一元二次方程知识点总结与易错题

考点一、一元二次方程

一、一元二次方程：含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一样形式：ax2bxc0(a0)，它的特点是：等式左侧十一个关于未知数x的二次

多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

考点二、一元二次方程的解法 一、直接开平方式:

利用平方根的概念直接开平方求一元二次方程的解的方式叫做直接开平方式。直接开平方式适用于解形如(xa)2b的一元二次方程。依照平方根的概念可知，xa是b的平方根，当b0时，

xab，xab，当b<0时，方程没有实数根。

二、配方式:

配方式的理论依照是完全平方公式a22abb2(ab)2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x22bxb2(xb)2。

配方式的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方式，它是解一元二次方程的一样方式。 一元二次方程ax2bxc0(a0)的求根公式：

bb24ac2x(b4ac0)

2a公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数别离代入，那个地址二次项的系数为a，一次项的系数

为b，常数项的系数为c。

4、因式分解法

因式分解法确实是利用因式分解的手腕，求出方程的解的方式，这种方式简单易行，是解一元二次方程最经常使用的方式。

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是不是能用提取公因式，公式法（那个地址指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，若是能够，就能够够化为乘积的形式

五、韦达定理 利用韦达定理去了解，韦达定理确实是在一元二次方程中，二根之和等于-bcbc，二根之积等于，也能够表示为x1+x2=-，x1 x2=。利用韦达定理，能够求出一元二次aaaa方程中的各系数，在题目中很经常使用。 考点三、一元二次方程根的判别式 根的判别式：

一元二次方程ax2bxc0(a0)中，b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别式，通经常使用“”来表示，即b24ac I当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； III当△<0时，一元二次方程没有实数根。 考点四、一元二次方程根与系数的关系

bc若是方程ax2bxc0(a0)的两个实数根是x1，x2，那么x1x2，x1x2。也确实是

aa说，关于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 考点五、一元二次方程的二次函数的关系

二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，仿佛解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也能够用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情形，确实是当Y的0的时候就组成了一元二次方程了。那若是在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程确实是二次

函数中，图象与X轴的交点。也确实是该方程的解了

二次函数知识点

一、二次函数概念：

2yaxbxc（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。1．二次函数的概念：一样地，形如

c能够为零．二次函数的概念域那个地址需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，是全部实数。

2yaxbxc的结构特点： 2. 二次函数

⑴ 等号左侧是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，二、二次函数的大体形式

2yax1. 二次函数大体形式：的性质：

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的a0 向上 0，0 y轴 增大而减小；x0时，y有最小值0． x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的a0 向下 0，0 y轴 增大而增大；x0时，y有最大值0．

2yaxc的性质： 2.

上加下减。

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的a0 向上 0，c y轴 增大而减小；x0时，y有最小值c． x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的a0 向下 0，c y轴 增大而增大；x0时，y有最大值c． 3.

yaxh2的性质：

左加右减。

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的a0 向上 h，0 X=h 增大而减小；xh时，y有最小值0． xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的a0 向下 h，0 X=h 增大而增大；xh时，y有最大值0． 4.

yaxhk2的性质：

性质 xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 a0 向上 h，k X=h 增大而减小；xh时，y有最小值k． xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的a0 向下 h，k X=h 增大而增大；xh时，y有最大值k． 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：

方式一：⑴ 将抛物线解析式转化成极点式

yaxhk2，确信其极点坐标h，k；

2h，kyax⑵ 维持抛物线的形状不变，将其极点平移到处，具体平移方式如下：

y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．归纳成八个字“左加右减，上加下减”． 方式二：

222yaxbxcyaxbxcyaxbxcmym⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或

yax2bxcm）

22yaxbxcyaxbxc变成m⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，

ya(xm)2b(xm)c（或ya(xm)2b(xm)c）

四、二次函数

yaxhkyaxhk222与yaxbxc的比较

2yaxbxc是两种不同的表达形式，与后者通过配方能够取得前者，

从解析式上看，

2b4acb2b4acb2yaxh，k2a4a2a4a． 即，其中

2yaxbxc图象的画法 五、二次函数

22yaxbxcya(xh)k，确信其开口方向、对五点画图法：利用配方式将二次函数化为极点式

称轴及极点坐标，然后在对称轴双侧，左右对称地描点画图.一样咱们选取的五点为：极点、与y轴的交点0，c、和0，c关于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点x1，0，x2，0（若与x轴没有

交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，极点，与x轴的交点，与y轴的交点.

2六、二次函数yaxbxc的性质

b4acb2b，x2a4a． 2a，极点坐标为1. 当a0时，抛物线开口向上，对称轴为

当

xbbbxx2a时，y随x的增大而减小；当2a时，y随x的增大而增大；当2a时，y有最小值

4acb24a．

b4acb2bb，xx2a4a2a，2a时，y随2. 当a0时，抛物线开口向下，对称轴为极点坐标为．当

4acb2bbxxx的增大而增大；当2a时，y随x的增大而减小；当2a时，y有最大值4a．

七、二次函数解析式的表示方式

2yaxbxc（a，b，c为常数，a0）1. 一样式：； 22. 极点式：ya(xh)k（a，h，k为常数，a0）；

3. 两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都能够化成一样式或极点式，但并非所有的二次函数都能够写成

2交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b4ac0时，抛物线的解析式才能够用交点式表示．二次

函数解析式的这三种形式能够互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a

2yaxbxc中，a作为二次项系数，显然a0． 二次函数

⑴ 当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； ⑵ 当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大． 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，大小．

2. 一次项系数b

在二次项系数a确信的前提下，b决定了抛物线的对称轴．

bb00⑴ 在a0的前提下，当b0时，2a，即抛物线的对称轴在y轴左侧；当b0时，2a，即

b0yb02a抛物线的对称轴确实是轴；当时，，即抛物线对称轴在y轴的右边．

b0a0b02a⑵ 在的前提下，结论恰好与上述相反，即 当时，，即抛物线的对称轴在y轴右

bb00边；当b0时，2a，即抛物线的对称轴确实是y轴；当b0时，2a，即抛物线对称轴在ya的大小决定开口的

轴的左侧．

总结起来，在a确信的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．

ab的符号的判定：对称轴

xb2a在y轴左侧则ab0，在y轴的右边则ab0，归纳的说确实是

“左同右异” 3. 常数项c

⑴ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

b，c都确信，那么这条抛物线确实是唯一确信的． 总之，只要a，九、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情形）：

22yaxbxc当函数值y0时的特殊情形. axbxc0一元二次方程是二次函数

图象与x轴的交点个数：

2Ax，0，Bx，0① 当b4ac0时，图象与x轴交于两点12(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次方

程

ax2bxc0a0的两根．这两点间的距离

b24acABx2x1a.

② 当0时，图象与x轴只有一个交点； ③ 当0时，图象与x轴没有交点.

a、当a0时，图象落在x轴的上方，不管x为任何实数，都有y0； b、当a0时，图象落在x轴的下方，不管x为任何实数，都有y0．

2yaxbxc的图象与y轴必然相交，交点坐标为(0，c)； 2. 抛物线

3. 二次函数经常使用解题方式总结：

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方式将二次函数由一样式转化为极点式；

2yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符⑶ 依照图象的位置判定二次函数

号判定图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

0 抛物线与x轴有两二次三项式的值可正、可一元二次方程有两个不相等实根 个交点 零、可负 0 抛物线与x轴只有二次三项式的值为非负 一个交点 一元二次方程有两个相等的实数根 0 抛物线与x轴无交二次三项式的值恒为正 点 一元二次方程无实数根. 2axbxc(a0)本身确实是所含字母x的二次⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式

函数；下面以a0时为例，揭露二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 图像参考：

y=2x2y=x2y=2x2+2y=2x2y=x22y=2x2-4

y=2x2y=2(x-4)2

y=2(x-4)2-3

【例题经典】

由抛物线的位置确信系数的符号

cM(b,)2yaxbxca在（ ） 例1 （1）二次函数的图像如图1，则点

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，•则下列结论：①a、b同号；②

当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

(1) (2)

【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．

例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1O；③4a+cO，其中正确结论的个数为( )

A 1个 B. 2个 C. 3个 D．4个 答案：D

会用待定系数法求二次函数解析式

例3.已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的极点坐标为( )

A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2) 答案：C

例4、（2006年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正形重叠部份的面积为ym2． （1）写出y与x的关系式； （2）当x=2，时，y别离是多少？ （3）当重叠部份的面积是正方形面积的一半三角形移动了多长时刻？求抛物线极点坐对称轴.

例5.已知：二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象通过点P(4，10)，交x轴于A(x1,0)，B(x2,0)两点

(x1x2)，交y轴负半轴于C点，且知足3AO=OB．

方

时，

标、

(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是不是存在点M，使锐角∠MCO>∠ACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明(1)解：如图∵抛物线交x轴于点A(x1，0)，B(x2，O)，

理由．

则x1·x2=3<0，又∵x1∴x2>O，x1∴点A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3 ∴．二次函数的解析式为y-2x2-4x-6． (2)存在点M使∠MC0<∠ACO．

(2)解：点A关于y轴的对称点A’(1，O)，

∴直线A，C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)． ∴符合题意的x的范围为-1当点M的横坐标知足-1∠ACO． 一个交点的坐标是(35,0).

5y,2 令x=3代入解析式，得

y125x3x2(3,),22 的极点坐标为

因此抛物线

5(3,)2等等。 因此也能够填抛物线的极点坐标为

函数要紧关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特点；借助多种现实背景明白得函数；将函数视为“转变进程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。

一元二次方程易错题

一、选择题

一、若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0有一个根为0，则m的值等于（ ） A．1 B. 2 C. 1或2 D. 0

二、巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量估量由前年的45万吨提升到50万吨，设之前年到今年我市的粮油产量年平均增加率为x，则可列方程为（ ） A．452x50 B．45(1x)250 C．50(1x)245 D．45(12x)50

ba

3、已知a，b是关于x的一元二次方程x2nx10的两实数根，则的值是（ ）

ab

A．n22 B．n22 C．n22 D．n22

4、已知a、b、c别离是三角形的三边，则(a + b)x2 + 2cx + (a + b)＝0的根的情形是（ ）

A．没有实数根

B．可能有且只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根

C．有两个相等的实数根

五、已知m,n是方程x22x10的两根，且(7m214ma)(3n26n7)8，则a的值等于 （ ）

A．－5

六、已知方程x2bxa0有一个根是a(a0)，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）

A．ab B．

a C．ab D．ab b7、x22x20的一较小根为x1,下面对x1的估量正确的是 （ ）

A．2x11 B．1x10

C．0x11

D．1x12

2八、关于x的一元二次方程x2mx2m10的两个实数根别离是x1、x2，且x12x27，则

(x1x2)2的值是（ ） A．1

B．12

C．13

D．25

九、中江县2011年初中毕业生诊断考试)某校九年级学生毕业时，每一个同窗都将自己的相片向全

班其他同窗各送一张表示留念，全班共送了2450张相片，若是全班有x名学生，依照题意，列出方程为( )

A. x(x1)2450 B. x(x1)2450 C. 2x(x1)2450 D.

x(x1)2450 210、设a，b是方程x2x20090的两个实数根，则a22ab的值为（ ）

A．2006

B．2007

C．2008

D．2009

1一、关于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法： ①若a+c=0，方程ax2+bx+c=0必有实数根； ②若b+4ac<0，则方程ax+bx+c=0必然有实数根； ③若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=0一定有两个不等实数根；

④若方程ax2+bx+c=0有两个实数根，则方程cx2+bx+a=0必然有两个实数根． 其中正确的是( )

A．①② B．①③ C．②③ D．①③④

22

二、填空题

一、若一元二次方程x－(a+2)x+2a=0的两个实数根别离是3、b，则a+b= ． 3、方程（x﹣1）（x + 2）= 2（x + 2）的根是 ．

2ab4、关于x的一元二次方程ax+bx+1=0(a0)有两个相等实根，求 的值为____

(a-2)2b2-422___．

五、在等腰△ABC中，三边别离为a，b，c，其中a=5，若关于x的方程x+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，则△ABC的周长为__________．

六、已知关于x的一元二次方程x-6x-k=0（k为常数）．设x1，x2为方程的两个实数根，且x1 +2x2=14，则k的值为__________．

7、已知m、n是方程x2-2003x+2004=0的两根，则(n-2004n+2005)与(m-2004m+2005)的积是 .

22222