湖南省醴陵一中、攸县一中、浏阳一中2013年高三元月联合考试数学(理)试题

时量：150分 分值：150分 命题人：黎友贵 审题人：陈昌龙

参考公式：（1）柱体体积公式VSh，其中S为底面面积，h为高。 （2）球的表面积公式S=4πR2，其中R为求的半径。

一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。 1．若

1i1ibA. 1 B. 0 C. 1 D. 2

abi,a,bR,则

a的值是 ( )

2．全集UR,且A{x|x12},B{x|x26x80},则(CUA)B（ ） A．[1,4) B. (2,3) C. (2,3] D. (1,4) 3．命题“xR,xx A．xR,xx C．xR,xx222140\" 的否定是（ ）

214140 B．xR,xx0 D．xR,xx214140 0

4．给定性质: ①最小正周期为π；②图象关于直线x=

3对称，则下列四个函数中，

同时具有性质①、②的是（ ）

x A．y = sin(2x－) B．y = sin(+) C．y = sin(2x+) D．y = sin|x|

62665．设

{an}是各项为正数的无穷数列，i是边长为

Aai,ai1{A}的矩形面积（i1,2,），则n为等比数列的充要条件为

A．C．D．

{an}是等比数列。 B．

和和

a1,a3,,a2n1,或

a2,a4,,a2n,是等比数列。

a1,a3,,a2n1,a1,a3,,a2n1,a2,a4,,a2n,a2,a4,,a2n,均是等比数列。

均是等比数列，且公比相同。

6．已知函数f(x)是(,)上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)f(x)，且 当x[0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2011)f(2012)（ ）

A．1log23 B．1log23 C．1 D．1

第1页

yx7.设m>1，在约束条件ymx下，目标函数z=x+my的最大值大于2，则m的取值范围为

xy1A．(1,12) B．(1（1，3） D．(3,) 2,) C．

8．定义域为[a,b]的函数yf(x)图像的两个端点为A、B，M(x，y)是f(x)图象上任意一点，其中xa(1)b,0,1．已知向量ONOA1OB，若不等式 则称函数f(x)在[a,b]上“k阶线性近似”．若函数yxMNk恒成立，

[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为( ) 13A．[0，+∞) B．, C．12232, D．22,

1x在

二.填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。

(一)、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）

0与点Q关于直线cos(9． 在极坐标系中，点P2，PQ ．

4)22对称，

10．如图，已知△ABC内接于圆O，点D在OC 的延长线上，AD是⊙0的切线，

若∠B=30°，AC=2，则OD的长为 ．

11．已知：x+2y+3z=1,则xyz的最小值是 .

(二)、必做题（12~16题）

1111

12. 如图给出的是计算＋＋＋„＋的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件

2462 012

是 .

222第2页

13、已知向量a, b，其中|a|且(ab)a，则向量a和b的夹角是 . 2,|b|2，y2 14、已知F1、F2分别是双曲线则|PF2|的值为 .

x2412F1|=3，1的左、右焦点，点P是双曲线上的点，且|P

15．已知曲线f(x)xn1(nN*)与直线x1交于点P，若设曲线y=f（x）在点P处的

切线与x轴交点的横坐标为xn,则log2012x1log2012x2log2012x2011的值为 ．

16.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色：先染1，再染两个偶数2、4；再染4后面最邻近的三个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的四个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的五个连续奇数17、19、21、23、25；按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，„„．则在这个红色子数列中，由1开始的第2011个数是_____________.

三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分12分)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收2元（不足1小时的部分按1小时计算）。有人独立来该租车点租车骑游。各租一车一次。设甲、乙不

1111,,超过两小时还车的概率分别为42；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为24；

第3页

两人租车时间都不会超过四小时。

（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望E.

18. （本小题满分12分）

已知数列{an}满足条件：a1t,an12an1 （1）判断数列{an1}是否为等比数列； （2）若t1，令cn2nanan1, 记Tnc1c2c3...cn

证明：Tn1

19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P--ABCD中，PB底面ABCD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB=AD=PB=3，BC=6．点E在棱PA上，且PE=2EA.

(1)求异面直线PA与CD所成的角； (2)求证：PC∥平面EBD；

(3)求二面角A—BE--D的余弦值．

CEPB

20(本小题满分13分).某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容

80器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为3立方米，

且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c＞3)千元，设该容器的建造费用为y千元．

（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r．

DA第4页

21.(本小题满分13分) 设椭圆E中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为4,点M（2，2）

在椭圆上，。 （1）求椭圆E的方程；

（2）设动直线L交椭圆E于A、B两点，且OAOB，求△OAB的面积的取值范围。

22.（本小题满分13分）已知函数f(x)lnx，g(x)12（Ⅰ）设h(x)f(x1)g(x)（其中g(x)是g(x)的导函数），求h(x)的最大值；

2x2x．

（Ⅱ）求证: 当0ba时，有f(ab)f(2a)ba2a；

（Ⅲ）设kZ,当x1时,不等式k(x1)xf(x)3g(x)4恒成立，求k的最大值.

参考答案

一．选择题 BCDA D CBD

二．填空题

9．22； 10.4； 11．12. i<1007？ 13.

4114

； 14.7；

15.-1； 16.3959

三．解答题

17. (本小题满分12分)

解：（1）所付费用相同即为0,2,4元。设付0元为

P1111428，付2元为

第5页

P2111248，付4元为

P31114416

516则所付费用相同的概率为

PP1P2P3……………………………..4分

（2）设甲，乙两个所付的费用之和为，可为0,2,4,6,8…………….5分

P(0)P(2)P(4)P(6)P(8)1811115442216111111544242416111134424161114416……………………………………………….10分

分布列



P0185498

12722

4

63

8

5851651611616E………………………………………………………….12分

18. （本小题满分12分）

解:（1）证明：由题意得an112an22(an1) „„„„„2分 又a11t1, 所以，当t1时，{an1}不是等比数列

当t1时，{an1}是以t1为首项，2为公比的等比数列． „„„„5分 (2)解：由⑴知an2n1， „„„„„7分 故cn2nanan12nnn1(21)(21)121n12n11 1an1an1„„„„„9分

11111111Tnc1c2c3cn1nn1n1213371212第6页

„„„„12分

19．(本小题满分12分)

解： (1)∵PB⊥底面ABCD，在直角梯形ABCD中AB=AD=3，∴BC=6 取BC的中点F，连结AF，则AF∥CD.

∴异面直线PA和CD所成的角就是PA和AF所成的角∠PAF（或其补角），在△PAF中，AF=PA=PF=32，

∴∠PAF=60° „„„„„„3分 （2）连结AC交BD于G，连结EG，∵∴

AGGCAEEPAGGCADBC12,PECB又AEEP12,DA∴PC∥EG

又EG平面EBD，PC⊄平面EBD.∴PC∥平面EBD „„„„„7分 （3）∵PB⊥平面ABCD，∴AD⊥PB.又∵AD⊥AB,∴AD⊥平面EAB.

作AH⊥BE,垂足为H,连结DH,则DH⊥BE,

∴∠AHDAH=

是二面角A-BE-D的平面角.在△ABE中,BE=

5

ABAEsin45BE355ADAH,

5∴tan∠AHD=

66, 所以，二面角A-BE-D的余弦值为

„„„„„12分

20. （本小题满分13分） 解：（I）设容器的容积为V，

由题意知

VlVrl243r,又V3803,

4故

32rr3803r243r420(2r)3r

由于l2r

因此0r2.……………………………………………………………………………………………….3分

第7页

所以建造费用因此

y2rl34rc2r224202(2r)34rc,3r

y4(c2)r160r,0r2.160r2……………………………………………………..5分

（II）由（I）得

20c2y'8(c2)r8(c2)r2(r320c2),0r2.

由于c3,所以c20, 当

r30时,r3.c2

20320令c2所以

y'm,则m0

(rm)(rrmm).92228(c2)r2……………………………………………………….7分

（1）当

0m2即c时，

当r=m时,y'=0;当r(0,m)时,y'<0;当r(m,2)时,y'>0.

所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点。……………………….10分

（2）当m2即

3c92时，

当r(0,2)时,y'0,函数单调递减， 所以r=2是函数y的最小值点， 综上所述，当当

c923c92时，建造费用最小时r2;

3时，建造费用最小时r20c2…………………………………13分

21、(本小题满分13分) 解:（1）因为椭圆E:

故

可

求

得

xa22yb221（a>b>0）过M（2，2） ，2b=4

b=2,a=2

2

椭圆E的方程为

第8页

x28y241„„„2分

（2）设A（x1,y1）,B（x2,y2），当直线L斜率存在时设方程为ykxm，

ykxm22xy1482解方程组得

x2(kxm)822,即

(12k)x4kmx2m80,

22则△=16k2m24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0, 即8k2m240（*）„„„„„„„„„„„4分

4kmxx12212k2xx2m812212k22,

y1y2(kx1m)(kx2m)kx1x2km(x1x2)mk(2m8)12k2224km12k222m2m8k12k2222222m8m8k要使OAOB,需使x1x2y1y20,即0, 2212k12k所以3m8k80, 即m2228k832 ①„„„„„„„„„„„7分

将它代入（*）式可得k2[0,)„„„„„„„„„„„8分 P到L的距离为d12122|m|1k2 |m|1k2S|AB|d21k|x1x2|2又

12

m[(x1x2)4x1x2]第9页

将

S83m28k83k4222及韦达定理代入可得

14k4k1„„„„„„„„10分

一、

当k0时S831k4224k4k18314k211k2

4由4k21k2[4,) 故S8314k211k248(,22]„„„„„12分 3 

当k0时, S83

83当AB的斜率不存在时, S8 ,

综上S,22„„„„„„„„„„„13分

3

22、（本小题满分13分）

/解:（Ⅰ）h(x)f(x1)g(x)ln(x1)x2,x1所以 h(x)1x11xx1．

当1x0时，h(x)0；当x0时，h(x)0．

因此，h(x)在(1,0)上单调递增，在(0,)上单调递减．

因此，当x0时，h(x)取得最大值h(0)2； „„„„„„3分

1（Ⅱ）当0ba时，

ba2a0．由（1）知：当1abbaln12a2ax0时，即h(x)2，1(nl )xx．

因此，有

f(ab)f(2a)lnba2a．„„„„„„7分

2所以 xxlnxx12，则

（Ⅲ）不等式k(x1)xf(x)3g/(x)4化为kkxxlnxx1xlnxgx2x1xlnxxx12对任意x1恒成立．令gx，

2第10页

令hxxlnx2x1，则hx11xx1x0，所以函数hx在1,上

单调递增．

因为h31ln30,h422ln20，

所以方程hx0在1,上存在唯一实根x0，且满足x03,4． 当1xx0时，h(x)0，即g(x)0，当xx0时，h(x)0，即g(x)0， 所以函数gxxxlnxx12在1,x0上单调递减，在x0,上单调递增．

x01lnx0x012x01x02x012x025,6所以gxmingx0．

所以kgxminx025,6．故整数k的最大值是5. „„„„„13分

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