2018年通州区高三数学(理)一模考试试题

数学（理）试卷

2018年4月

本试卷分第一部分和第二部分两部分，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项. 1．已知全集UR，集合Ax|x10，B0,1,2，那么ðUAB等于

A．0,1,2 B．1,2 C．0,1 D．2

xy0,2．已知x，y满足x1,那么z2xy的最小值是 xy2,A. 1 B. 0 C. 1 D. 2

3．执行如右图所示的程序框图，若输出m的值是25， 则输入k的值可以是

A．4 B．6 C．8 D．10

开始 输入k n1,m1 nk 否 是 nn2 输出m 结束 1mmn 114．设alog1，blog3，c32，那么

236A．c>b>a B．c>a>b C．a>b>c D．a>c>b 5．“xR,x2bx10成立”是“b0,1”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知抛物线y8x的准线与圆心为C的圆xy2x80交于A，B两点，那么CACB等于

A．2 B．22 C．25 D．42

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7．已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，且它的正视图如图所示， 则该四棱锥侧视图的面积是

A．42 B．4 C．22 D．2

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8．描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺. 起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底. 描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹. 现甲、乙两位工匠要完成A，B，C三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹. 每道工序所需的时间（单位：小时）如下： 原料 时间 工序 上漆 描绘花纹 原料A 9 15 原料B 16 8 原料C 10 14 则完成这三件原料的描金工作最少需要

A．43小时 B．46小时 C．47小时 D．49小时

第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上． 9．已知复数1i1ai是纯虚数，那么实数a_______. 10．若直线l的参数方程为x1t,(t为参数)，则点P4,0到直线l的距离是_______.

y1ta8_______；记数列an2n a611．已知数列an是等比数列，a34，a632，那么的前n项和为Sn，则Sn_______.

12．2位教师和4名学生站成一排合影，要求2位教师站在中间，学生甲不站在两边，则不同排法的种数为_______（结果用数字表示）.

13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B60，b4， 下列判断：

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①若c3，则角C有两个解；

②若BCBA12，则AC边上的高为33； ③ac不可能是9.

其中判断正确的序号是_______.

14．设函数f(x)x2acosx，aR，非空集合Mx|f(x)0,xR. ①M中所有元素之和为_______；

②若集合Nx|ffx0,xR，且MN，则a的值是_______.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本题满分13分）

已知函数fxsinxx2x． cos3cos222（Ⅰ）求fx的最小正周期；

（Ⅱ）求fx在区间,0上的最大值和最小值．

16．（本题满分13分）

作为北京副中心，通州区的建设不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点，也肩负着医治北京市“大城市病”的历史重任，因此，通州区的发展备受瞩目. 2017年12月25日发布的《北京市通州区统计年鉴（2017）》显示：2016年通州区全区完成全社会固定资产投资939.9 亿元，比上年增长17.4％，下面给出的是通州区2011-2016年全社会固定资产投资及增长率，如图一.

图一（亿元）1000900800700600500400300200100020112012201320142015增长率20160.05.0415.820.016.7590.8506.1687.716.416.4图二2011-2016年全社会固定资产投资及增长率（亿元）2011-2017年全社会固定资产投资及增长率（％）939.9800.816.7590.8506.1415.8687.716.416.417.425.020.015.010.05.00.021.7800.8939.9（％）25.020.015.010.01100100090020.0800700600500400300200100020112012201320142015增长率2016201721.717.4全社会固定资产投资全社会固定资产投资又根据通州区统计局2018年1月25日发布：2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长12.2％.

（Ⅰ）在图二中画出2017年通州区全区完成全社会固定资产投资（柱状图），标出增长率并补全折线图； （Ⅱ）通过计算2011-2017这7年的平均增长率约为17.2％，现从2011-2017这7年中

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随机选取2个年份，记X为“选取的2个年份中，增长率高于17.2％的年份个数”，求X的分布列及数学期望；

（Ⅲ）设2011-2017这7年全社会固定资产投资总额的中位数为x0，平均数为x，比较

x0与x的大小（只需写出结论）.

17．（本题满分14分）

如图所示的几何体中，平面PAD平面ABCD,△PAD为等腰直角三角形，

APD90，四边形ABCD为直角梯形，AB//DC，ABAD，ABAD2，

PQ//DC，PQDC1.

（Ⅰ）求证：PD//平面QBC； （Ⅱ）求二面角QBCA的余弦值； （Ⅲ）在线段QB上是否存在点M，使得

BAQPDCAM平面QBC，若存在，求

18．（本题满分13分）

QMQB的值；若不存在，请说明理由.

已知函数f(x)xe,g(x)a(e1)，aR． （Ⅰ）当a1时，求证：f(x)g(x)；

（Ⅱ）当a1时，求关于x的方程f(x)g(x)的实根个数.

19．（本题满分13分）

xxx2y2已知椭圆C:221ab0的上、下顶点分别为A，B，且AB2，离心

ab率为

3，O为坐标原点. 2（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P，Q是椭圆C上的两个动点（不与A，B重合），且关于y轴对称，M，N 数学（理）试卷 第4页（共4页）

分别是OP，BP的中点，直线AM与椭圆C的另一个交点为D. 求证：D，N，Q三点共线.

20．（本题满分14分）

已知数列an，设anan1ann1,2,3,数列时，则an为凸数列.

（Ⅰ）判断首项a10，公比q0，且q1的等比数列an是否为凸数列，并说明理由；

（Ⅱ）若an为凸数列，求证：对任意的1kmn，且k，m，nN， 均有

，若数列an为单调增数列或常

anamaakam1amm，且ammaxa1,an；

nmmk其中maxa1,an表示a1，an中较大的数；

（Ⅲ）若an为凸数列，且存在t1tn,tN，使得a0at，anat， 求证：a1a2

an.

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