考点聚焦 ＠ 常见抽象函数解析式的求法 ■韩仁建 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记 五、构建方程组法 号的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对 例５ 已 ）为偶函数，ｇ（ｘ）为奇函数，且有 函数概念的理解，使其更好地掌握函数的性质，培养 ）＋ｇ（ ）＝ ， ），ｇ（ ）。 灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维。现将常 ／（见解法及意义总结如下。 一、换元法 即用中间变量表示原自变量 的代数式，从而求 出 ），这也是证某些公式或等式常用的方法，此法 能培养学生的灵活性及变形能力。 例ｌ已 ÷）＝ ＋ｌ，捌 ）。 ＋１ 解：设 ：¨，则 ： ＇．．． 『』）：２ ＋１：—２－ｕ， ｘ＋ｌ ｌ～Ｍ １一ｕ １一“ ｉｆｘ）：—２－—ｘ。 １－－Ｘ 二、凑合法 在已 ｇ（ ））＝＾（ ）的条件下，把 （ ）并凑成 以ｇ（“）表示的代数式，再利用代换即可求，（ ）。此解 法简洁，还能进一步复习代换法。 例２已知 卅 ） ３＋ １，求 ）。 解：．． ＋—ｌ＿）：（ ＋Ｌ）：（ ２－ｌ＋ ）：（ ＋Ⅲ１一）（（ ＋ ） 一３），又．．．Ｉ ＋ Ｊ：ｋ Ｊ＋ 一≥１， Ｉｘ１ ・．． ）＝ （ｘ２－３）＝ｘ３～３ｘ，（Ｉｘｌ≥１）。 三、待定系数法 先确定函数类型，没定函数关系式，再由已知条 件，定出关系式中的未知系数。 例３已知 ）二次实函数，Ｒｆ（ｘ＋１）＋ 一１）＝ ＋２ ＋４，习之，（ ）。 解：设厂（ ）：ｃ ２＋６ ＋ｃ，贝０ ｘ＋１）＋，（ 一１）：Ⅱ（ ＋１） ＋ ｂ（ｘ＋１）Ｃ＋ｒ上（ 一１） ＋６（ 一１）＋ｃ＝２ａｘ％２ｂｘ＋２（。＋ｃ）＝ 。＋ ｆ２（ａ＋ｃ）一 ． ２ｘ＋４，比较系数得｛２ａ＝１ ０：一１，６：１，ｃ： ， 【２ｂ：２ ２ ２ ．）…１ Ｘ２＋Ｘ＋３．． 。 ２ ２ 四、利用函数性质法 主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式。 例４已知ｙ－－ｆ（ ）为奇函数，当ｘ＞Ｏ时，厂（ ）＝ ｌｇ（ ＋１），求 ）。 解：’． ）为奇函数 ．，（ ）的定义域关于原点对 称，故先求ｘ＜Ｏ时的表达式。 ‘－．ｘ＞Ｏ －ｘ）＝ｌｇ（－ｘ＋１）＝１ｇ（１ ）， ・． ）为奇函数 ． ｇ（１－ ） 一 ）＝ ） ．当 ＜ｏ 时 ＝－ｌｇ ． ）＝ 。 解： ．．厂（ ）为偶函数，ｇ（ｘ）为奇函数， ’．．厂（一 ）＿厂（ ），ｇ（ ）＝－ｇ（ ）， 不妨用一代 ）＋ｇ（ ）＝ ………①中的 ， ‘ ）＋ｇ（ ）＝二 １．，Ｂ ）＋－ｇ（ ）＝ …② 一 一ｌ ＋Ｉ 显见①＋②即可消去ｇ（ ），求出函数 ）＝士 再代入①求出ｇ（ ）＝丢。 例６设对满足 ≠０， ≠１的所有实数 ，函数 ／（ ）满 ） ）＝ｌ ，求 ）的解析式。 解： ） ）：１ ………①中以 二＿ｌ＿代换 其中 ，得 竺 ） 一— ）： ………② 再在①中以一— 代换 ，得 一ｌ ／（一 ） 署……③ ①一②＋③化简得 ）＝≤ 。 评析：如果把 和 分别看作两个变量，怎样 实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通 常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消 失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策 略。 六、赋值法 给白变量取特殊值，从而发现规律，求出 ）的 表达式。 例７设 ）的定义域为自然数集，且满足条件 ／（卅１） ） ｙ）＋ ， １）＝１， ）。 解：‘．ｆ（ｘ）的定义域为Ⅳ，取ｖ＝１，则有，（ ＋１）： ） ＋１。 ・． １）＝ｌ ２） １）＋２ ３） ２）＋３…・・ ｎ）： ｎ一１）＋ｎ。 以上各式相加，有厂（ｎ）＝１＋２＋３＋……＋ｎ： ）： １ （川）， ∈Ｎ。 （作者单位：重庆市南川区道南中学）