高一数学方程的根与函数的零点1

教学目标： 知识与技能 理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件． 过程与方法 零点存在性的判定． 情感、态度、价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．

教学重点：

重点 零点的概念及存在性的判定． 难点 零点的确定．

教学程序与环节设计：

研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符号，并尝试进行系统的总结．

课外活动 探索研究 进一步探索函数零点存在性的判定．

组织探究 二次函数的零点及零点存在性的．

创设情境 结合二次函数引入课题．

尝试练习 零点存在性为练习重点．

作业回馈 重点放在零点的存在性判断及零点的确定上．

教学过程与操作设计：

环节 教学内容设置 先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象： 创 设 情 境 21方程x2x30与函数yx2x3 ○22方程x2x10与函数yx2x1 ○23方程x2x30与函数yx2x3 ○222师生双边互动 师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，引出零点的概念． 生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流． 师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？ 师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法． 生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法： 1 代数法； ○2 几何法． ○ 函数零点的概念： 对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点． 函数零点的意义： 函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数组 织 探 究 根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标． 即： 方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点． 函数零点的求法： 求函数yf(x)的零点： 1 （代数法）求方程f(x)0的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可○以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 二次函数的零点： 二次函数 yax2bxc(a0)． １）△＞０，方程axbxc0有两不等 环节 教学内容设置 实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点． ２）△＝０，方程axbxc0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． ３）△＜０，方程axbxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点． 零点存在性的探索： （Ⅰ）观察二次函数f(x)x22x3的图组 织 探 究 象： 1 在区间[2,1]上有零点______； ○222师：引导学生运用函数零点的意义探索二次函数零点的情况． 师生双边互动 生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论． 生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考． 师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系． 生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析． 师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用． f(2)_______，f(1)_______, f(2)·f(1)_____0（＜或＞）． 2 在区间[2,4]上有零点______； ○f(2)·f(4)____0（＜或＞）． （Ⅱ）观察下面函数yf(x)的图象 1 在区间[a,b]上______(有/无)零点； ○f(a)·f(b)_____0（＜或＞）． 2 在区间[b,c]上______(有/无)零点； ○． f(b)·f(c)_____0（＜或＞）3 在区间[c,d]上______(有/无)零点； ○． f(c)·f(d)_____0（＜或＞） 由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？ 怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点． 环节 教学内容设置 师生互动设计 例 题 研 究 师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计例1．求函数f(x)lnx2x6的零点个数． 算器来画函数的图象，问题： 结合图象对函数有一1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？ 个零点形成直观的认2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数识． 的单调性具有什么特性？ 生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结32例2．求函数yx2xx2，并画出它合图象确定零点所在的大致图象． 的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数． 尝 试 练 习 1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几 个根： 师：结合图象考察零点所在的大致区间与个2（1）x3x50； 数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学（2）2x(x2)3； 生认识到函数的图象及基本性质（特别是单2（3）x4x4； 调性）在确定函数零点中的重要作用． 22（4）5x2x3x5． 2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间： （1）f(x)x33x5； （2）f(x)2xln(x2)3； （3）f(x)ex14x4； （4）f(x)3(x2)(x3)(x4)x． 1．已知f(x)2x47x317x258x24， 请探究方程f(x)0的根．如果方程有根，指出每个根所在的区间（区间长度不超过1）． 2．设函数f(x)2ax1． （1）利用计算机探求a2和a3时函数x探 究 与 发 现 f(x)的零点个数； （2）当aR时，函数f(x)的零点是怎样分布的？ 环节 教学内容设置 师生互动设计 1． 教材P108习题3．1（A组）第1、2题； 2． 求下列函数的零点： （1）yx25x4； （2）yx2x20； （3）y(x1)(x23x1)； （4）f(x)(x22)(x23x2)． 3． 求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零： 作 业 回 馈 （1）y12x2x1； 3 （2）y2x24x1． 4． 已知f(x)2(m1)x24mx2m1： （1）m为何值时，函数的图象与x轴有两个零点； （2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求m的值． 5． 求下列函数的定义域： （1）y（2）y（3）yx29； x23x4； x24x12 2课 外 活 动 2研究yaxbxc，axbxc0， ax2bxc0，ax2bxc0的相互关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试用一种系统的、简洁的方式总结表达． 考虑列表，建议画出图象帮助分析． 收 获 与 体 会

说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区产存在根的基本步骤．