２０１３年６月 教育纵横 坛 线 用定积分推导三角函数公式 ⑩山西省永济市永济中学 王有强 ⑩华中师范大学数学与统计学院徐章韬 微积分已经走进了教科书中，从微积分的视角看待 三角函数公式会得到一些有趣的结果．文［１］曾用微分揭 示过三角公式之间有内在关系，微分与积分是互逆运算， 这样，从积分的角度也可以推导三角函数公式． 一、推导两角和与差的公式 由ｃｏｓ（ ＝ＣＯＳ２；Ｃ０Ｓｆｌ－ｓｉｎｘｓｉｎｆｌ，两边同时取定积分： ０ｓ（ ）： ｓ…ｓ卢 一 ｉｎ ｎ卢 ， 积分得，ｓｉｎ（ ）Ｉ；＝ｓｉｎ ｌ；ｃｏｓ／３＋ｃｏｓ Ｉ ｏ ｓｉｎ／３， 化简得，ｓｉｎ（ 书）一ｓｉｎ ｓｉｎ ｃ０ｓ ｃｏｓ ＯＬ—ＣＯＳ Ｏ）ｓｉｎｆｌ， 化简得，ｓｉｎ（ａ＋￣＝ｓｉｎ ｃ０ｓｆｌ＋ｃｏｓ ｏｔｓｉｎｆｔ． 二、推导同角三角函数公式 １．推导ｓｉｎ ＋ｃ０ｓ ＝１ 由于ｓｉｎｘ＝ｃｏｓ（一＂ｆ２ ２；），等式两边同时取定积分： ｄ（ｓ ）＝ 。ｓ（詈 ）ｄ（ｓｉ ＝ ｎｘ＇ｃｏｓｘ 一Ｊ。ｃ。ｓ ｄ（ｃ。ｓ ）， 积分得， １ ｓｉ ＝一（吉ｃ。 一｛）， 即得：ｓｉｎ ＋ｃ０ｓ ＝１． ２．推导ｔａｎ２ａ＋１＝ｓｅｃＺａ。ｃｏｔ２ａ＋ｌ＝ｃｓｄａ 由于ｔａｎｘ＝ｃｏｔ（詈 ），对等式两边同时取定积分： ｔａｎ 。ｔ（詈 ）ｄ（ｔａｎ ） ＝Ｊ。ｔａｎｘｓｅｃ２ｘｄｘ ＝ ｅｃ ｓｅｃ２；）， 积分得， １ ｔａ ｌ。＝吉ｓｅ ｌ。， 化简ｔａｎＺａ＋１＝ｓｅｃ２ａ． 此处用到，（ｔａｎ ） ＝ｓｅｃＺｘ，（ｓｅｃ ） ：ｔａｎ２；ｓｅｅ ． 由ｔａｎ：ａ＋１＝ｓｅｃ２ａ使用一次诱导公式，得到ｃ０ｔ ＋１＝ ｃｓｃＺｃ￣． 三、推导两倍角公式 由ｓｉｎ ２ｘ＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ，对等式两边同时取定积分，有 Ｊ ０ ｓｉｎ ２ｘｄｘ＝ＪＪ ０ ２ｓｉｎ ｃ。ｓ ｄｘ＝２ Ｊ』 ｓ ０ ｉｎ ｄ（ｓｉｎｘ）， 这样有一１ ｃｏｓ ｊ：＝２ｓｉｎ ｌ：， 化简有，ＣＯＳ ２ｘ＝１—２ｓｉｎ２ｘ． 四、由万能公式推导两倍角公式 教材是由两倍角公式，经齐次化后，化简得到万能公 式；反过来，由万能公式，经两边取定积分，也能得到两倍 角公式． 由ｓｉｎ ２ｘ： ，对等式两边同时取定积分，有 ｌ＋ｔａｎ￣ｘ ｓｉｎ ２ｘｄｘ＝ ， ｏ化简有一 ｃｏｓ ｌ ｔａｎ（￣ｔａｎｘ＝ｔ 一 一Ｊ。雨一＋ｔ１ ２出一 一 Ｉ。＝ｓｉｎ２ｏ￣， 化简得，ＣＯＳ ２ｘ＝ｌ一２ｓｉｎ￣ｘ． 在研读教材时，前后关联，相互诠释，会得到一些新 见解．这种学习方法是我国著名数学家华罗庚先生所大 力提倡的．微分和定积分都是可以下放到中学的内容，作 、 为教师，熟悉这些做法，使学生学会从不同的角度看问 题，获得不同的见解，这是非常重要的，因为教育价值是 数学教学的根本所在 ． 高中版中・７毒ｉ：－？ 霜●墨簟一 数 在 教育纵横 ２０１３年６月 从真正意义上回归课本 ◎湖北省武汉市黄陂六中 梅磊 课本承载着新课程改革的理念和导向，渗透着创新 精神和实践能力的培养，同时也体现着高考改革的发展 趋向．数学课本是数学知识和数学思想方法的重要载体， 又是教师教学和学生学习的主要依据，更是几代人集体 智慧的结晶．课本的结构是反复考量的，语言是字斟句酌 的，例题是千锤百炼的，习题是精挑细选的，课本的每个 文 科 课本对应题 理 科 课本对应题 ５ 必修２第１２７页例２ ５ 选修２－３第４０页复习 题Ａ组９题 ６ 必修１第４５页复习题 ６ 选修４Ｂ组４题 ５第４０页例３ －素材的选取、问题的设置、规律的呈现等都具有极高的教 学价值和育人价值． 遗憾的是，许多教师开口高考，闭口高考，忽视课 本，轻视课本，不少学生课前不预习课本，课后不复习 课本，殊不知，离开了课本也就离开了高考．高中教学从 １９７９年开始启用人民教育出版社的统编课本，高考命 题也从１９７９年开始高度关注课本在命题中的作用，充 分发挥课本作为试题根本来源的功能，三十多年从未 改变．２０１２年湖北高考数学试题与人教Ａ版课本的对应 关系如下： 文 科 ７ 必修５第５３页习题 ７ 必修５第５３页习题 ２．４Ａ组３题 ２．４Ａ组３题 ８ 必修５第２５页复习题 ８ 必修３第１４０页练习 Ｂ组３题 １ ９ 选修４－５第４１页习题 ９ 必修１第８８页例１ ３．２第１题 １０ 必修３第１４０页练习 １０ 选修３—１第３１—３５页 １ “中国古代数学家” １１ 必修３第６４页习题 １１ 必修５第６页余弦定 ２．１Ａ组５题 理的推论 １２ 选修１－２第５９页复数 １２ 必修３第１３页例６ 除法法则 必修４第１０８页习题 ｌ３ ２．４Ａ组１１题 １３ 必修３第５１页复习 必修４第１１９页复习 题Ｂ组３题 题Ｂ组１（５）题 课本对应题 理 科 课本对应题 １ 必修１第ｌ２页习题 １ 选修２－２第１１２页习 １．１Ｂ组１题 题３．２Ａ组６题 １４ 必修５第９１页练习１ １４ 选修２－２第５６页图 （２） ２．３－６ ２ 必修３第１２４页习题 ２ 选修２－１第３０页复习 ３．１Ａ组５题 题Ａ组５题 ３ 必修１第８８页例１ ３ 选修２－２第５８页练习 （１） １．３Ｂ组１题 １５ 必修２第１４页图 １５ 选修４—１第４０页习题 １．２—９（２） ２．５第３题 １６ 必修３第１３页例６ 选修４—４第１３页“探 １６ 究”选修４—４第２５页 例３（１） ４ 选修１－１第２８页复习 ４ 必修２第２９页习题 题Ａ组５题 从三角的历史发展来看，可以利用线段的相加、相 减来推导三角公式，也可以用面积法来推导三角公式； 地发现新知 动线成面，积微成著；当三角发展到解析阶段后，若能 参考文献： 从微分的角度看待三角公式，那就能从积分的角度看 待三角公式：这其中的对偶关系是多么的和谐！让学生 能领悟到这些，就是教学的功德所在．教学的功能不在 １．徐章韬，罗湘菊．从头脑中找概念［Ｊ１．中学数学（高 中版），２００９（６）：１－３． ２．卜以楼．教育价值：数学教学的根本所在［Ｊ］．数学 通报，２０１３（１）：ｌ６～１９．■ 于发现新知，而在于更有效地传承新知，使后人能更好 ——Ｉ—一中。７擞’？高中版