例1．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′ 和折痕OP．设BP＝t．
（Ⅰ）如图①，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′ 上，得点C′ 和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′ 恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
y y
P P C C B B
B′ Q B′
C′
O A x O A x
图② 图①
解析：（Ⅰ）根据题意，∠OBP＝90°，OB＝6
在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t
222
根据勾股定理，OP ＝OB ＋BP
222
即( 2t )＝6 ＋t ，解得t＝23（t＝－23舍去）． ∴点P的坐标为（23，6）
（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的 y ∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP P B ∴∠OPB′＝∠OPB，∠QPC′＝∠QPC
B′ ∵∠OPB′＋∠OPB＋∠QPC′＋∠QPC＝180°，∴∠OPB＋∠QPC＝90°
∵∠BOP＋∠OPB＝90°，∴∠BOP＝∠CPQ 又∠OBP＝∠C＝90°，∴△OBP∽△PCQ，∴
C Q C′ OB BP ＝
PC CQ
O A x 由题设BP＝t，AQ＝m，BC＝11，AC＝6，则PC＝11－t，CQ＝6－m
1211 6 t ∴ ＝ ，∴m＝ t － t＋6（0＜t ＜11） 11－t 6－m 6 6 11－ 1311＋ 13（Ⅲ）点P的坐标为（ ，6）或（ ，6）
3 3 提示：过点P作PH⊥OA于H
PH PC′ 易证△PC′H∽△C′QA，∴ ＝ AC′ C′Q ∵PC′＝PC＝11－t，PH＝OB＝6，AQ＝m，C′Q＝CQ＝6－m
y B P C ∴AC′＝ C′Q －AQ ＝
22
36－12m
O H BQ CA x ∴
6
36－12m
＝
11－t 6－m ∵∴
6 t 6 11－t ＝ ，即 ＝
11－t 6－m t 6－m
6
36－12m
＝
6
t
，∴36－12m＝t ，即12m＝36－t
22
又m＝
2
12112
t － t＋6，即12m＝2t －22t＋72 6 6
2
2
∴2t －22t＋72＝36－t ，即3t －22t＋36＝0 11±13
解得：t＝
3
11－ 1311＋ 13
∴点P的坐标为（ ，6）或（ ，6）
3 3
例2（在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E是AB边上一点（与A、B不重合），EF⊥CE交AD于点F，过点E作∠AEH＝∠BEC，交射线FD于点H，交射线CD于点N． （1）如图1，当点H与点F重合时，求BE的长；
（2）如图2，当点H在线段FD上时，设BE＝x，DN＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）连接AC，当△FHE与△AEC相似时，求线段DN的长．
A E E E A A B B
F (H) F
H
N D C N D
图1
解析：（1）∵EF⊥EC，∴∠AEF＋∠BEC＝90° ∵∠AEH＝∠BEC，∴∠BEC＝45° ∵∠B＝90°，∴BE＝BC ∵BC＝3，∴BE＝3
（2）过点E作EG⊥CN，垂足为点G ∴BE＝CG
∵AB∥CN，∴∠AEH＝∠N，∠BEC＝∠ECN ∵∠AEH＝∠BEC，∴∠N＝∠ECN，∴EN＝EC ∴CN＝2CG＝2BE ∵BE＝x，DN＝y，CD＝AB＝4 ∴y＝2x－4（2≤x ≤3）
（3）∵∠A＝90°，∴∠AFE＋∠AEF＝90° ∵EF⊥EC，∴∠AEF＋∠BEC＝90° ∴∠AFE＝∠BEC，∴∠HFE＝∠AEC F
B
C
图2
D
备用图
C
A F H N D
E B
G C
当△FHE与△AEC相似时 ①若∠FHE＝∠EAC
∵∠BAD＝∠B，∠AEH＝∠BEC ∴∠FHE＝∠ECB，∴∠EAC＝∠ECB
BC BE ∴tan∠EAC＝tan∠ECB，∴ ＝
AB BC A F H N D
E B
∴
31 BE 9 ＝ ，∴BE＝ ，∴DN＝
4 3 4 2
C
②若∠FHE＝∠ECA，作EG⊥CN于G，交AC于O ∵EN＝EC，EG⊥CN，∴∠1＝∠2
∵AH∥EG，∴∠FHE＝∠1，∴∠FHE＝∠2 ∴∠2＝∠ECA，∴OE＝OC
设OE＝OC＝3k，则AE＝4k，AO＝5k
∴AO＋OC＝8k＝5，∴k＝5
8 ∴AE＝ 5 2 ，BE＝ 3 ，∴CN＝3，∴DN＝1
2 综上所述：线段DN的长为1
2 或1
A E B
1 2 F
O
D
N
G
C
H
C
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