(完整版)空间几何体的表面积与体积练习题.及答案

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空间几何体的表面积与体积专题

一、选择题

1．棱长为2的正四面体的表面积是( C )．

A.3 B．4 C．43 D．16

13

解析 每个面的面积为：×2×2×＝3.∴正四面体的表面积为：43.

222．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 ( B )． A．2倍 B．22倍 C.2倍 D.2倍

4

解析 由题意知球的半径扩大到原来的2倍，则体积V＝πR3，知体积扩大到原来的22倍．

33．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为( B )． A.

142284280

B. C. 333

D.140

3

3

解析 根据三视图的知识及特点，可画出多面体 的形状，如图所示．这个多面体是由长方体截去 一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积 11284

×2×2×2＝V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－×. 3234．某几何体的三视图如下，则它的体积是( A) A．8－

2ππ

B．8－ C．8－2π 33

D.

2π

3

解析 由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半

12π

径为1，高为2的圆锥，所以V＝2－×π×2＝8－.

33

3

5．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何3ππ

体的体积为( A)A．24－π B．24－ C．24－π D．24－

232

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据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的13π

底面半径为1，母线长为3，故其体积V＝2×3×4－×π×12×3＝24－.

226．某品牌香水瓶的三视图如图 (单位：cm)，则该几何体的表面积为( C )

ππ

A.95－ cm2 B.94－ cm2

22ππ

C.94＋ cm2 D.95＋ cm2

22

解析 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、

π

下面是一个四棱柱．上面四棱柱的表面积为2×3×3＋12×1－

4

π1

＝30－；中间部分的表面积为2π××1＝π，下面部分的表面

42

πππ

积为2×4×4＋16×2－＝64－.故其表面积是94＋.

442

7．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝3，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S-ABC的体积为( C)．

A．33 B．23 C.3 D．1

解析 由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过AB的小圆交直径SC于D，设SD＝x，则DC＝4－x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD和C-ABD，在△SAD和△SBD中，由已知条件可得AD＝BD＝

3

x，又因为SC为直径，所以∠SBC＝∠SAC＝90°，所以∠DCB＝∠DCA＝60°，在3

3

△BDC中 ，BD＝3(4－x)，所以x＝3(4－x)，所以x＝3，AD＝BD＝3，所以三角形ABD为

31

正三角形，所以V＝S△ABD×4＝3.

3二、填空题

8．三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体1132

积等于__3______．解析 依题意有，三棱锥PABC的体积V＝S△ABC·|PA|＝××2×3＝3.

3349．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_ 3∶2_______．

解析 设圆柱的底面半径是r，则该圆柱的母线长是2r，圆柱的侧面积是2πr·2r＝4πr2，设球的半径是R，则球的表面积是4πR2，根据已知4πR2＝4πr2，所以R＝r.所以圆柱的体积是πr2·2r不得用于商业用途

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42πr33

＝2πr，球的体积是πr，所以圆柱的体积和球的体积的比是＝3∶2.

343

πr3

3

10．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是___

2

_____． 6

3

解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连接顶点和底面中心

2

即为高，可求得高为

2122，所以体积V＝×1×1×＝. 2326

11．如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是____2πR2____．

解析 由球的半径为R，可知球的表面积为4πR2.设内接圆柱底面半径为r，高为2h，则h＋r＝R.而圆柱的侧面积为2πr·2h＝4πrh≤4π

2

2

2

r2＋h2

2

＝2πR2(当且仅

当r＝h时等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为2πR2，此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为2πR2.

12．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点

A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为___13_____cm. 解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13 (cm)． 三、解答题

13．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图． (1)请画出该安全标识墩的侧视图； (2)求该安全标识墩的体积．

解析 (1)侧视图同正视图，如图所示：(2)该安全标识墩的体积为

V＝VPEFGH＋VABCDEFGH＝×402×60＋402×20＝64 000(cm3)．

14 .一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成

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1

3

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的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.

解析 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为3，所以V＝1×1×3＝3.

(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1， 所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形， S＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋23.

15．已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.

解析 由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、 右侧面均为底边长为6，高为h2的等腰三角形，如右图所示． 11

(1)几何体的体积为：V＝·S矩形·h＝×6×8×4＝64.

33

(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h1＝42＋32＝5.左、右侧面的底边上的高为：h2＝42＋42＝11

×8×5＋×6×42＝40＋242. 42.故几何体的侧面面积为：S＝2×22

1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）. .

a2a解：设展开图的正方形边长为a，圆柱的底面半径为r，则2πr=a，r，底面圆的面积是，

42a2a212于是全面积与侧面积的比是22， a22．在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ）.

2．解：正方体的体积为1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是11111115，于是8个三棱锥的体积是，剩余部分的体积是， ()3222248663．一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，对角线长分别是6cm和8cm，高是5cm，则这个直棱柱的全面积是 。 3．答案：148 cm2

解：底面菱形中，对角线长分别是6cm 和8cm，所以底面边长是5cm，

侧面面积是4×5×5=100cm2，两个底面面积是48cm2， 所以棱柱的全面积是148cm2.

4．已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，则它们的高之比为 。

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4．答案：22：5

解：设圆柱的母线长为l，因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：

242，所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是和，

332rl2l由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式，得r1，r2，

l33ll2()2322. 所以它们的高的比是2l5l2()235．已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1cm，2cm，3cm，则此棱锥的体积_________ 5．答案：1cm3

解：转换一个角度来认识这个三棱锥，即把它的两条侧棱(如长度为1cm，2cm的两条)确定的侧面看作底面，另一条侧棱作为高，则此三棱锥的底面面积是1，高为3，

1 则它的体积是×1×3=1cm3.

3 6．矩形两邻边的长为a、b，当它分别绕边a、b 旋转一周时, 所形成的几何体的体积之比为

b6．答案：

a解：矩形绕a边旋转，所得几何体的体积是V1=πb2a，矩形绕b边旋转，所得几何体的体积是V2=πa2b，

V1b2ab所以两个几何体的体积的比是2

V2aba16．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.

(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积．

解析 (1)如图，在四面体ABCD中，设AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中点为P，

BC的中点为E，连接BP、EP、CP.得到AD⊥平面BPC，∴VA-BCD＝VA-BPC＋VD-BPC 11111＝·S△BPC·AP＋S△BPC·PD＝·S△BPC·AD＝··a 33332

a－－·x＝

4

4

2

x2a2a12

?3a2－x2?x2

3a21361≤·＝a(当且仅当x＝a时取等号)．∴该四面体的体积的最大值为a3. 122828

a(2)由(1)知，△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰6316

长为a，底边长为a，∴S表＝2×a2＋2××a×

2422

32610a3215a23＋152

＝a＋a×＝a＋＝a. 224244

2

62

a－a

4

2

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