与第i段所在直线必须是异面直线（其中iN).设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是 （A）1； （B）2；（C）3 ； （D）0. 解：依条件列出白蚁的路线AA1A1D1D1C1C1CCB BAAA1,立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A点.可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期. 1990=63314，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四段后黑蚁在D1点，白蚁在C点，故所求距离是2. 例题与应用 例1：f(x) 是R上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x∈[0，2]时f(x)=x，求f(2007) 的值 例2：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 。故f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=2 例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当x2,0时，f(x)=－2x+1，则当x4,6时求f(x)的解析式 例4：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=1f(x)，f(999+x)=f(999 蚌埠翰林院培训学校 －x)， 试判断函数f(x)的奇偶性. 例5：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当x2,0时，f(x)是减函数，求证当x4,6时f(x)为增函数 例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a的值. 例7：已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0， 求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？ 解：依题意f(x)关于x=2，x=7对称，类比命题2（2）可知f(x)的一个周期是10 故f(x+10)=f(x) ∴f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0 即在区间(0，10]上，方程f(x)=0至少两个根 又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根， 因此方程f(x)=0在区间[－1000，1000]上至少有1+2200010=401个根. 例1、 函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间（D ） A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称 C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称 解：据复合函数的对称性知函数y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)之间关于 点（（6－4）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D。（原卷错选为C） 例2、 设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。（2001年理工类第22题） 例3、 设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时f(x)＝x，则f(7.5)等于（-0.5）（1996年理工类第15题） 例4、 设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（C ） A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数 C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数 六、巩固练习 1、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝ f(6－x)的图象（ ）。 A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称 C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称 2、设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时， f(x)＝x，则f(7.5)=（ ）。 A．0.5 B．－0.5 C．1.5 D．－1.5 蚌埠翰林院培训学校 3、设f(x)是定义在（－∞，＋∞）上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)， f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（ ）。 A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数 C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数 4、f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。 参考答案：D，B，C，T＝2。 5、在数列求x100=-1． ｛xn｝中，已知x1x21，xn2xn1xn(nN*)，