2021年九年级中考数学复习 几何专题：矩形、菱形(含答案)

一、选择题（本大题共10道小题）

1. 如图所示，P

是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是( )

2. 关于▱ABCD

的叙述，正确的是( )

A. 若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B. 若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形 C. 若AC＝BD，则▱ABCD是矩形 D. 若AB＝AD，则▱ABCD是正方形

3. （2020·武威）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实

际需要可以调节AE间的距离．若AE间的距离调节到60cm，菱形的边长AB＝20cm，则∠DAB的度数是（ ）

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A．90°

B．100°

C．120°

D．150°

4. （2020·牡丹江）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，

23)，将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为 （ ）

A．(2,23)或(23,2) C．(2,23)

y B．(2,23)

D．(2,23)或(2,23)

AB C

5. （2020·黄冈）若菱形的周长为

16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）

C．6∶1

D．7∶1

A．4∶1 B．5∶1

6. （2020·乐山）如图，在菱形

ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于E，连接OA，则四边形AOED的周长为（ ）

A．9＋23

B．9＋3

C．7＋23

D．8

7. 如图，在矩形

ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是( )

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1

A. △AFD≌△DCE B. AF＝2AD C. AB＝AF D. BE＝AD－DF

ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2

﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（ ）

8. （2020·黔东南州）若菱形

A．16

B．24 C．16或24 D．48

9. （2020·邵阳）将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作：

(1)将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A1处,

(2)将DP沿DA1向内继续折叠，使点P落在点P1处，折痕与边AB交于占M.

若P1M⊥AB,则∠DP1M的大小是（ ） A.135° B. 120° C. 112.5° D.115°

10. (2020·绥化)如图，在

Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE＋∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3．下列结论：①DE＝1BC；

2②四边形DBCF是平行四边形；③EF＝EG；④BC＝25．其中正确结论的个数是( )

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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

F G

D B C

二、填空题（本大题共6道小题）

11. 如图，在菱形

ABCD中，AB＝5，AC＝8，则菱形的面积是________．

12. 如图，延长矩形

ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE.如果∠ADB

＝30°，则∠E＝________度.

13. 在菱形

ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为________．

14. （2020·四川甘孜州）如图，有一张长方形纸片

ABCD，AB＝8cm，BC＝10cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C'恰好经过点D，则线段DE的长为__________cm．

15. 如图，在△

ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边

形ADBC的形状是 形，点P，E，F分别为线段AB，AD，DB上的任意

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一点，则PE+PF的最小值是 .

16. 如图，在矩形纸片

ABCD中，AB＝6，BC＝10.点E在CD上，将△BCE沿

BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处．有下列结论：

3

①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝2S△FGH；④AG＋DF＝FG. 其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)

三、解答题（本大题共5道小题）

17. 如图，对折矩形纸片

ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平;

再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于E;延长PF交AB于G.求证: (1)△AFG≌△AFP; (2)△APG为等边三角形.

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18. 如图，将▱ABCD

的边AB延长至点E，使BE=AB，连接BD，DE，EC，DE

交BC于点O.

(1)求证:△ABD≌△BEC;

(2)若∠BOD=2∠A，求证:四边形BECD是矩形.

19. 已知：如图，在菱形

ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=DF，

连结AE，AF.求证：AE=AF.

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20. 如图，已知△

ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到

△ADE，连接BD、CE交于点F. (1)求证：△AEC≌△ADB；

(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．

21. 如图，⊙O的直径

AB＝4，C为⊙O上一点，AC＝2.过点C作⊙O的切线DC，

︵

P点为优弧CBA上一动点(不与A、C重合)． (1)求∠APC与∠ACD的度数；

︵

(2)当点P移动到劣弧CB的中点时，求证：四边形OBPC是菱形； (3)当PC为⊙O的直径时，求证：△APC与△ABC全等．

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2021中考数学 几何专题：矩形、菱形-答案

一、选择题（本大题共10道小题）

1. 【答案】C

【解析】本题考查菱形的性质、相似三角形的性质、函数的图象和

二次函数的图象和性质. 解题思路：设AC、BD交于点O，由于点P是菱形ABCD

AP

的对角线AC上一动点，所以0＜x＜2.当0＜x＜1时，△AMN∽△ABD⇒AO＝MNxMN12

⇒＝⇒MN＝x⇒y＝BD112x.此二次函数的图象开口向上，对称轴是x＝0，此时y随x的增大而增大. 所以B和D均不符合条件．当1＜x＜2时，△CMN

CPMN2－xMN11

∽△CBD⇒CO＝BD⇒1＝1⇒MN＝2－x⇒y＝2x(2－x)＝－2x2＋x.此二次函数的图象开口向下，对称轴是x＝1，此时y随x的增大而减小. 所以A不符合条件．综上所述，只有C是符合条件的．

2. 【答案】C

【解析】逐项分析如下表：

选项 A B C D 3. 【答案】连结

逐项分析 有一个角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是正方形 对角线相等的平行四边形是矩形 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不一定是正方形 正误 × × √ × AE，

∵AE间的距离调节到60cm，木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成， ∴AC＝20cm，

∵菱形的边长AB＝20cm， ∴AB＝BC＝20cm，

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∴AC＝AB＝BC， ∴△ACB是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴∠DAB＝120°． 故选：C．

4. 【答案】D

【解析】菱形OABC中，点A的坐标为（2，23)，所以OA=4，∠A=∠C=60°，分类讨论，

①若顺时针旋转，旋转后的图形如图1所示，则OC=OA=4，∠C=60°，可求出点C对应点的坐标为（-2，-23)；

②若逆时针旋转，旋转后的图形如图2所示，则OC=OA=4，∠C=60°，可求出点C对应点的坐标为（2，23).

y

OC图1

Bx BAy OCx

图2

5. 【答案】B

【解析】本题考查了菱形的性质及锐角三角函数等知识．由菱形的周长为16可得其边长为4，而高为2，即转化为已知某一直角三角形的斜边为4，一直角边

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21，可得锐角α=30°，所以该菱形的42两邻角为150°和30°，两邻角之比5∶1，因此本题选B．

为2，求该直角三角形的锐角．由sinα=

6. 【答案】B

【解析】由已知及菱形的性质求得∠ABD＝∠CDB＝30º，AO⊥BD，利用含30º的直角三角形边的关系分别求得AO、DO、OE、DE，进而求得四边形AOED的周长．∵四边形ABCD是菱形，O是对角线AC的中点，∴AO⊥BD，AD＝AB＝4，AB∥DC；∵∠BAD＝120º，∴∠ABD＝∠ADB＝∠CDB＝30º；∵OE⊥DC，

1

∴在Rt△AOD中，AD＝4，AO＝2AD＝2，DO＝AD2－AO2＝23；在Rt△

1

DEO中，OE＝2OD＝3，DE＝AD2－AO2＝3，∴四边形AOED的周长为AO＋OE＋DE＋AD＝2＋3＋3＋4＝9＋3．

7. 【答案】B

【解析】逐项分析如下表：

逐项分析 正误 选项 A ∵四边形ABCD是矩形，AF⊥DE，∴∠C＝90°＝∠AFD，AD∥BC，∴∠ADF＝∠CED，∵AD＝DE，∴△AFD≌△DCE(AAS) 1只有当∠ADF＝30°时，才有AF＝2AD成立 由△AFD≌△DCE可知，AF＝DC，∵矩形ABCD中，AB＝DC，∴AB＝AF ∵△AFD≌△DCE，∴DF＝CE，∴BE＝BC－CE＝AD－DF √ B × C D √ √ 8. 【答案】B

【解析】解方程x2﹣10x+24＝0得（x﹣4）（x﹣6）＝0，∴x＝4，或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长为4AB＝24．

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9. 【答案】

C

【解析】本题考查了折叠问题、三角形内角和定理、矩形的性质，由折叠前后对

90可先求出∠DMP应角相等且PMA11DMA45，进一步求出

再由折叠可求出MDP最后在DPMADM45，11ADPPDM22.5，中由三角形内角和定理即可求解．

90， 解：由折叠知，PMA1∴∠DMP1DMA45，即ADM45， 由折叠可得，

1ADPPDMADM22.5， ∴MDP12=1804522.5112.5，因此本题选C． ∴在DPM中，DPM1110. 【答案】D

【解析】(1)∵DF⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC．∵点D是AB的中点，∴点E是AC的中点．∴DE＝2BC．可见结论①正确． (2)∵AC与DF互相垂直平分，∴四边形ADCF是菱形．∴FC

四边形DBCF是平行四边形．可见结论②正确．

AD．∴FC

DB．∴

1(3)∵∠CDE＋∠EGC＝180°，∠EGF＋∠EGC＝180°，∴∠CDE＝∠EGC．由菱

形的性质得∠CDE＝∠EFG，∴∠EGF＝∠EFG．∴EF＝EG．可见结论③正确．

(4)易知△FEG∽△FCD，∴FC＝FD，即FE·FD＝FC·FG．∴2DE2＝2×5，DE＝5．∴BC＝2DE＝25．可见结论④正确．综上所述，正确结论有4个，故选D．

二、填空题（本大题共6道小题）

11. 【答案】24

FEFG【解析】如解图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，AB＝5，AC＝8，且菱形的对角线互相垂直平分，∴OA＝4，在Rt△AOB

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11

中，由勾股定理得OB＝3，∴BD＝6，∴S菱形ABCD＝2AC·BD＝2×8×6＝24.

解图

12. 【答案】15

【解析】如解图，连接AC.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AC＝BD，又∵AB＝BA，∴△DAB≌△CBA(SSS)，∴∠ACB＝∠ADB＝30°，

1

∵CE＝BD，∴AC＝CE，∴∠E＝∠CAE＝2∠ACB＝15°.

解图

13. 【答案】105°或

45° 【解析】如解图，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝30°，

∴∠ABC＝150°，∠ABD＝∠DBC＝75°，且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况：(1)当点E在△ABD内时，∠E1BC＝∠E1BD＋∠DBC＝30°＋75°＝105°；(2)当点E在△DBC内时，∠E2BC＝∠DBC－∠E2BD＝75°

－30°＝45°.综上所述，∠EBC的度数为105°或45°.

解图

14. 【答案】5

【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理．

∵长方形纸片ABCD，AB＝8，BC＝10，∴AB'＝8，AD＝10，B'C'＝10．

在Rt△ADB'中，由勾股定理，得DB'＝6．∴DC'＝4． 设DE＝x，则CE＝C'E＝8－x．

在Rt△C'DE中，由勾股定理，得DE2＝EC'2＋DC'2

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即x2＝(8－x)2＋42．

∴x＝5．即线段DE的长为5cm．

B'8A8B10x6D4C'E8-xC10

15. 【答案】菱 [解析]∵AC=BC，∴△ABC是等腰三角形.

将△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC=BC=AD=BD，∴四边形ADBC是菱形. ∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴△ABC与△ABD关于AB成轴对称.

如图所示，作点E关于AB的对称点E'，连接PE'，根据轴对称的性质知AB垂直平分EE'，∴PE=PE'， ∴PE+PF=PE'+PF，

当E'，P，F三点共线，且E'F⊥AC时，PE+PF有最小值，该最小值即为平行线AC与BD间的距离.

作CM⊥AB于M，BG⊥AD于G，由题知AC=BC=2，AB=1，∠CAB=∠BAD，

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∴cos∠CAB=cos∠BAD，即=，∴AG=，

在Rt△ABG中，BG===，

由对称性可知BG长即为平行线AC，BD间的距离， ∴PE+PF的最小值=

16. 【答案】①③④ 【解析】由折叠的性质得，∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，

.

1∴∠EBG＝∠FBE＋∠FBG＝2×90°＝45°，故①正确；由折叠的性质得，BF＝BC＝10，BA＝BH＝6，∴HF＝BF－BH＝4，AF＝BF2－BA2＝102－62＝8，设GH＝x，则GF＝8－x，在Rt△GHF中，x2＋42＝(8－x)2，∴x＝3，∴GF＝5，

810ED

∴AG＝3，同理在Rt△FDE中，由FD2＝EF2－ED2，得ED＝3，EF＝3，∴FD4AB1＝3≠AG＝2，∴△DEF与△ABG不相似，故②不正确；S△ABG＝2×3×6＝9，S△FGHS△ABG931＝2×3×4＝6，∴＝＝，故③正确；∵AG＝3，DF＝AD－AF＝2，∴FG

S△FGH62＝5，∴AG＋DF＝FG＝5，故④正确．综上，答案是①③④.

三、解答题（本大题共5道小题）

17. 【答案】

证明:(1)∵对折矩形纸片ABCD，使AB与CD重合，得到折痕MN， ∴MN∥AB，M，N分别为AD，BC中点，由平行线的性质可知PF=GF. 由折叠的性质得∠PFA=∠GFA=90°， ∴△AFG≌△AFP(SAS).

(2)∵△AFG≌△AFP，∴AP=AG，∠2=∠3. 又∵∠2=∠1，∴∠1=∠2=∠3.

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又∵∠1+∠2+∠3=90°，∴3∠2=90°，∴∠2=30°，∠PAG=2∠2=60°，∴△APG为等边三角形.

18. 【答案】

[解析](1)根据平行四边形的判定与性质得到四边形BECD为平行四边形，然后由SSS推出两三角形全等即可;(2)欲证明四边形BECD是矩形，只需推出BC=ED即可.

证明:(1)在▱ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD. 又∵BE=AB，∴BE=DC， ∴四边形BECD是平行四边形， ∴BD=EC.

在△ABD与△BEC中，

∴△ABD≌△BEC(SSS).

(2)由(1)知四边形BECD是平行四边形， 则OD=OE，OC=OB.

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD.

又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，

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∴∠OCD=∠ODC， ∴OC=OD， ∴BC=ED，

∴平行四边形BECD是矩形.

19. 【答案】

∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠B=∠D，

∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=CF．

20. 【答案】

(1)证明：∵△ADE是由△ABC绕点A沿顺时针方向旋转而得， ∴AD＝AB，AE＝AC，∠BAC＝∠DAE，(1分) ∵AB＝AC，

∴AD＝AB＝AE＝AC，∠EAC＝∠DAB， 在△AEC和△ADB中

AD＝ AE

∵∠EAC＝∠DAB， AB＝AC

∴△AEC≌△ADB(SAS)．(3分)

(2)解：当四边形ADFC是菱形时，AC＝DF，AC∥DF， ∴∠BAC＝∠ABD， 又∵∠BAC＝45°， ∴∠ABD＝45°，(5分)

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又∵△ADE是由△ABC绕点A沿顺时针方向旋转而得， ∴AD＝AB，

∴∠DAB＝90°，(6分) 又∵AB＝2，

由勾股定理可得：BD＝AD2＋AB2＝2AB＝22， 在菱形ADFC中，DF＝AD＝AB＝2， ∴BF＝BD－DF＝22－2.(8分)

21. 【答案】

1

(1)解：∵AC＝2，OA＝OB＝OC＝2AB＝2， ∴AC＝OA＝OC， ∴△ACO为等边三角形，

∴∠AOC＝∠ACO＝∠OAC＝60°， 1

∴∠APC＝2∠AOC＝30°， 又∵DC与⊙O相切于点C， ∴OC⊥DC， ∴∠DCO＝90°，

∴∠ACD＝∠DCO－∠ACO＝90°－60°＝30°；

解图

(2)证明：如解图，连接PB，OP，

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∵AB为直径，∠AOC＝60°， ∴∠COB＝120°，

︵

当点P移动到CB的中点时，∠COP＝∠POB＝60°， ∴△COP和△BOP都为等边三角形， ∴OC＝CP＝OB＝PB， ∴四边形OBPC为菱形；

(3)证明：∵CP与AB都为⊙O的直径， ∴∠CAP＝∠ACB＝90°， 在Rt△ABC与Rt△CPA中， AB＝CP， AC＝AC

∴Rt△ABC≌Rt△CPA(HL)．

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