指数函数和对数函数综合题目与答案

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较，

指数函数和对数函数综合

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

【要点链接】

1．指数函数、幂函数、对数函数增长的比较：

对数函数增长比较缓慢，指数函数增长的速度最快．

2．要能熟练掌握指数函数、幂函数、对数函数的图像，并能利用它们的图像的增减情况解决 一些问题． 【随堂练习】 一、选择题

1．下列函数中随x的增大而增大速度最快的是（ ）

A．y121xe B．y100lnx C．yx100 D．y1002x 100122．若aa，则a的取值范围是（ ）

A．a1 B．a0 C．0a1 D．0a1

x3．f(x)2，g(x)3，h(x)()，当x∈（-,0)时，它们的函数值的大小关系

xx12是（ ）

A．h(x)g(x)f(x) B．g(x)f(x)h(x) C．g(x)h(x)f(x) D．f(x)g(x)h(x)

24．若1xb，a(logbx)，clogax，则a、b、c的关系是（ ）

A．abc B．acb C．cba D．cab

二、填空题

5．函数yx,yx,yxlnx,ye在区间(1,)增长较快的一个是__________． 6．若a＞0，b＞0，ab＞1，log1a=ln2，则logab与log1a的关系是_________________．

22x23x27．函数yx与y2的图象的交点的个数为____________．

三、解答题

2133－1

8．比较下列各数的大小： (－2)、()2、(－)、(－)5．

323

x2x29．设方程22x在(0,1)内的实数根为m，求证当xm时，22x．

254答案

1．A 指数增长最快．

2．C 在同一坐标系内画出幂函数yx及yxxx1212的图象，注意定义域，可知0a1．

x3．B 在同一坐标系内画出f(x)2，g(x)3，h(x)()的图象，观察图象可知．

124．D 1xb，则0logbxlogbb1，则0a1，则logaxloga10， 可知c0a1b．

---

-

5．ye 指数增长最快．

6．logab＜log1a 由log1a=ln20，则0a1，而ab＞1，则b1，

22x则logab0，而log1a0，则logab＜log1a．

22x27．3 在同一坐标系内作出函数yx与y2的图象，显然在x0时有一交点， 又x2时，2222，x3时，32，x4时，4224，而随着x的

增大，指数函数增长的速度更快了，则知共有3个不同的交点．

232223－11318．解： (－2)＝2、()2＝()2、(－)＝－、(－)5＝()5．

3332327241213－3∵(－2)5＞1、(－)＜0，而()2、(－)5均在0到1之间．

3234122252x考查指数函数y＝()在实数集上递减，所以()＞()．

333241

2313－

则(－2)5＞()2＞(－)5＞(－)．

323x2x29．证明：设函数f(x)2x2，方程22x在(0,1)内的实数根为m， 知f(x)在(0,1)有解xm，则f(m)0．

用定义容易证明f(x)在(0,)上是增函数，所以f(x)f(m)0，

x2x2即f(x)2x20，所以当xm时，22x．

备选题

1．设y10.0625，y20.03，y30.2，则（ ）

A．y3y2y1 B．y1y3y2 C．y2y1y3 D．y1y2y3

1．B y10.25，y30.04，而幂函数yx在x0上为增函数，则y1y3y2．

2．图中曲线是对数函数y=logax的图象，已知a取3,C2， C3，C4的a值依次为（ ）

4727472525144874747431,,四个值，则相应于C1， 5510431413 B．3,,,

35103105431413C．,3,, D．,3,,

351031052．C 作直线y1，与四个函数的图象各有一个交点，

A．3,,,从左至右的底数是逐渐增大的，则知则相应于 C1，C2， C3，C4的a值依次为

---

431,3,,． 3510-

指数函数复习

【要点链接】

1．掌握指数的运算法则；

2．熟练掌握指数函数的图像，并会灵活运用指数函数的性质，会解决一些较为复杂的 有关于指数函数复合的问题． 【随堂练习】 一、选择题

1．函数y2a的图象一定经过（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知三个实数a，ba，ca，其中0a1，则这三个数之间的大小关系是（ ）

A．bac B．abc C．acb D．cab 3．设f(x)()，x∈R，那么f(x)是（ ）

A．奇函数且在(0,)上是增函数 B．偶函数且在(0,)上是增函数 C．奇函数且在(0,)上是减函数 D．偶函数且在(0,)上是减函数 4．函数yabx12x1的值域是（ ） x21A．(,1) B．(,1)(0,) C．(1,) D．(,0)(0,)

二、填空题

5．若函数f(x)12x的定义域为是_______________．

6．函数f(x)(a3a3)a是指数函数，则a的值为_________． 7．方程2|x|=2－x的实数解有_________个．

三、解答题

x8．已知f(x)2，g(x)是一次函数，并且点(2,2)在函数f[g(x)]的图象上，点(2,5)在

2x函数g[f(x)]的图象上，求g(x)的解析式．

a·2x－1－a9．若函数y＝为奇函数． x2－1（1）确定a的值；（2）求函数的定义域；（3）讨论函数的单调性．

答案

1．A 当a0，图象不过三、四象限，当a1，图象不过第一象限．而由图象知

函数y2a的图象总经过第一象限．

2．C 由0a1，得aaa1，则ab1，所以aaa，即acb．

1a0ab1x1x1x(),(x0)3．D 因为函数f(x)()2，图象如下图．

22x,(x＜0)由图象可知答案显然是D．

x4．B 令t21 ，20，则21，又作为分母，则t1且t0，

xx---

-

1的图象，则t1且t0时值域是(,1)(0,)． t5．(,0] 由1-2x0 得2x1，则x0.

画出y6．2 知a3a31， a0且a1，解得a2．

7．2 在同一坐标系内画出y=2|x| 和 y=2－x的图象，由图象知有两个不同交点． 8．解：∵g(x)是一次函数，可设为g(x)kxb(k0)， 则f[g(x)]2kxb，点(2,2)在函数f[g(x)]的图象上， 可得222kb，得2kb1．

又可得g[f(x)]k2b，由点(2,5)在函数g[f(x)]的图象上， 可得54kb．

由以上两式解得k2,b3， ∴g(x)2x3．

x2a·2x－1－a19．解：先将函数y＝化简为y＝． a－2x－12x－1 （1）由奇函数的定义，可得f（－x）＋f（x）＝0，即

1－2x111 a－－x＋a－x＝0，∴2a＋＝0，∴a＝－． x21－22－12－111 （2）∵y＝－－x，∴2x－1≠0．

22－111 ∴函数y＝－－x定义域为{x|x≠0}．

22－1（3）当x＞0时，设0＜x1＜x2，

112x1－2x2则y1－y2＝x－x＝x． x12122－12－1(2－1)(2－1) ∵0＜x1＜x2，∴1＜21＜22．

∴21－22＜0，21－1＞0，22－1＞0．

xxxxxx11－x在（0，＋）上递增． 22－111 同样可以得出y＝－－x在（－，0）上递增．

22－1 ∴y1－y2＜0，因此y＝－

备选题

1．函数ya(a1)在区间[0,1]上的最大值是4，则a的值是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

11．C 函数ya(a1)在区间[0,1]上为增函数，则最大值是a4，则a4．

xx2．函数y＝a（a＞1）的定义域___________，值域___________． 2． {x|x≥2，或x≤0} {y|y≥1}

由x2x0，得定义域为{x|x≥2，或x≤0}； 此时x22x0，则值域为{y|y≥1}．

---

2x2－2x-

对数函数

【要点链接】

1．掌握对数的运算法则；

2．熟练掌握对数函数的图像，并会灵活运用对数函数的性质，会解决一些较为复杂的 有关于对数函数复合的问题． 【随堂练习】 一、选择题

1，则x等于（ ） 431A．x B．x C．x3 D．x9

3922．函数y＝lg（－1）的图象关于（ ）

1－x A．y轴对称 B．x轴对称 C．原点对称 D．直线y＝x对称

3．已知log2x1logax2loga1x30， 01．2log3xaA．x34．若函数f(x)loga(1的定义域和值域都是[0，1]，则a等于（ ） )(a0且a1）x121A． B．2 C． D．2

22

二、填空题

5．函数ylog2x13x2的定义域是 ．

6．设函数f(x)满足f(x)1f()log2x，则f(2) ． 7．已知alog13，blog1221211，clog1，则a、b、c按大小关系排列为___________． 323

三、解答题

8．若f(x)1logx3， g(x)2logx2，试比较f(x)与g(x)的大小．

29．若不等式xlogmx0在（0，

1）内恒成立，求实数m的取值范围． 2

答案

1122，则log3x2，则x32． 4921＋x2．C y＝lg（－1）＝lg，易证f(x)f(x)，所以为奇函数，

1－x1－x1．A 2lo3gx则图象关于原点对称．

3．D ∵02，∴x2<1-

11 1，要使值域也是[0，1]，就有f(x)0，则0a1，

2x111则f(x)在[0，1]为增函数，则loga10，loga1，解得a．

22225．(,1)(1,) 可知3x20，2x10且2x11，解得x且x1．

331111136． 由已知得f()1f()log22，则f()，则f(x)1log2x，

22222213 则f(2)1log22．

227．acb

alog230，blog231，clog32，则0c1，那么有acb．

3x8．解：f(x)g(x)logx(3x)logx4logx．

43x3x当0x1时，01，则logx0，则f(x)g(x)；

4443x当x时，1，则f(x)g(x)；

3443x3x当1x时，01，则logx0，则f(x)g(x)；

34443x3x当x时，1，则logx0，则f(x)g(x)．

344229．解：由xlogmx0得xlogmx.

4．A 0x1时，

2在同一坐标系中作yx和ylogmx的图象．

1）内恒成立， 212只要ylogmx在（0，）内的图象在yx的上方，于是02111121∵x=时y=x=，∴只要x=时ylogm≥． 24242111∴≤m4，即≤m. 2161又0162要使xlogmx在（0，

备选题

1．下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ）

A．y() B．y12x1 C．ylog3(x) D．yx3 x11（ ） ab1．D A、C是非奇非偶函数，B是奇函数，但在定义域内不为减函数，则选D．

2．11.21000，0.01121000，则

abA．1 B．2 C．3 D．4

---

-

2．A

11log100011.2，log10000.0112， ab1111.2则log1000log100010001． ab0.0112

x3．如果函数f(x)(3a)，g(x)logax它们的增减性相同，则a的取值范围

是______________． 3．1a2

由3a0且3a1，及a0且a1，得0a1，或1a2，

或2a3．当0a1或2a3时，f(x)与g(x)一增一减，

当1a2时，f(x)与g(x)都为增函数．

同步测试题 A组

一、选择题

1．已知32，那么log382log36用a表示是（ ）

A．a2 B．5a2 C．3a(1a) D．3aa

2．若函数yloga(xb)（a0且a1）的图象过两点(1,0)和(0,1)，则 ( )

A． a2a22,b2 B．a2,b2

2,b2

C．a2,b1 D．ax3．已知f(x)a,g(x)logax，(a0且a1)，若f(3)g(3)0 ， 则f(x)与

g(x)同一坐标系内的图象可能是（ ）

yyyyOAxOBxOCxODx---

-

4．若函数f(x)1，则f(x)在R上是（ ） 12xxA．单调递减，无最小值 B．单调递减，有最小值 C．单调递增，无最大值 D．单调递增，有最大值

5．设指数函数f(x)a(a0,a1)，则下列等式中不正确的是（ ）

A．f(x+y)=f(x)·f(y) B．f（xy）C．f(nx)[f(x)]nf(x) f(y)(nQ) D．f[(xy)n][f(x)]n·[f(y)]n(nN)

6．函数f(x)=logax1，在（－1，0）上有f(x)>0，那么（ ）

A．f(x)(－ ,0)上是增函数 B．f(x)在（－，0）上是减函数 C．f(x)在（－，－1）上是增函数 D．f(x)在（－，－1）上是减函数

二、填空题

log2x(x0)1f(x)x7．已知函数，则f[f()] ．

(x0)341x1xxx

8．直线x=a(a>0)与函数y=()，y=()，y=2，y=10的图像依次交于A、B、C、D四点，

32则这四点从上到下的排列次序是 ．

9．已知f(x)log1(32xx)，则值域是 ；单调增区间是 ．

22

三、解答题

10．求函数f(x)a|1a|(a0且a1）最小值．

11．已知函数f(x)|lgx|,如果0ab,且f(a)f(b),证明：ab1．

12．已知函数f(x)log1xmxm．

2xx2 （1）若m＝1，求函数f(x)的定义域；

（2）若函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围；

（3）若函数f(x)在区间,13上是增函数，求实数m的取值范围．

B组

一、选择题

1．已知函数y=kx与y=log1x图象的交点横坐标为2，则k的值为（ ）

21111A． B． C． D．

424 2x2．已知函数yab的图象不经过第一象限，则下列选项正确是（ ）

1,b2 B．a2,b3 21C．a,b1 D．a3,b0

2A．a---

-

3．若函数f(x)logax(0a1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值 为（ )

2211 B． C． D．

2442m4．若函数f(x)1x是奇函数，则m的值是（ ）

e11A．0 B． C．1 D．2

2A．

二、填空题

5．如图，开始时桶1中有a升水，t分钟后剩余的水符合指数

ntnt衰减曲线y1ae，那么桶2中水就是y2aae．

假设过5分钟时桶1和桶2的水相等，则再经过______ 分钟桶1中的水只有

a． 8

6．已知y＝loga（2－ax）在［0，1］上是x的减函数， 则a的取值范围是__________．

三、解答题

7．已知函数ybaxymin=

8．设函数f(x)log222x(a、b是常数且a>0，a≠1)在区间[－

3，0]上有ymax=3， 25，试求a和b的值． 2x1log2(x1)log2(px)．(p1) x1（1）求f(x)的定义域；

（2）f(x)是否存在最大值或最小值？如果存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由．

答案

A组

a1．A 32，则alog32，log382log363log322(1log32)a2． 2．B 由已知可得0loga(b1)，则b2，又1logabloga2，则a2． 3．C f(3)g(3)0，则g(3)0，则0a1，则f(x)与g(x)都为减函数．

1x1，则f(x)无最大值，也无最小值， 4．A 121，则012x而显然f(x)为减函数

5．D 逐个验证可知D不正确

6．D 1x0时，0x11，而f(x)>0，则0a1，画出f(x)=logax1的

图象，知f(x)在（－，－1）上是减函数．

---

-

7． f()log219141112，则f[f()]32． 4498．D、C、B、A 画出图象可知．

9．2,，1,1

有32xx20，则3x1，在x1时32xx2有最大值4， 2令t32xx，则0t4，则log1tlog142，则值域是2,，

222 在1,1上，t32xx递减，则f(x)log1(32xx2)单调增区间是1,1．

22ax1,(x0)10．解：当a1时，f(x) 画出图象，知此时f(x)min1．

1,(x0)2ax1,(x0)当0a1时，f(x) 画出图象，知此时f(x)min1．

1,(x0)xx由以上讨论知函数f(x)a|1a|(a0且a1）最小值为1．

11．证明：画出函数f(x)lgx的图象，

可以看出在(0,1]上为减函数，在[1,)上为增函数， ∵0ab时有f(a)f(b)，则不可能有1ab， 则只有0ab1及0a1b这两种情况． 若0ab1，显然ab1；

若0a1b，则f(a)f(b)化为lgalgb，则lgalgb，

则lgalgb0，lg(ab)0，可得ab1． 由以上讨论知，总有ab1．

15， 215152所以xx10的解为x或x，

221515)(,)． 于是函数的定义域为(,22 （2）因为函数的值域为R，所以0,uux2mxm，

212．解：（1）方程xx10的根为x故m4m0m4或m0．

（3）欲使函数在区间,13上是增函数，则只须

2m13m2232， 2m213m13m0所以223m2．

B组

1．A 由y=log1x，当x2时，y1，代入y=kx中，有12k，则k21． 2---

-

2．A 当a111,b2时，y()x2，其图象是y()x的图象向下平移了2个 222单位，则就不会经过第一象限了．

3．C 知f(x)在[a,2a]上为减函数，则最大值是logaa1，最小值是

2loga(2a)1loga2，则13(1loga2)，则loga2，

3323． log2a，a2242mexmmm4．D 由f(x)f(x)，得1x，则2， 1xxx1ee1e1e1mexmx可得2x，则m2． e1e115n5n5n5．10 根据题设条件得：aeaae，所以e．

2a113ntntnt15n令ae，则e，所以e()e，

882所以t=15．15－5=10（分钟）， 即再经过10分钟桶1中的水就只有

a． 86．a∈（1，2）

a＞0且a≠1（x）＝2－ax是减函数，要使y＝loga（2－ax）是减函数，

2（0＜x1）a＜2，所以a∈（1，2） x37．解：令u=x2+2x=(x+1)2－1 x∈[－，0] ，

2则a＞1，又2－ax＞0a＜

∴当x=－1时，umin=－1 ； 当x=0时，umax=0 ．

ba03a21)当a1时解得51bab222 ba13a32)当0a1时解得50bab3222aa23综上得或.b23b2x1x1x108．解：（1）由得， 所以f(x)的定义域为（1，p）．

x10xppx02（2）∵f(x)log2[(x1)(px)]log2[(xp1)2(p1)]．

24∴当

p11，即1p3时，f(x)既无最大值又无最小值； 2---

-

p1p1(p1)2当1时，f(x)有最大值log， p，即p3时，当x2224但没有最小值．

综上可知：当1p3时，f(x)既无最大值又无最小值；

当p3时，f(x)有最大值2log(p1)24，但没有最小值．

备选题

1．若log4［log3（log2x）］＝0，则x－12等于（ ）

A．

24 B．22 C．8 D．4 1．A 依题意可得x＝8，则x－12＝24．

2．函数f(x)|2x1|, 若a＜b＜c，且f(a)f(c)f(b)，则下面四个式子中成立的是（ A．a0,b0,c0 B．a0,b0,c0

C．2a2c

D．2c2a2

2．D 画出函数f(x)|2x1|的图象，可知a＜0，c＞0，所以2a-1<0, 2c-1>0, 又由f(a)f(c)，得1-2a >2c-1，所以2c2a2．

3．比较log20.4，log30.4，log40.4的大小．

3．解：∵对数函数y＝log0.4x在（0，＋）上是减函数， ∴log0.44＜log0.43＜log0.42＜log0.41＝0．

又反比例函数y＝1x在（－，0）上也是减函数． 所以111log＜＜，

0.42log0.43log0.44即log20.4＜log30.4＜log40.4．

4．已知函数f(x)2x．

（1）判断函数f(x)的奇偶性；

（2）把f(x)的图像经过怎样的变换，能得到函数g(x)2x2的图像；

(3)在直角坐标系下作出函数g(x)的图像． 4．解：（1）

函数f(x)定义域为R，

又 f(x)2x2xf(x)，

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）-

∴函数f(x)为偶函数．

（2）把f(x)的图像向左平移2个单位得到． (3)函数f(x)的图像如右图所示．

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