自控大作业-三阶系统

图1-2 三阶系统

11061106T11106Cf1，K2K3KK1K2K3，K12，图中，，，3Ri310010WR,T21106Cf2，T31106Cf3。

实验一：求取系统的临界开环比例系数KC

实验二：系统的开环比例系数K对稳定性的影响。

在对此问题的学习上，我们将分别用计算理论值、matlab编程仿真、matlab中simulink仿真、multism仿真四种方法进行研究。

方法一：理论值计算

实验一：求取系统的临界开环比例系数KC

根据三阶系统的方框图和模拟电路，将Cf1=Cf2=Cf3=0.47u；Ri3=1M代入，可以得到开环传递函数为：

GO(s)K1K2K3T1s1T2s1T3s12K21 0.47s10.47s10.47s1由此可求出系统的闭环传递函数为

K1K2K3Ts1T2s1T3s1GC(s)1K1K2K31T1s1T2s1T3s12K21 0.47s10.47s10.47s1

2K2110.47s10.47s10.47s12K2 (0.47s1)32K2

为求取临界开环比例系数，根据劳斯判据可以得到

0.473s330.472s230.47s12K20.The array of coefficients is: s3 0.473 30.47 s2 30.472 1+2K2 s 2K28 s0 2K28由劳斯判据可知，当第一列有零的时候说明系统不稳定，存在虚轴或复平面右半平面的点；当有全零行的时候，有右半平面和虚轴上的点。同时，第一列中如果位于零上面的系数符号与位于零下面的系数符号相同，则表明有一对虚根存在。

故令2K2-8=0，可得K2=4。

将K2=4代入特征方程求解进行检验，可以得出s1=-6.3830,s2=+j3.6852.s3=- j3.6852，故满足要求。

所以通过理论值计算，Kc=2K2=8。

利用手工作图进行检验，此图见报告。由此时特征根的分布情况看，s2,s3为主导极点，故可以将此三阶系统简化为二阶系统进行手工作图。

实验二：系统的开环比例系数K对稳定性的影响。

手工作图的理论依据：

由于此系统为三阶系统，根据我们所学，对于第一种情况要先根据主导极点的概念，将系统简化为二阶系统，再进行手工作图；对于第二种情况，由于此三阶系统为不稳定系统，而二阶系统是绝对稳定的系统，故无法简化，只能够运用拉式反变换求出时域表达式，通过描点发进行手工作图。 手工图见纸质报告。

方法二：利用matlab编程仿真研究

实验一：求取系统的临界开环比例系数KC

1 、利用求取系统的根轨迹图。 程序： num=[2];

den=conv(conv([0.47 1],[0.47 1]),[0.47 1]); c=tf(num,den); rlocus(c)

在图中选取虚轴上的焦点，可以得到K2=4，s1=j3.69，s2=-j3.69。可以看出与理论值计算方法相同。

2 、将Kc=2K2=8代入开环传递函数中验证 程序： num=[8];

den=[0.47^3 3*(0.47^2) 3*0.47 9]; c=tf(num,den); step(c)

由上图可以看出，当Kc为临界开环比例系数的时候系统的阶跃响应成等幅振荡，满足

要求。

实验二：系统的开环比例系数K对稳定性的影响。

画出当K=0.5Kc时的系统响应曲线。 程序： t=0:0.1:100; num=[4];

den=[0.47^3 3*0.47^2 3*0.47 5]; c=tf(num,den); step(c,t)

当K=1.25Kc时的系统响应曲线时。 程序： t=0:0.01:10; K=10

G1=tf([1],[0.47 1]); G2=tf([K],[0.47 1]); sys1=series(G1,G2); sys2=series(sys1,G1); sys=feedback(sys2,1); figure(1) step(sys,t); hold on

总结：由以上两种情况可以看出，三阶系统是相对稳定的。 当Kc小于临界开环比例系数时，系统绝对稳定； 当Kc等于临界开环比例系数时，系统成等幅振荡； 当Kc大于临界开环比例系数时，系统不稳定。

为了能够更好地理解Kc对系统性能的影响，我们又对两种情况进行了学习，与前面两组进行对比。

（ 1 ）K=0.1Kc，K=0.3Kc，K=0.5Kc，K=0.7Kc时的系统响应曲线。 程序： t=0:0.01:20;

for K=[0.8 2.4 4 5.6] G1=tf([1],[0.47 1]); G2=tf([K],[0.47 1]); sys1=series(G1,G2); sys2=series(sys1,G1); sys=feedback(sys2,1); step(sys,t); hold on end

由上图我们可以得到以下结论：

1 当Kc小于临界开环比例系数时，系统绝对稳定；

2 随着Kc的逐渐增大，系统的上升时间越短，稳态误差越小，超调量越大，调节时间越长。

（ 2 ）K=1.25Kc，K=2Kc，K=3Kc时的系统响应曲线。 程序： t=0:0.01:10; for K=[9 10 12]

G1=tf([1],[0.47 1]);G2=tf([K],[0.47 1]); sys1=series(G1,G2); sys2=series(sys1,G1); sys=feedback(sys2,1); step(sys,t);hold on;end

由上图我们可以得出以下结论：

1当Kc大于临界开环比例系数时，系统不稳定。 2 当Kc逐渐增大，系统的振荡幅度越来越大。

方法三：利用Simulink进行验证。

实验一：验证临界开环比例系数Kc=8时为等幅振荡。 电路图如下：

仿真结果

实验二：

画出当K=0.5Kc时的系统响应曲线。

画出当K=1.25Kc时的系统响应曲线。

方法四：利用multism进行仿真研究。