2002年全国高考数学试题数学(北京理)

数 学（理工农医类）（北京卷）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页。共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案。不能答在试题卷上。 3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并交回。 参考公式：

三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式 1sincos[sin()sin()]

2S台侧1(cc)l 2其中c、c分别表示上、下底面周长，l表示

1cossin[sin()sin()] 斜高或母线长

2球体的体积公式

1coscos[cos()cos()] 42V球R3

1sinsin[cos()cos()]

23其中R表示球的半径

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1．满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是

A．1

B．2

C．3

D．4

2．在平面直角坐标系中，已知两点A(cos80,sin80),B(cos20,sin20)则|AB|的值是

A．1

2B．2

2C．3

2D．1

3．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（

2,）上为减函数的是

D．y

A．

ycos2x

B．y12|sinx| C．y()cosx

31

ctgx

4．64个直径都为

a的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲；一个直径为a的球， 4B．V甲＜V乙且S甲＜S乙 D．V甲＝V乙且S甲＝S乙

记其体积为V乙，表面积为S乙，则

A．V甲＞V乙且S甲＞S乙 C．V甲＝V乙且S甲＞S乙

5．已知某曲线的参数方程是xsec, (为参数）.若以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，

ytg 长度单位不变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是

A．1

2B．cos21

2C．2sin21

2D．2cos21

yx2y2x2526．给定四条曲线：①xy，②，③，④x11y21.其中与直

49442 线xy50仅有一个交点的曲线是

A．①②③

B．②③④

C．①②④

D．①③④

7．已知z1,z2C且|z1|=1.若z1z22i，则|z1z2|的最大值是

A．6

B．5

C．4

D．3

cos28．若ctg11，则的值为

1sin22ctg1

A．3

B．－3

C．－2

D．1 29．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方 案共有

444A．C12C8C4种

444B．3C12C8C4种

443C．C12C8P3种

444CCC4种 128D．

P3310．设命题甲：“直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，平面ACB1与对角面BB1D1D垂直”；命题

乙：“直四棱柱ABCD—A1B1C1D1是正方体”.那么，甲是乙的

A．充分必要条件

B．充分非必要条件 D．既非充分又非必要条件

C．必要非充分条件

11．已知f(x)的定义在（－3，3）上的奇函数，当0＜x＜3时，f(x)的图象如图所示，那

么不等式f(x)cosx0的解集是

A．(3,)(0,1)(,3) B．(,1)(0,1)(,3)

2222C．(3,1)(0,1)(1,3) D．(3,)(0,1)(1,3)

2

2

12．如图所示，fi(x)(i1,2,3,4)是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]

中任意的x1和x2，任意[0,1],f[x1(1)x2]f(x1)(1)f(x2)恒成立”的只有

A．f1(x),f3(x)

B．f2(x)

C．f2(x),f3(x)

D．f4(x)

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

注意事项：

1．第Ⅱ卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。 题 号 分 数 二 三 17 18 19 20 21 22 总 分 得分 评卷人 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横

线上.

13．arcsin(),arccos(),arctg()从小到大的顺序是 . 14．等差数列{an}中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么

该等比数列公比的值等于 .

15．关于直角AOB在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③

可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角.其中正确判断的序号是 （注：把你认为是正确判断的序号都填上）.

16．已知P是直线3x4y80上的动点，PA，PB是圆xy2x2y10的两

条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为 .

3

22253454三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

得分 评卷人 17．（本小题满分12分）

解不等式|2x1x|2.

得分 评卷人 18．（本小题满分12分）

如图，在多面体ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h..

（Ⅰ）求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小； E F （Ⅱ）证明：EF//面ABCD

D1 （Ⅲ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式 C1

d V估=S中截面·h来计算.已知它的体积公式是 A1 c B1

h V（S上底面+4S中截面+S下底面），

6D

C

a

B b

试判断V估与V的大小关系，并加以证明.

（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.）

得分 评卷人 19．（本小题满分12分）

数列{xn}由下列条件确定：x1a0,xn1A

1a(xn),nN. 2xn （Ⅰ）证明：对n≥2，总有xna；

（Ⅱ）证明：对n≥2，总有xnxn1；

（Ⅲ）若数列{xn}的极限存在，且大于零，求limxn的值.

n 4

得分 评卷人

在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题： 用计算机求n个不同的数v1,v2,,vn的和

n20．（本小题满分12分）

vi1iv1v2v3vn.计算开始前，n个

数存贮在n台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数，计算开始后，在一个单位时间内，

每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作.

为了用尽可能少的单位时间，使各台机器都得到这n个数的和，需要设计一种读和加的．．．．．．．．．方法.比如n=2时，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示： 机器号 1 2 初始时 v1 v2 第一单位时间 被读机号 2 1 结 果 v1+ v2 v2+v1 第二单位时间 被读机号 结 果 第三单位时间 被读机号 结 果 （Ⅰ）当n=4时，至少需要多少个单位时间可完成计算？ 把你设计的方法填入下表 机器号 1 2 3 4 初始时 v1 v2 v3 v4 第一单位时间 被读机号 结 果 第二单位时间 被读机号 n第三单位时间 被读机号 结 果 结 果 （Ⅱ）当n=128时，要使所有机器都得到论不要求证明）

vi1i，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结

5

得分 评卷人 21．（本小题满分13分）

已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点.

（Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G，F，H三点共线； （Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹. y C(b，c)

O B(1，0) x

得分 评卷人 22．（本小题满分13分）

已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：

f(ab)af(b)bf(a).

（Ⅰ）求f（0），f（1）的值；

（Ⅱ）判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论；

f(2n)(nN)，求数列{un}的前n项的和Sn. （Ⅲ）若f(2)2,unn

数学试题（理工农医类）（北京卷）参考解答

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.

6

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.

1.B 2.D 3.B 4.C 5.D 6.D 7.C 8.A 9.A 10.C 11.B 12.A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.

13．arctg()arcsin()arccos() 14．4 15．①②③④⑤ 16．22 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．本小题主要考查不等式的解法等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力.满分12分.

2x1x2因为解：原不等式2x1x2.2x10, 2x1x22x1x2x20,2x1(x2)254253411xx又2x1x222x22x502x10,2x10, 或x20,2x1(x2)2x20x2,1x2,112或x2或x22x5或x2

21x52x6x50211x5.所以，原不等式组的解集为{x|x5} . 2218．本小题主要考查直线、平面的位置关系，考查不等式的基本知识，考查空间想象能力和 逻辑推理能力. 满分12分.

（1）解：过B1C1作底面ABCD的垂直平面，交底面于

PQ,过B1作B1G⊥PQ,垂足为G.∵平面ABCD∥平 面A1B1C1D1，∠A1B1C1=90°，∴AB⊥PQ，AB⊥ B1P. ∴∠B1PG为所求二面角的平面角.过C1作 C1H⊥PQ，垂足为H.由于相对侧面与底面所成二 面角的大小相等，故四边形B1PQC1为等腰梯形.

∴PG2h2h1 (bd),B1PGarctg(bd),又B1Gh，tgB1PGbd2bd即所求二面角的大小为arctg2h bd （Ⅱ）证明：∵AB，CD是矩形ABCD的一组对边，有AB//CD，又CD是面ABCD与

面CDEF的交线， ∴AB//面CDEF. ∵EF是面ABFE与面CDEF的交线，∴AB ∥EF. ∵AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外，∴EF∥面ABCD. （Ⅲ）V估＜V.证明： ∵a＞c，b＞d，∴VV估h(cdab4acbd)acbdh

62222hh[2cd2ab2(ac)(bd)3(ac)(bd)](ac)(bd)0∴V估＜V. 121219．本小题主要考查数列、数列极限、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分12分.



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（Ⅰ）证明：由x1a0,及xn11a可归纳证明xn0(没有证明过程不扣分）. (xn)，

2xn 从而有xn11(xna)xnaa(nN)，所以，当n≥2时，xn2xnxn （Ⅱ）证法一：当n≥2时，因为xna成立.

a0,xn11a(xn)，所以 2xn2 xn1xn1(xna)xn1axn0，故当n≥2时，xnxn1成立.

2xn2xn 证法二：当n≥2时，因为xna0,xn11a(xn)，所以 2xn

xn1xn1a(xn)2222xnxnaxnxn1，故当n≥2时，xnxn1成立. 22xn2xn2xnnn （Ⅲ）解：记limxnA,则limxn1A,且A0.由xn1 limxn1n1a(xn),得 2xn1a1a(limxn),即A(A).由A0,解得Aa， n2limxn2An 故limxnna

20．本小题主要考查运用数学思想方法，分析和解决科学问题的能力.满分12分.

（Ⅰ）解：当n=4时，只用2个单位时间即可完成计算.

方法之一如下： 机器号 1 2 3 4 初始时 v1 v2 v3 v4 第一单位时间 被读机号 2 1 4 3 结 果 v1+ v2 v2+v1 v3+ v4 v4+ v3 第二单位时间 被读机号 3 4 1 2 结 果 v1+ v2+ v3+ v4 v2+ v1+ v4+ v3 v3+ v4+ v1+ v2 v4+ v3+ v2+ v1 第三单位时间 被读机号 结 果 （Ⅱ）解：当n=128=27时，至少需要7个单位时间才能完成计算. 21．本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力. 满分13分. （Ⅰ）解：由△OBC三顶点坐标O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c≠0），可求得

8

1b2c2bbb2b1c1)，垂心H(b,).当b时， 重心G(,)，外心F(,22c3332 G，F，H三点的横坐标均为

11，故三点共线；当b时，设G,H所在直线的斜 22cbb2c23b23b， 3cb1c(12b)b3 率为kGH，F，G所在直线的斜率为kFG.因为kGH kFGcb2c2bc23b23b，所以k32cGHkFG，G，F，H三点共线.

b11c(12b)32 综上可得，G，F，H三点共线.

（Ⅱ）解：若FH//OB，由kFHc23b23b10，得3(b2b)c20(c0,b)，

c(12b)2112(b)22(x)11223cy2 配方得，即. 223(b)c,即11(x2,y0)112433()2()2()2()22222 所以，顶点C的轨迹是中心在（

113，0），长半轴长为，短半轴长为，且短

2221331，），（，－）四点.

2222 轴在x轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），（

22．本小题主要考查函数与数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力. 满分13分.

（Ⅰ）解：f(0)f(00)0f(0)0f(0)0. 因为f(1)f(11)1f(1)1f(1)， 所以f(1)0

（Ⅱ）f(x)是奇函数. 证明：因为f(1)f[(1)2]f(1)f(1)0所以f(1)0， f(x)f(1x)f(x)xf(1)f(x),因此，f(x)为奇函数.

（Ⅲ）解法一：由f(a2)af(a)af(a)2af(a),f(a3)a2f(a)af(a2)3a2f(a)， 猜测f(a)nann1f(a). 下面用数学归纳法证明：

10 1° 当n=1时，f(a)1af(a)，公式成立；

9

2°假设当n=k时，f(a)ka f(ak1kk1f(a)成立，那么当n=k+1时，

)akf(a)af(ak)akf(a)kakf(a)(k1)akf(a)，公式仍成立.

n22n 由上两步可知，对任意nN,f(an)nan1f(a)成立.所以unf(2)(1)n1f(1).

111111 因为f(2)2,f(1)f(2)2f()f(2)0,所以f()f(2)，

22224211[1()n]11n112 un()()(nN),因此Sn2()n1(nN).

122212 解法二：当ab0时,f(ab)f(b)f(a),令g(x)f(x),则g(ab)g(a)g(b)，

abbax 故g(a)ng(a),所以f(a)ag(a)nag(a)nannnnnn1f(a).

f(2n)11()n1f(). （以下同解法一） 所以unn22

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