一阶线性非齐次微分方程求解方法归类

一阶线性非齐次微分方程

一、线性方程

方程

dyP(x)yQ(x)dx 1

叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。 如果 Q(x)0，则方程称为齐次的；

如果 Q(x) 不恒等于零，则方程称为非齐次的。

a) 首先，我们讨论1式所对应的齐次方程

dyP(x)y0dx 2

的通解问题。

dyP(x)dx分离变量得 y

lnyP(x)dxlnc

两边积分得

或

yceP(x)dx

其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。 将1的通解中的常数c换成的未知函数u(x)，即作变换

yueP(x)dx

P(x)dxP(x)yuP(x)e两边乘以得

dyueP(x)dxuP(x)eP(x)dx两边求导得 dx

代入方程1得

ueP(x)dxQ(x) ， uQ(x)eP(x)dx

ucQ(x)eP(x)dxdx

于是得到非齐次线性方程1的通解

yeP(x)dxcQ(x)eP(x)dxdx将它写成两项之和



yceP(x)dxeP(x)dxQ(x)eP(x)dxdx

非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解【例1】求方程

dy2ydxx1的通解。

3(x1)2

解：

322dxx1dxx12ye[c(x1)edx]3ln(x1)22[c(x1)edx]

eln(x1)2

1(x1)2[c(x1)2dx]

1(x1)2[c2(x1)2]

由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。

以下几类为一阶微分方程的简捷求法

1 预备知识

dyP(x)yQ(x)形如 dx (1)

的方程称为一阶线性方程.这里P(x)、Q(x)在所考虑的区间上是连续的.当Q(x)0时,方

dyP(x)y0dx程(1)变为 (2)

方程(1)(Q(x)0)称为一阶非齐次线性方程,而方程(2)称为与(1)相对应的一阶齐次线性方程.方程(1)可用常数变易法求解,方程(2)可用分离变量法求解.

dyP(x)yQ(x)yn形如 dx (n0,1) (3)

的方程称为伯努利方程.它可通过变量代换、常数变易、变量回代等求解过程转化为一阶线性微分方程来求解.

现提出几类一阶微分方程,并用简洁方法进行求解.

2 主要结果

定理1 若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式

'dynF(x)F(x)yQ(x)dx (4) n则它的通解为

y1Q(x)dxCnF(x) (5)

ndF(x)dyyQ(x)nF(x)证明 将方程(4)化为 dxdx

Fn(x)dydFn(x)yQ(x)dx

dFn(x)yQ(x)dx

两边积分得

Fn(x)yQ(x)dxC

y1Fn(x)Q(x)dxC 证毕.

推论1 若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式

F(x)dydxF'(x)yQ(x) (6)

则它的通解为

y1F(x)Q(x)dxC 定理2 若一阶齐次线性微分方程具有如下形式

Fn(x)dydxFn(x)'y0 (8)

则它的通解为 (9)

(7)

yCFn(x)

y1Q(x)dxC证明 在定理1的结果

Fn(x)中,取Q(x)0便可得证.

推论2 若一阶齐次线性微分方程具有如下形式

F(x)dydxF'(x)y0 (10)

则它的通解为 (11)

定理3 若一阶微分方程具有如下形式

dydxP(x)ylnF(y)Q(x)ylnnF(y) (12)

dlny当n1时,其通解为 lnF(y)Q(x)P(x)dxC 当n1时,其通解为

其中lnF(y)在所考虑区间上是连续的.

dy证明 若n1,方程(12)变为 dxP(x)ylnF(y)Q(x)ylnF(y) 程为可分离变量的微分方程.分离变量得

C yF(x)

(15)此方

(13)

dyQ(x)P(x)dxylnF(y) dlnyQ(x)P(x)dxlnF(y)

dlny两边积分得 lnF(y)Q(x)P(x)dxC

此即为方程(15)的通解表达式.

若n1,方程(12)两端同除以

ylnnF(y)得 1dyylnnF(y)dxP(x)lnn1F(y)Q(x)令

zln1nF(y),则 定理3 若一阶微分方程具有如下形式

F(x)dyF'(x)yQ(x)yndx (n0,1) (12)

1则它的通解为

yFn(x)Q(x)dxC 证明 将方程(12)化为

F(x)dydF(dxx)dxyQ(x)yndF(x)yynQ(x)dx

(5)

ynF(x)dydF(x)1nyQ(x)方程两端除以yn,得到

dxdx

Fn(x)dy1ndFn(x)1ndxdxy1nQ(x)

令zy1n,则

(1n)yndydzdxdx,代入上式,得到关于变量z的一阶线性方程

Fn(x)dzdFn(x)1ndxdxzQ(x)

Fn(x)dz(1n)dFn(x)z(1n)Q(x)dx

dFn(x)yQ(x)dx

两边积分得

Fn(x)yQ(x)dxC

y1Fn(x)Q(x)dxC 证毕.

定理3 若一阶线性微分方程具有如下形式

Fn(x)dydxFn(x)'yQ(x)yn (n0,1) (12)

则它的通解为

y1Fn(x)Q(x)dxC (5)

ndF(x)dyyQ(x)ynnF(x)dxdx证明 将方程(12)化为

ndF(x)dyy1nQ(x)nnyF(x)ndxdx方程两端除以y,得到

Fn(x)Fn(x)dy1ndy1nQ(x)1ndxdx

dydzdxdx,代入上式,得到关于变量z的一阶线性方程

1nzy令,则

(1n)ynnF(x)Fn(x)dzdzQ(x)1ndxdx

nFn(x)dz(1n)dF(x)z(1n)Q(x)dx

ndF(x)yQ(x)dx

两边积分得

Fn(x)yQ(x)dxC

y1Q(x)dxCnF(x) 证毕.