资源县第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

资源县第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 函数y=

的图象大致为（ ）

A． B． C． D．

xn(1)sin2n,x2n,2n122． 已知函数f(x)（nN），若数列am满足

(1)n1sinx2n2,x2n1,2n22amf(m)(mN*)，数列am的前m项和为Sm，则S105S96（ ） A.909 B.910 C.911 D.912

【命题意图】本题考查数列求和等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.

3． 已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（ ） A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B．{x|﹣1＜x＜﹣lg2} C．{x|x＞﹣lg2} D．{x|x＜﹣lg2}

4． 下列正方体或四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是 （ ）

5． 函数y=f（x）在[1，3]上单调递减，且函数f（x+3）是偶函数，则下列结论成立的是（ ） A．f（2）＜f（π）＜f（5） f（π）＜f（2） 6．

=（ ）

B．f（π）＜f（2）＜f（5）

C．f（2）＜f（5）＜f（π）

D．f（5）＜

A．﹣i B．i C．1+i D．1﹣i

7． 已知平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误 的是（ ）

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A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥β C．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β 8． 如果命题p∨q是真命题，命题￢p是假命题，那么（ ） A．命题p一定是假命题 C．命题q一定是真命题 9． 设0＜a＜1，实数x，y满足

B．命题q一定是假命题

D．命题q是真命题或假命题

，则y关于x的函数的图象形状大致是（ ）

A． B． C． D．

10．在△ABC中，A．等腰三角形

，则这个三角形一定是（ ）

B．直角三角形

C．等腰直角三角 D．等腰或直角三角形

11．已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=（ ） A．﹣2 B．2 C．﹣98 D．98

12．设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知在Sn中有S17＜0，S18＞0，那么Sn中最小的是（ ） A．S10 B．S9

C．S8

D．S7

二、填空题

13．不等式

的解为 ．

214．函数f(x)x2(a1)x2在区间(,4]上递减，则实数的取值范围是 ． 15．若函数f（x）=x2﹣2x（x∈[2，4]），则f（x）的最小值是 ．

16．抛物线y2=4x的焦点为F，过F且倾斜角等于为 ．

的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A，则AF的长

17．抽样调查表明，某校高三学生成绩（总分750分）X近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P（400＜X＜450）=0.3，则P（550＜X＜600）= ． 18．已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+2n，则数列的通项an= ．

三、解答题

19．已知f（x）=|﹣x|﹣|+x|

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2

（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≥a﹣3a恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若f（m）+f（n）=4，且m＜n，求m+n的取值范围．

20．一艘客轮在航海中遇险，发出求救信号.在遇险地点A南偏西45方向10海里的B处有一艘海 难搜救艇收到求救信号后立即侦查，发现遇险客轮的航行方向为南偏东75，正以每小时9海里的速度向 一小岛靠近.已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里.

（1）为了在最短的时间内追上客轮，求海难搜救艇追上客轮所需的时间； （2）若最短时间内两船在C处相遇，如图，在ABC中，求角B的正弦值.

21．已知和均为给定的大于1的自然数，设集合，，，...，.

，集合

..。，，，，...，

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（1）当（2）设、.证明：若

，，

时，用列举法表示集合

..。.

，

；

..。

，其中

、

，

，，...，

，则

22．武汉市为增强市民交通安全意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示． （1）分别求第3，4，5组的频率；

（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．

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23．已知点（1，）是函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）﹣c，数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn﹣Sn﹣1=项和为Tn，

+

（n≥2）．记数列{

}前n

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

2

（2）若对任意正整数n，当m∈[﹣1，1]时，不等式t﹣2mt+＞Tn恒成立，求实数t的取值范围

（3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

24．在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线l：（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；

（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的极坐标．

．

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资源县第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：令y=f（x）=∵f（﹣x）=∴函数y=

=﹣为奇函数，

，

=﹣f（x），

∴其图象关于原点对称，可排除A； 又当x→0，y→+∞，故可排除B；

+

当x→+∞，y→0，故可排除C； 而D均满足以上分析． 故选D．

2． 【答案】A.

【

解

析

】

3． 【答案】D

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【解析】解：由题意可知f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，

xx

故可得f（10）＞0等价于﹣1＜10＜，

由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10＞﹣1，

x

而10＜可化为10＜

x

x，即10＜10﹣，

x

lg2

由指数函数的单调性可知：x＜﹣lg2 故选：D

4． 【答案】D 【解析】

考

点：平面的基本公理与推论． 5． 【答案】B

【解析】解：∵函数y=f（x）在[1，3]上单调递减，且函数f（x+3）是偶函数， ∴f（π）=f（6﹣π），f（5）=f（1）， ∵f（6﹣π）＜f（2）＜f（1）， ∴f（π）＜f（2）＜f（5） 故选：B

【点评】本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数的单调性和函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．

6． 【答案】 B 【解析】解：故选：B．

=

=

=i．

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【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．

7． 【答案】D

【解析】【分析】由题设条件，平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，结合四个选项中的条件，对结论进行证明，找出不能推出结论的即可

【解答】解：A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；

B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面； C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；

D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面； 综上D选项中的命题是错误的 故选D

8． 【答案】D

【解析】解：∵命题“p或q”真命题，则命题p与命题q中至少有一个命题为真命题， 又∵命题“非p”也是假命题， ∴命题p为真命题． 故命题q为可真可假． 故选D

【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中熟练掌握复合命题真值表是解答本题的关键．

9． 【答案】A 【解析】解：0＜a＜1，实数x，y满足轴对称， 故选：A．

，即y=

，故函数y为偶函数，它的图象关于y

在（0，+∞）上单调递增，且函数的图象经过点（0，1），

【点评】本题主要指数式与对数式的互化，函数的奇偶性、单调性以及特殊点，属于中档题．

10．【答案】A 【解析】解：∵又∵cosC=∴

=

， ，

22

，整理可得：b=c，

∴解得：b=c．即三角形一定为等腰三角形． 故选：A．

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11．【答案】A

【解析】解：因为f（x+4）=f（x），故函数的周期是4 所以f（7）=f（3）=f（﹣1）， 又f（x）在R上是奇函数，

2

所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×1=﹣2，

故选A．

【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性．

12．【答案】C

【解析】解：∵S16＜0，S17＞0， ∴

=8（a8+a9）＜0，

=17a9＞0，

∴a8＜0，a9＞0， ∴公差d＞0． ∴Sn中最小的是S8． 故选：C．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

二、填空题

13．【答案】 {x|x＞1或x＜0} ．

【解析】解：

即

即x（x﹣1）＞0 解得x＞1或x＜0

故答案为{x|x＞1或x＜0} 以解集形式写出

14．【答案】a3 【解析】

【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解

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试题分析：函数fx图象开口向上，对称轴为x1a，函数在区间(,4]上递减，所以1a4,a3. 考点：二次函数图象与性质．

15．【答案】 0 ．

22

【解析】解：f（x））=x﹣2x=（x﹣1）﹣1， 其图象开口向上，对称抽为：x=1， 所以函数f（x）在[2，4]上单调递增， 故答案为：0．

2

所以f（x）的最小值为：f（2）=2﹣2×2=0．

【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，一般运用数形结合思想进行处理．

16．【答案】 4 ．

【解析】解：由已知可得直线AF的方程为y=（x﹣1），

2

联立直线与抛物线方程消元得：3x﹣10x+3=0，解之得：x1=3，x2=（据题意应舍去），

由抛物线定义可得：AF=x1+=3+1=4． 故答案为：4．

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．

17．【答案】 0.3 ．

【解析】离散型随机变量的期望与方差． 【专题】计算题；概率与统计．

【分析】确定正态分布曲线的对称轴为x=500，根据对称性，可得P（550＜ξ＜600）． ∴正态分布曲线的对称轴为x=500， ∵P（400＜ξ＜450）=0.3， 故答案为：0.3．

【解答】解：∵某校高三学生成绩（总分750分）ξ近似服从正态分布，平均成绩为500分，

∴根据对称性，可得P（550＜ξ＜600）=0.3．

【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，正确运用正态分布曲线的对称性是关键． 18．【答案】 2n﹣1 ．

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n

【解析】解：∵a1=1，an+1=an+2，

∴a2﹣a1=2， a3﹣a2=22， …

an﹣an﹣1=2n﹣1，

23n1

相加得：an﹣a1=2+2+2+2…+2﹣，

an=2n﹣1，

n

故答案为：2﹣1，

三、解答题

19．【答案】

22

【解析】解：（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≥a﹣3a恒成立，即|﹣x|﹣|+x|≥a﹣3a恒成立．

由于f（x）=|﹣x|﹣|+x|=，故f（x）的最小值为﹣2，

2

∴﹣2≥a﹣3a，求得1≤a≤2．

（Ⅱ）由于f（x）的最大值为2，∴f（m）≤2，f（n）≤2， 若f（m）+f（n）=4，∴m＜n≤﹣，∴m+n＜﹣5．

【点评】本题主要考查分段函数的应用，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．

20．【答案】（1）【解析】

233小时；（2）． 314试

题解析：（1）设搜救艇追上客轮所需时间为小时，两船在C处相遇. 在ABC中，BAC4575120，AB10，AC9t，BC21t. 由余弦定理得：BCABAC2ABACcosBAC， 所以(21t)10(9t)2109t()，

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25或t（舍去）. 3122所以，海难搜救艇追上客轮所需时间为小时.

322（2）由AC96，BC2114.

332化简得36t9t100，解得t在ABC中，由正弦定理得sinB所以角B的正弦值为ACsinBAC6sin120BC1463233. 141433. 14考点：三角形的实际应用．

【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中涉及到正弦定理、余弦定理的灵活应用，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，可先根据题意，画出图形，由搜救艇和渔船的速度，那么可设时间，并用时间表示AC,BC，再根据正弦定理和余弦定理，即可求解此类问题，其中正确画出图形是解答的关键． 21．【答案】

【解析】22．【答案】

【解析】解：（1）由题意可知第3组的频率为0.06×5=0.3， 第4组的频率为0.04×5=0.2， 第5组的频率为0.02×5=0.1； （2）第3组的人数为0.3×100=30， 第4组的人数为0.2×100=20， 第5组的人数为0.1×100=10；

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因为第3，4，5组共有60名志愿者，

所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者， 每组抽取的人数分别为：第3组

=3；第4组

=2；第5组

=1；

应从第3，4，5组各抽取3，2，1名志愿者．

（3）记第3组3名志愿者为1，2，3；第4组2名志愿者为4，5；第5组1名志愿者为6； 在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者有：

（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）， （2，3），（2，4），（2，5），（2，6）， （3，4），（3，5），（3，6）， （4，5），（4，6）， （5，6）；

共有15种，第4组2名志愿者为4，5；至少有一名志愿者被抽中共有9种， 所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为

．

【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，频率分布直方图，考查计算能力．

23．【答案】 【解析】解：（1）因为f（1）=a=，所以f（x）=所以

，所以c=1．

；

=

；

；

}是以1为首项，以1为公差的等差数列，并且有

前n项和为Tn，

，

，a2=[f（2）﹣c]﹣[f（1）﹣c]=

，

，a3=[f（3）﹣c]﹣[f（2）﹣c]=

因为数列{an}是等比数列，所以又公比q=由题意可得：又因为bn＞0，所以所以数列{

当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1； 所以bn=2n﹣1． （2）因为数列所以

，所以

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==

；

恒成立，

因为当m∈[﹣1，1]时，不等式

2

设g（m）=﹣2tm+t，m∈[﹣1，1]，

2

所以只要当m∈[﹣1，1]时，不等式t﹣2mt＞0恒成立即可，

所以只要一次函数g（m）＞0在m∈[﹣1，1]上恒成立即可， 所以

解得t＜﹣2或t＞2，

2

（3）T1，Tm，Tn成等比数列，得Tm=T1Tn

，

所以实数t的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）． ∴∴

，

结合1＜m＜n知，m=2，n=12

【点评】本题综合考查数列、不等式与函数的有关知识，解决此类问题的关键是熟练掌握数列求通项公式与求和的方法，以及把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题，然后利用函数的有关知识解决问题．

24．【答案】

2

【解析】解：（1）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ=ρcosθ+ρsinθ， 2222

故圆O 的直角坐标方程为：x+y=x+y，即x+y﹣x﹣y=0．

直线l：

为：y﹣x=1，即x﹣y+1=0． （2）由（0，1），

故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为

，即ρsinθ﹣ρcosθ=1，则直线的直角坐标方程

，可得 ，直线l与圆O公共点的直角坐标为

．

【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，属于基础题．

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