马鞍山市第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

一、选择题

1． 方程x11y1表示的曲线是（ A．一个圆

2）

C．两个圆

D．半圆）

B． 两个半圆

2． 一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（

A．B．（4+π）C．D．

）

2x3． 函数y(a4a4)a是指数函数，则的值是（ A．4

B．1或3

C．3

D．1

+

4． 设a，b∈R且a+b=3，b＞0，则当A．

B．

C．

或

D．3

取得最小值时，实数a的值是（ ）

5． “互联网”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（ A．10

B．20

C．30

）

2)，b(3，2)，若kab与a垂直，则实数k值为（ 6． 已知平面向量a(1，111A． B． C．11 D．19

59）D．40

【命题意图】本题考查平面向量数量积的坐标表示等基础知识，意在考查基本运算能力．7． 函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，－π≤φ≤π）的部分图象如图所示，则φ的值为（

22ω）

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A.18C.1 2

B．14D．1

x2y2

8． 已知双曲线C：221（a0，b0），以双曲线C的一个顶点为圆心，为半径的圆

ab2a，则双曲线C的离心率为（ ）被双曲线C截得劣弧长为321042436A． B． C． D．5555y222229． 圆(x-2)+y=r（r>0）与双曲线x-=1的渐近线相切，则r的值为（ ）3A．2 B．2 C．3 D．22【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查基本运算能力．

10．某几何体的三视图如下（其中三视图中两条虚线互相垂直）则该几何体的体积为（

）

A.8 B．43C.16D．2033

11．设函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）

12．若曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切）A．1　

B．2

C．3

D．4

是（ ）

线，则a+b=（

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二、填空题

13．阅读如图所示的程序框图，则输出结果S的值为 .【命题意图】本题考查程序框图功能的识别，并且与数列的前n项和相互联系，突出对逻辑判断及基本运算能力的综合考查，难度中等.

14．已知数列{an}满足an+1=e+an（n∈N*，e=2.71828）且a3=4e，则a2015=　　　　　　．　

315．【南通中学2018届高三10月月考】已知函数fxx2x，若曲线fx在点1,f1处的切线经

过圆C:x2ya2的圆心，则实数a的值为__________．

216．等比数列{an}的前n项和Sn＝k1＋k2·2n（k1，k2为常数），且a2，a3，a4－2成等差数列，则an＝________．17．如图是一个正方体的展开图，在原正方体中直线AB与CD的位置关系是　　　　　　．三、解答题

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x2y2218．已知椭圆C:221ab0的左右焦点分别为F1,F2，椭圆C过点P1,，直线PF1ab2交y轴于Q，且PF22QO,O为坐标原点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M是椭圆C上的顶点，过点M分别作出直线MA,MB交椭圆于A,B两点，设这两条直线的斜率分别为k1,k2，且k1k22，证明：直线AB过定点．

19．（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件（2）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件

+

=1．

20．（本小题满分12分）已知函数f(x)mlnx(42m)x（1）当m2时，求函数f(x)的单调区间；取值范围．

1(mR)．x（2）设t,s1,3，不等式|f(t)f(s)|(aln3)(2m)2ln3对任意的m4,6恒成立，求实数a的【命题意图】本题考查函数单调性与导数的关系、不等式的性质与解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力．

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21．已知椭圆

线被椭圆G截得的线段长为（I）求椭圆G的方程；

．

的左焦点为F，离心率为，过点M（0，1）且与x轴平行的直

（II）设动点P在椭圆G上（P不是顶点），若直线FP的斜率大于的取值范围．　

，求直线OP（O是坐标原点）的斜率

22．（本小题满分12分）

某校高二奥赛班N名学生的物理测评成绩（满分120分）分布直方图如下，已知分数在100-110的学生数有21人.

（1）求总人数N和分数在110-115分的人数；（2）现准备从分数在110-115的名学生（女生占

1）中任选3人，求其中恰好含有一名女生的概率；3（3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学生提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩（满分150分），物理成绩y进行分析，下面是该生7次考试的成绩.数学物理

8894

8391

117108

9296

108104

100101

112106

已知该生的物理成绩y与数学成绩是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理

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成绩大约是多少？

附：对于一组数据(u1,v1)，(u2,v2)……(un,vn)，其回归线vu的斜率和截距的最小二乘估计分

^n别为：(uu)(vv)iii1(uu)ii1n，avu.

^^223．(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程．

＝1＋3cos α在直角坐标系中，曲线C1：x（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐

＝＋23ysin α{)标系，C2的极坐标方程为ρ＝

.πsin（θ＋）4

（1）求C1，C2的普通方程；

（2）若直线C3的极坐标方程为θ＝3π（ρ∈R），设C3与C1交于点M，N，P是C2上一点，求△PMN的面

4

积．

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马鞍山市第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A【解析】

试题分析：由方程x11y1，两边平方得x1(1y1)，即(x1)(y1)1，所

222222以方程表示的轨迹为一个圆，故选A.考点：曲线的方程.2． 【答案】 D

【解析】解：由三视图知，几何体是一个组合体，是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，圆柱的底面直径和母线长都是2，四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，四棱锥的高与圆锥的高相同，高是∴几何体的体积是故选D．

【点评】本题考查由三视图求组合体的体积，考查由三视图还原直观图，本题的三视图比较特殊，不容易看出直观图，需要仔细观察．　

3． 【答案】C【解析】

=

，

=

，

考点：指数函数的概念．4． 【答案】C

【解析】解：∵a+b=3，b＞0，∴b=3﹣a＞0，∴a＜3，且a≠0．①当0＜a＜3时，f′（a）=

+

+

==

=

+

=f（a），

，

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当减．

时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递

∴当a=时，②当a＜0时，f′（a）=当递减．∴当a=﹣时，综上可得：当a=故选：C．

﹣

+ +

取得最小值．=﹣（=﹣

）=﹣（

+，

时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调

）=f（a），

时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当

+取得最小值．

+

取得最小值．

或时，

【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．　

5． 【答案】B【解析】

试题分析：设从青年人抽取的人数为x,考点：分层抽样．6． 【答案】A

x800,x20，故选B．506006008007． 【答案】

【解析】解析：选B.由图象知函数的周期T＝2，∴ω＝2π＝π，

2

即f（x）＝sin（πx＋φ），由f（－1）＝0得

4

－π＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ＋π.44又－π≤φ≤π，∴当k＝0时，φ＝π，

224则φ＝1，故选B.ω4

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8． 【答案】B

考点：双曲线的性质．9． 【答案】C

10．【答案】

【解析】选D.根据三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体挖去一个以正方体的中心为顶点，上底面为底面的正四棱锥后剩下的几何体如图，其体积V＝23－1×2×2×1＝20，故选D.

33

11．【答案】A

【解析】解：令f（x）=x3﹣∵f′（x）=3x2﹣∴f（x）=x3﹣

ln=3x2+在R上单调递增；

，

ln2＞0，

又f（1）=1﹣=＞0，f（0）=0﹣1=﹣1＜0，

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∴f（x）=x3﹣的零点在（0，1），

∵函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0），∴x0所在的区间是（0，1）．故答案为：A．　

12．【答案】A

【解析】解：∵f（x）=acosx，g（x）=x2+bx+1，∴f′（x）=﹣asinx，g′（x）=2x+b，

∵曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，∴f（0）=a=g（0）=1，且f′（0）=0=g′（0）=b，即a=1，b=0．∴a+b=1．故选：A．

【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线上过该点的切线的斜率，是中档题．　

二、填空题

13．【答案】

20162017【解析】根据程序框图可知，其功能是求数列{222}的前1008项的和，即S(2n1)(2n1)13352111112016(1)()().2015201733520152017201714．【答案】　2016　．

【解析】解：由an+1=e+an，得an+1﹣an=e，∴数列{an}是以e为公差的等差数列，则a1=a3﹣2e=4e﹣2e=2e，

∴a2015=a1+2014e=2e+2014e=2016e．故答案为：2016e．

【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差数列的通项公式，是基础题．　

15．【答案】2【解析】结合函数的解析式可得：f11211，

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对函数求导可得：f'x3x2，故切线的斜率为kf'13121，

22则切线方程为：y11x1，即yx2，

2圆C：x2ya2的圆心为0,a，则：a022.16．【答案】

【解析】当n＝1时，a1＝S1＝k1＋2k2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（k1＋k2·2n）－（k1＋k2·2n－1）＝k2·2n－1，∴k1＋2k2＝k2·20，即k1＋k2＝0，①又a2，a3，a4－2成等差数列．∴2a3＝a2＋a4－2，即8k2＝2k2＋8k2－2.②由①②联立得k1＝－1，k2＝1，∴an＝2n－1.答案：2n－1

17．【答案】　异面　．

【解析】解：把展开图还原原正方体如图，

在原正方体中直线AB与CD的位置关系是异面．故答案为：异面．　

三、解答题

x2y21；（2）证明见解析.18．【答案】（1）2【解析】

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试

题解析：

（1）PF22QO，∴PF2F1F2，∴c1，

11221,a2b2c2b21，2ab22∴b1,a2，

x2y21；即2（2）设AB方程为ykxb代入椭圆方程

∴kb1代入ykxb得：ykxk1所以， 直线必过1,1．1考点：直线与圆锥曲线位置关系．

2kb1222kx2kbxb10，xx,xAAxBAB122k2y1y1y1yB1kMAA,kMBB，∴kMAkMBAxAxBxAxBb21，

12k2yAxBxAyBxAxB2，

xAAxB【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．19．【答案】

【解析】解：（1）由题意作出可行域如下，

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，

结合图象可知，当过点A（2，﹣1）时有最大值，故Zmax=2×2﹣1=3；（2）由题意作图象如下，

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，

根据距离公式，原点O到直线2x+y﹣z=0的距离d=，

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故当d有最大值时，|z|有最大值，即z有最值；结合图象可知，当直线2x+y﹣z=0与椭圆

+

=1相切时最大，

联立方程

116x2﹣100zx+25z2﹣400=0，

化简可得，

故△=10000z2﹣4×116×（25z2﹣400）=0，故z2=116，

故z=2x+y的最大值为

．

【点评】本题考查了线性规划的应用及圆锥曲线与直线的位置关系的应用．　

20．【答案】

【解析】（1）函数定义域为(0,)，且f(x)令f(x)0，得x1m1(2x1)[(2m)x1]．242mxxx211，x2，………………2分22m当m4时，f(x)0，函数f(x)的在定义域(0,)单调递减； …………3分1111当2m4时，由f(x)0，得x；由f(x)0，得0x或x，22m22m1111所以函数f(x)的单调递增区间为(,)，递减区间为(0,)，(,)； 22m22m1111当m4时，由f(x)0，得或x，x；由f(x)0，得0x2m22m21111所以函数f(x)的单调递增区间为(,)，递减区间为(0,)，(,)．………5分2m22m2综上所述，m4时，f(x)的在定义域(0,)单调递减；当2m4时，函数f(x)的单调递增区间为111111当m4时，函数f(x)的单调递增区间为((,)，递减区间为(0,)，(,)；,)，22m22m2m211递减区间为(0,)，(,)．………6分2m2第 16 页，共 20 页

请

考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．21．【答案】

【解析】解：（I）∵椭圆

的左焦点为F，离心率为

．

，

过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为∴点

在椭圆G上，又离心率为

，

∴，解得

∴椭圆G的方程为．

．∴点F的坐标为（﹣1，0）．

（II）由（I）可知，椭圆G的方程为

设点P的坐标为（x0，y0）（x0≠﹣1，x0≠0），直线FP的斜率为k，则直线FP的方程为y=k（x+1），

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由方程组消去y0，并整理得

．

又由已知，得，解得或﹣1＜x0＜0．

设直线OP的斜率为m，则直线OP的方程为y=mx．由方程组

消去y0，并整理得

．

由﹣1＜x0＜0，得m2＞，

∵x0＜0，y0＞0，∴m＜0，∴m∈（﹣∞，﹣由﹣＜x0＜﹣1，得

，

＜m＜﹣

．

）∪（﹣

，﹣

）．

），

∵x0＜0，y0＞0，得m＜0，∴﹣

∴直线OP（O是坐标原点）的斜率的取值范围是（﹣∞，﹣

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆与直线的位置关系的合理运用．　

22．【答案】（1）60，n6；（2）P【解析】

8；（3）115.15试

题解析：

（1）分数在100-110内的学生的频率为P1(0.040.03)50.35，所以该班总人数为N2160，0.35分数在110-115内的学生的频率为P21(0.010.040.050.040.030.01)50.1，分数在110-115内的人数n600.16.

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（2）由题意分数在110-115内有6名学生，其中女生有2名，设男生为A1,A2,A3,A4，女生为B1,B2，从6名学生中选出3人的基本事件为：(A1,A2)，(A1,A3)，(A1,A4)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,A3)，(A2,A4)，

(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,A4)，(A3,B1)，(A3,B2)，(A4,B1)，(A4,B2)，(B1,B2)共15个.

其中恰 好含有一名女生的基本事件为(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,B2)，(A2,B1)，(A3,B1)，(A3,B2)，

(A4,B1)，(A4,B2)，共8个，所以所求的概率为P（3）x1008.151217178812100；

76984416y100100；

7由于与y之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到

^^497b0.5，a1000.510050，

994∴线性回归方程为y0.5x50，

∴当x130时，y115.1

考点：1.古典概型；2.频率分布直方图；3.线性回归方程.

【易错点睛】本题主要考查古典概型，频率分布直方图，线性回归方程,数据处理和计算能力.求线性回归方程,

,b,一定要将题目中所给数据与公式中的a,b,c相对应,再进一步求解.在求解过程中,关键在于正确求出系数a由,b的计算量大,计算时应仔细谨慎,分层进行,避免因计算而产生错误,特别是回归直线方程中一次项系数为于a

b,常数项为这与一次函数的习惯表示不同.

23．【答案】

＝1＋3cos α【解析】解：（1）由C1：x（α为参数）

y＝2＋3sin α得（x－1）2＋（y－2）2＝9（cos2α＋sin2α）＝9.即C1的普通方程为（x－1）2＋（y－2）2＝9，由C2：ρ＝

得πsin（θ＋）

4

ρ（sin θ＋cos θ）＝2，即x＋y－2＝0，

即C2的普通方程为x＋y－2＝0.

（2）由C1：（x－1）2＋（y－2）2＝9得x2＋y2－2x－4y－4＝0，

其极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ－4＝0，将θ＝3π代入上式得4

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{)2ρ2－2ρ－4＝0，

ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－4，

∴|MN|＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝32.

C3：θ＝3π（ρ∈R）的直角坐标方程为x＋y＝0，

4

∴C2与C3是两平行直线，其距离d＝2＝2.2∴△PMN的面积为S＝1|MN|×d＝1×32×2＝3.

22

即△PMN的面积为3.

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