2007年高考全国1卷数学理科试卷含答案

2007年高考全国试卷含答案

卷数学理科1

2007年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：

如果事件A，B互斥，那么 球的表面积公式

P(AB)P(A)P(B) 其中R表示球的半径

16

S4πR2

如果事件A，B相互独立，那么

P(AB)P(A)P(B) 球的体积

公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 V4πR 33n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率

knknk 其中R表示球的半径 P(k)Cp(1p)(k0，1，2，…，n)

n一、选择题

5（1）是第四象限角，tan12，则sin（ ） 155A．1 B． C． D． 5513131ia（2）设a是实数，且1a是实数，则（ ） i23A．1 B．1 C． D．2 22（3）已知向量a(5，6)，b(6，5)，则a与b（ ） A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向

0)，(4，0)，（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(4，则双曲线方程为（ ） A．

x2y21412 B．

x2y21124 C．

x2y21106

D．

x2y2161016

16

（10）

21xxn ）的展开式中，常数项为15，则n（

A．3 B．4 C．5 D．6 （11）抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过F且

斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（ ） A．4 B．33 C．43 D．8 （12）函数f(x)cos（ ）

2，，0，A． B． C． D．， 62333662x2cos2x2的一个单调增区间是

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．

3．本卷共10题，共90分．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共

16

20分．把答案填在横线上．

（13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答）

（14）函数yf(x)的图像与函数ylog3x(x0)的图像

关于直线yx对称，则f(x) ． （15）等比数列a的前n项和为S，已知S，2S，

nn123S3成等差数列，则a的公比为 ．

n（16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）

设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为

a，b，c，a2bsinA．

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）求cosAsinC的取值范围． （18）（本小题满分12分）

某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为

16

 P1 0.4 2 0.2 3 0.2 4 0.1 5 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．

（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)； （Ⅱ）求的分布列及期望E． （19）（本小题满分12分）

四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面

SBC底面ABCD．已知∠ABC45，AB2，BC22，．

DCABSSASB3（Ⅰ）证明SABC；

（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小．

（20）（本小题满分12分） 设函数f(x)exex．

（Ⅰ）证明：f(x)的导数f(x)≥2；

16

（Ⅱ）若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围． （21）（本小题满分12分） 已知椭圆

x2y2132的左、右焦点分别为F，F．过F1221的直线交椭圆于B，D两点，过F的直线交椭圆于

A，C两点，且ACBD，垂足为P．

（Ⅰ）设P点的坐标为(x0，y0)，证明：

x2203y021；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值． （22）（本小题满分12分） 已知数列an中a12，an1(21)(an2)，n1，2，3，…．（Ⅰ）求an的通项公式； （Ⅱ）若数列b3bn4n中b12，bn12b，n1，2，3，…，

n3证明：2bn≤a4n3，n1，2，3，…．

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2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案

一、选择题：

（1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C

（7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）A 二、填空题：

（13）36 （14）3(xR) （15）1 （16）3x23 三、解答题： （17）解：

16

（Ⅰ）由a2bsinA，根据正弦定理得sinA2sinBsinA，所以sinB1， 2由△ABC为锐角三角形得Bπ． 6A （Ⅱ）cosAsinCcosAsincosAsinA6

13cosAcosAsinA223sinA3．

由△ABC为锐角三角形知，

AB22，B． 22632A336，

32所以1sinA23．

，

33，22由此有

333sinA3232所以，cosAsinC的取值范围为（18）解：

．

（Ⅰ）由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．

16

知A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”

P(A)(10.4)20.216，

．

P(A)1P(A)10.2160.784（Ⅱ）的可能取值为200元，250元，300元．

P(200)P(1)0.4，

，

．

3000.2P(250)P(2)P(3)0.20.20.4P(300)1P(200)P(250)10.40.40.2的分布列为

 P 2000.4 2500.4 E2000.42500.43000.2 240（元）．

（19）解法一：

（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD． 因为SASB，所以AOBO，

又∠ABC45，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO， 由三垂线定理，得SA⊥BC．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC， 故SA⊥AD，由ADBC22，SA3，AO2，得 SO1S O，SD11．

C D A

B

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△SAB的面积

1S1AB21SAAB2222．

，得

连结DB，得△DAB的面积S21ABADsin13522DSAB设D到平面SAB的距离为h，由于V11hS1SOS233VSABD，

解得h2．

h设SD与平面SAB所成角为，则sinSD22211112211．

所以，直线SD与平面SBC所成的我为arcsin解法二：

．

（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD． 因为SASB，所以AOBO．

又∠ABC45，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB． 如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角z 坐标系Oxyz，

A(2，0，0)0)，C(0，，B(0，2，2，0)S ，S(0，0，1)，SA(2，0，1)， G O，SACB0，所以SA⊥BC． 22D 0， （Ⅱ）取AB中点E，E，，CB(0，22，0)C x E B y

22 A ．

连结SE，取SE中点G，连结OG，G221，，44216

221OG4，4，2SEOG0，SE22，，122，AB(2，2，0)．

ABOG0，，OG与平面SAB内两条相交直线SE，

AB垂直．

所以OG平面SAB，OG与DS的夹角记为，SD与平面SAB所成的角记为，则与互余．

D(2，22，0)，DS(22112，22，1)．

2211cosOGDSOGDS，sin，

2211所以，直线SD与平面SAB所成的角为arcsin（20）解：

（Ⅰ）f(x)的导数f(x)e由于exx．

ex．

ye-x≥2exex2，故f(x)≥2．

A（当且仅当x0时，等号成立）． （Ⅱ）令g(x)f(x)ax，则

g(x)f(x)aexexa D ，

x（ⅰ）若a≤2，当x0时，g(x)e故g(x)在(0，∞)上为增函数，

ex x B C a2a≥0， PF1OF2所以，x≥0时，g(x)≥g(0)，即f(x)≥ax． （ⅱ）若a2，方程g(x)0的正根为

1aa24x1ln2，

此时，若x(0，x)，则g(x)0，故g(x)在该区间为减函数．

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所以，x(0，x)时，g(x)g(0)0，即f(x)ax，与题设

1f(x)≥ax相矛盾．

综上，满足条件的a的取值范围是∞，2． （21）证明： （Ⅰ）椭圆的半焦距c22x0y0132112，

由AC⊥BD知点P在以线段FF为直径的圆上，故

，

2222y0x0y0x21≤132222所以，

．

（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k0时，BD的方程为yk(x1)，代入椭圆方程

(3k22)x26k2x3k2601122x2y2132，并化简得

．

2设B(x，y)，D(x，y)，则

6k2x1x223k2BD1k2，

3k26x1x223k2243(k21)x1x2(1k)(x2x2)4x1x23k22；

因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为1， k所以，

1432143(k21)kAC212k3322k．

四边形ABCD的面积

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124(k21)2(k21)296SBDAC≥2(3k22)(2k23)(3k22)(2k23)2252．

当k21时，上式取等号．

（ⅱ）当BD的斜率k0或斜率不存在时，四边形

ABCD的面积S4．

综上，四边形ABCD的面积的最小值为96． 25（22）解： （Ⅰ）由题设：

a(21)(a2)

n1n(21)(an2)(21)(22)(21)(an2)2

，

．

2是首项为22，公比为21an12(21)(an2)所以，数列a比数列，

an22(21)nnn的等

，

即a的通项公式为ann2(21)1，n1，2，3，…． ，所以

2bk≤a4k3（Ⅱ）用数学归纳法证明． （ⅰ）当n1时，因2b1≤a122，ba112，结论成立．

，

2≤a4k33（ⅱ）假设当nk时，结论成立，即也即0bk．

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当nk1时，

b3bk4k122b32 k(322)bk(432)2b

k3(322)(bk2)2b30，

k又12b31223322，

k所以

bbk2)k12(322)(2b

k3(322)2(bk2) ≤(21)4(a4k32)

a4k12．

也就是说，当nk1时，结论成立． 根据（ⅰ）和（ⅱ）知2bn≤a4n3，n1，2，3，…．

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