抽象函数周期性对称性相关定理全总结

抽象函数周期与对称轴的相关结论

一、教学内容 抽象函数的周期与对称轴

二、教学重、难点 重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。

难点：结论的推导证明，利用结论解决问题

三、具体内容

1. 若f(x)f(xT)则f(x)的周期为T。

2. 若f(xa)f(xb)则f(x)的周期为Tba。 证：令xxa ∴ f(x)f(xba)

3. 若f(xa)f(xb)则f(x)的周期T2ba。 证：令xxa ∴ f(x)f(xba) ①

令xxb ∴ f(xab)f(x) ② 由①②得： fx(ab)fx(ba) ∴fx(ab)fx(ba) ∴ T2ba 4. 若f(ax)f(bx)则f(x)图象的对称轴为x证：要证原结论成立只需证f(ab。 2ababx)f(x) 22baabab令xx代入f(ax)f(bx) 则f(x)f(x)

222ab,0为对称中心。 25. 若f(ax)f(bx)则f(x)的图象，以证：方法一：要证原结论成立只需证f(令xababx)f(x) 22bax代入f(ax)f(bx) 2abab则f(x)f(x)

22方法二：设yf(x)它的图象为C

ab'(abx0,y0) P(x0,y0)C 则P关于点,0的对称点P‘2f(abx0)fa(bx0)fb(bx0)f(x0)

'∵ f(x0)y0 ∴ f(abx0)y0 ∴ PC

【几个重要的结论】

录入：李俊杰 1

（一）函数图象本身的对称性（自身对称）

1、函数yf(x)满足f(Tx)f(Tx)（T为常数）的充要条件 是yf(x)的图象关于直线xT对称。

2、函数yf(x)满足f(x)f(2Tx)（T为常数）的充要条件 是yf(x)的图象关于直线xT对称。

3、函数yf(x)满足f(ax)f(bx)的充要条件 是yf(x)图象关于直线x(ax)(bx)ab对称。 224、如果函数yf(x)满足f(T1x)f(T1x)且f(T2x)f(T2x)，（T1和T2是不相等的常数），则yf(x)是以为2(T2T1)为周期的周期函数。

5、如果奇函数yf(x)满足f(Tx)f(Tx)（T0）， 则函数yf(x)是以4T为周期的周期性函数。

6、如果偶函数yf(x)满足f(Tx)f(Tx)（T0）， 则函数yf(x)是以2T为周期的周期性函数。

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）

1、曲线yf(x)与yf(x)关于X轴对称。 2、曲线yf(x)与yf(x)关于Y轴对称。

3、曲线yf(x)与yf(2ax)关于直线xa对称。 4、曲线f(x,y)0关于直线xb对称曲线为f(x,2by)0。

5、曲线f(x,y)0关于直线xyc0对称曲线为f(yc,xc)0。 6、曲线f(x,y)0关于直线xyc0对称曲线为f(yc,xc)0。 7、曲线f(x,y)0关于点P(a,b)对称曲线为f(2ax,2by)0。

注：一个结论：设yf(x)，xR都有f(x)f(2ax)且f(x)0有k个实根(k2)，则所有实根之和为ka

【典型例题】

【例1】 对于yf(x)，xR有下列命题。

录入：李俊杰 2

（1）在同一坐标系下，函数yf(1x)与yf(1x)的图象关于直线x1对称。 （2）若f(1x)f(1x)且f(2x)f(2x)均成立，则f(x)为偶函数。 （3）若f(x1)f(x1)恒成立，则yf(x)为周期函数。

（4）若f(x)为单调增函数，则yf(a)(a0且a1)也为单调增函数，其中正确的为 解：（2）（3）

【例2】若函数f(x)(xa) xR有f(1x)f(1x)求f(2)f(2)。

解： xR，f(1x)f(1x)知f(x)的图象关于(1,0)对称而f(x)(xa)的对称中心P(a,0)

∴ a1∴ f(x)(x1)则f(2)f(2)1(3)26

【例3】设f(x)是定义在R上的函数，xR均有f(x)f(x2)0，当1x1时，

3333xf(x)2x1，求当1x3时，f(x)的解析式。

解：由xR有f(x)f(x2)得T4

设x(1,3]则(x2)(1,1] ， f(x2)f(x24)f(x2)f(x) ∴f(x)f(x2)[2(x2)1]2x5，∴ 1x3时f(x)2x5

【例4】已知f(x)是定义在R上的函数且满足f(x)f(x1)1，当x[0,1]时有f(x)x则

（1）f(x)是周期函数且周期为2，（2）当x[1,2]时，f(x)2xx （3）f(2004,5)解：（1）（2）（3）

【例5】已知f(x)满足f(x2)f(x2)，f(4x)f(4x)，当6x2时f(x)xbxc且f(4)13，若mf()，nf()，pf(11)求m、n、p大小关系？

解：由已知得T4，对称轴x4 ∴ x4也为一条对称轴

2223其中正确的是？ 4b3c2b4c644 ∴b8 由f(4)13 ∴ 13 ∴ c3 2483 ∴ mf()，nf()，pf(11)f(3) ∴ nmp

32 ∴ 【例6】 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x[0,时，f(x)sinx求f()的值。

2]53录入：李俊杰 3

解f()f()f()f(5323233)f()sin 3332【例7】 设yf(x)定义在R上，m,nR有f(mn)f(m)f(n)且当x0时，0f(x)1

（1）求证：f0)1且当x0时， f(x)1 （2）求证：f(x)在R上递减。 解：（1）在f(mn)f(m)f(n)中，令m1，n0得f(1)f(1)f(0)

∵ 0f(1)1 ∴ f(0)1 设x0，则x0令mx，nx代入条件式

有f(0)f(x)f(x)而f(0)1 ∴ f(x)11 f(x)（2）设x1x2则x2x10 ∴ 0f(x2x1)1

令mx1，mnx2则nx2x1代入条件式得f(x2)f(x1)f(x2x1)

即0【模拟试题】 一、选择题

1. 已知f(x)满足f(x3)f(x)，xR且f(x)是奇函数，若f(1)A. 2 B. f(x2)1 ∴f(x2)f(x1) ∴ f(x)在R上递减 f(x1)2则f(2000)（ ）

2 C. 32 D. 32

2. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x)对任何实数均成立，当0x2时，

f(x)x，当398x400时，f(x)（ ）

A. x400 B. x398x398 C. 400x D. 398x 3. 若函数f(x)3sin(x)，xR都有f(A. 0 B. 3 C. 3 D. 3或3 4. 函数ycos(2x)是（ ） A. 周期为2的奇函数 C. 周期为的奇函数

B. 周期为的偶函数 D. 周期为4的奇函数

6x)f(x)则f()等于（ ） 66325. f(x)2sin(2x)的图象关于y轴对称的充要条件是（ ） A. 2k2 B. 2k C. D. k

6. 如果f(x)f(x)且f(x)f(x)则f(x)可以是（ ）

录入：李俊杰 4

A. sin2x B. cosx C. sinx D. sinx 7. ysin(x)3cos(x)为偶函数的充要条件是（ ） A. 2k3 B. k6 C. 2k6 D. k6

8. 设f(x)是R上的奇函数，f(x2)f(x)当0x1时，f(x)x，则f(7.5)（ ） A. 0.5 B. 0.5 C. 1.5 D. 1.5

9. 设f(x)xbxc，xt有f(2t)f(2t)那么（ ）

A. f(2)f(1)f(4) B. f(1)f(2)f(4) C. f(2)f(4)f(1) D. f(4)f(2)f(1) 10. yf(x)定义在R上，则yf(x1)与yf(1x)的图象关于（ ） A. y0对称 B. x0对称 C. y1对称 D. x1对称 二、 填空题

1. f(x)是R上的奇函数，且f(x2)f(x)，f()f(2)f(3)f(2003) 。 2. 函数ysin(2x23)的图象的对称轴中最靠近y轴的是 。

3. f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)xx2则当x0时f(x) 。 4. 偶函数f(x)的定义域为R，且在(,0)上是增函数，则

3322443322（3）f()f(aa1) （4）f()f(aa1)中正确的是 。

44（1）f()f(aa1) （2）f()f(aa1) 三. 解答题

1. 设f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x1对称,x1、x2[0,]都f(x1x2)f(x1)f(x2)且f(1)a0。 （1）求f()、f() （2）证明：f(x)是周期函数

2. 如果函数yf(x)的图象关于xa和xb(ab)都对称，证明这个函数满足f[2(ab)x]f(x)。 3. 已知f(x)xbxc对任意实数t都有f(1t)f(1t)，比较f()与f(2)的大小。 4. 定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有f(1x)f(2x)成立，若方程f(x)0仅有

212121412101个不同实根，求所有实根之和。

【课后练习】

1、定义在实数集上的奇函数f(x)恒满足f(1x)f(1x)，且x(1,0)时, f(x)2x1,则5 5 录入：李俊杰

f(log220)________。

2、已知函数yf(x)满足f(x)f(2x)0，则yf(x)图象关于__________对称。 3、函数yf(x1)与函数yf(1x)的图象关于关于__________对称。

4、设函数yf(x)的定义域为R，且满足f(x1)f(1x)，则yf(x)的图象关于__________对称。

5、设函数yf(x)的定义域为R，且满足f(x1)f(1x)，则yf(x1)的图象关于__________对称。yf(x)图象关于__________对称。

6、设yf(x)的定义域为R，且对任意xR，有f(12x)f(2x)，则yf(2x)图象关于__________对称，yf(x)关于__________对称。

7、已知函数yf(x)对一切实数x满足f(2x)f(4x)，且方程f(x)0有5个实根，则这5个实根之和为（ ）

A、5 B、10 C、15 D、18

8、设函数yf(x)的定义域为R，则下列命题中，①若yf(x)是偶函数，则yf(x2)图象关于y轴对称；②若yf(x2)是偶函数，则yf(x)图象关于直线x2对称；③若

f(x2)f(2x)，则函数yf(x)图象关于直线x2对称；④yf(x2)与yf(2x)图象

关于直线x2对称，其中正确命题序号为_______。

9、函数yf(x)定义域为R，且恒满足f(x2)f(2x)和f(6x)f(6x)，当2x6时，

f(x)21x，求f(x)解析式。 210、已知偶函数yf(x)定义域为R，且恒满足f(x2)f(2x)，若方程f(x)0在0,4上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间8,10中的根。

【模拟试题答案】

一．1. B 2. C 3. D 4. C 5. C 6. D 7. B 8. B 9. A 10.B 二．1. 0 2. x12 3. xx2 4. (2)

三. 1. 解：（1）∵ x1,x2[0,]都有f(x1x2)f(x1)f(x2)

12xx111112∴ f(x)f()f()0 x[0,1] ∵f(1)f()f()f()[f()]

2222222录入：李俊杰 6

1111112∵ f()a2，f()f()[f()] ∴ f()a4

242444（2）由已知f(x)关于x1对称 ∴ f(x)f(11x)即f(x)f(2x)，xR 又由f(x)是偶函数知f(x)f(x)，xR

∴ f(x)f(2x)，xR将上式中x以x代换得f(x)f(x2) ∴ f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期

2. 证：∵ f(x)关于xa和xb对称 ∴ f(x)f(2ax)， f(x)f(2bx) ∴ f(2ax)f(2bx)令2axA，则2ax2(ab)A ∴ f[2(ab)A]f(A)即f[2(ab)x]f(x)

3. 解：由f(1t)f(1t)知抛物线f(x)xbxc的对称轴是1 ∴ f()f()而2 根据f(x)在(1,)上是增函数得f(2)f()即f(2)f() 4. 解：设u2x即x2u ∴ f(u)f(3u) ∴ xR有f(x)f(3x) ∴ 所有实根之和为101【课后练习答案】

21112233 232123303 22T1：1 T2：(1,0) T3：x1 T4：y轴即x0 T5：①y轴②x1 T6：①x

11②x T7：C T8：②④ 421(x8k)　　　　　(8k2x8k2,kZ)2T9：f(x)

1(x8k)2　　　(8k2x8k6,kZ)2T10：方程的根为6、4、2、0、2、4、6、8、10共9个根。

录入：李俊杰 7