第五讲 幂函数与二次函数
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理·双基自测
错误!错误!错误!错误!
知识点一 幂函数
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x错误! y＝x－1 图象 定义域x|x{x｜ R R R｛ ≥0｝ x≠0} 值域｛y|y≥y≥0{y|y≠0 R 0｝R{y| ｝ } 奇偶非奇非 奇偶性奇 函数函数偶奇 函数 函数函数 在R上在(－在R上 在［0，在（－单调性 单 ∞，0) 单调递＋∞） ∞,0） 调递增 上单调增 上单调和（0, - 1 -
学必求其心得，业必贵于专精
递减， 递增 ＋∞） 在（0,上单调＋∞) 递减 上单调递增 公共点 （1，1) 知识点二 二次函数的图象和性质
解析2式f(x)＝ax2＋bx＋c(a〉0) f(x）＝ax＋bx＋c(a〈0） 图象 定义域R R 值域 [错误!，＋∞） (－∞，错误!] 错误!单调在(－∞，－）上单在（－∞,－错误!） 性调递减，在［－错误!，上单调递增，在［－ ＋∞）上单调递增 错误!,＋∞）上单调递减 - 2 -
学必求其心得，业必贵于专精
顶点坐标 奇偶性 对称轴 b(－，错误!） 2a当b＝0时为偶函数 函数的图象关于直线x＝－错误!成轴对称 错误!错误!错误!错误! 1．二次函数解析式的三种形式：
(1)一般式：f（x）＝ax2＋bx＋c(a≠0）； （2）顶点式：f(x)＝a(x－m）2＋n（a≠0）； （3)零点式：f（x)＝a(x－x1)(x－x2）(a≠0）． 2．一元二次不等式恒成立的条件：
（1）“ax2＋bx＋c>0(a≠0）恒成立\"的充要条件是“a>0，且Δ〈0”．
（2)“ax2＋bx＋c<0（a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0，且
Δ<0”．
错误!错误!错误!错误!
题组一 走出误区
1．(多选题)下列结论中不正确的是（ ABD )
- 3 -
学必求其心得，业必贵于专精
A．y＝x0的图象是一条直线
B．若幂函数y＝xn是奇函数,则y＝xn是增函数
C．二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）不可能是奇函数 D．当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数 题组二 走进教材
2．（必修1P79T1改编)已知幂函数f（x）＝k·xα的图象过点(错误!,
错误!
),则k＋α＝（ C ）
B．1 D．2
A．错误! 3C．
2
［解析］ 由幂函数的定义知k＝1.又f（错误!）＝错误!， 所以（错误!）α＝错误!,解得α＝错误!，从而k＋α＝错误!。
3．(必修1P39BT1改编）函数f（x)＝－x2－6x＋8，当x＝－3时，函数取得最大值17。
4．（必修1P44AT9改编）二次函数y＝f(x)满足f(－1)＝f(3)，x1，
x2是方程f(x)＝0的两根，则x1＋x2＝2.
题组三 考题再现
5．（2016·全国卷Ⅲ）已知a＝2错误!,b＝3错误!，c＝25错误!，则( A )
- 4 -
学必求其心得，业必贵于专精
A．b〈a〈c C．b〈c〈a
B．a〈b 6．（2017·浙江卷，5)若函数f（x）＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m,则M－m（ B ） A．与a有关，且与b有关 B．与a有关,且与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，且与b有关 [解析］ f(x）＝（x＋错误!)2－错误!＋b,①当0≤－错误!≤1时，f（x） min ＝m＝f（－错误!)＝－错误!＋b，f（x)max＝M＝max｛f(0），f（1）} ＝max｛b,1＋a＋b}，∴M－m＝max{错误!，1＋a＋错误!｝与a有关，与b无关；②当－错误!〈0时，f（x)在［0,1］上单调递增,∴M－m＝f(1）－f（0)＝1＋a与a有关，与b无关；③当－错误!〉1时，f（x）在[0,1]上单调递减，∴M－m＝f(0）－f（1)＝－1－a与a有关，与b无关．综上所述，M－m与a有关，但与b无关,故选B． KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究 - 5 - 学必求其心得，业必贵于专精 考点一 幂函数图象与性质--自主练透 例1 （1）(2020·河北衡水武邑中学高三上第一次调研)已知幂函数y＝f(x）的图象，经过点（2，2错误!)，则幂函数的解析式为( C ) A．y＝2x错误! C．y＝x错误! B．y＝x错误! D．y＝错误!x错误! （2)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示,则a，b，c，d的大小关系是( B ) A．d〉c〉b〉a B．a>b>c〉d C．d〉c〉a〉b D．a〉b>d〉c (3）（2018·上海)已知α∈｛－2，－1，－错误!,错误!，1,2,3}，若幂函数f（x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减,则α＝－1. - 6 - 学必求其心得，业必贵于专精 (4)若（a＋1) 错误!〈(3－2a） 错误!，则实数a的取值范围是［－1， 错误!）。 [解析] （1)幂函数y＝f（x)＝xα的图象经过点（2,22）， ∴2α＝2错误!，解得α＝错误!,∴幂函数的解析式为y＝x错误!.故选C． (2)由幂函数图象性质知，在x＝1右侧从下至上次数依次增大,故选B． （3）由奇函数知α＝－1,1,3,又在（0,＋∞)为减函数知α＝－1。 (4)由幂函数y＝错误!性质得错误!，解得－1≤a<错误!。故填［－1，错误!）． 名师点拨 ☞ （1）幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． （2)在区间（0，1）上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴（简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上,幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． （3）在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数,借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 考点二 二次函数的图象与性质 - 7 - 学必求其心得，业必贵于专精 考向1 二次函数的解析式-—师生共研 例2 已知二次函数f（x）满足f(2)＝－1,f（－1)＝－1，且f(x）的最大值是8，求此二次函数的解析式． [解析] 解法一：利用“一般式”解题： 设f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0)． 由题意得错误!解得错误! ∴所求二次函数为f(x）＝－4x2＋4x＋7. 解法二：利用“顶点式”解题： 设f（x)＝a(x－m)2＋n（a≠0）． ∵f(2)＝f（－1), ∴抛物线的对称轴为x＝错误!＝错误!,∴m＝错误!. 又根据题意，函数有最大值8，∴n＝8， ∴y＝f(x）＝a（x－错误!）2＋8. ∵f(2）＝－1，∴a(2－错误!）2＋8＝－1，解得a＝－4， ∴f(x）＝－4（x－12)2 ＋8＝－4x2＋4x＋7。 （解法三：利用“零点式\"解题： 由已知f（x）＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， - 8 - 学必求其心得，业必贵于专精 故可设f(x)＋1＝a(x－2)（x＋1)（a≠0)， 即f（x）＝ax2－ax－2a－1。 又函数有最大值8，即错误!＝8， 解得a＝－4或a＝0（舍去)． ∴所求函数的解析式为f(x）＝－4x2＋4x＋7. 名师点拨 ☞ 根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下： 〔变式训练1〕 （1）若函数f（x)＝(x＋a）（bx＋2a)（常数a，b∈R）是偶函数,且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝－2x2＋4。 (2）已知二次函数f（x)满足f(1＋x）＝f(1－x），且f（0）＝0，f（1)＝1，则f(x)的解析式为f（x)＝－x2＋2x。 ［解析］ (1)因为f(x）＝(x＋a)（bx＋2a）＝bx2＋a(b＋2)x＋2a2，由f(x）是偶函数可知：f（x）的图象关于y轴对称,所以b＝－2或 - 9 - 学必求其心得，业必贵于专精 a＝0，当a＝0时，f（x）＝bx2与值域(－∞,4］矛盾,当b＝－2时，f(x）＝－2x2＋2a2，又因为f（x）的值域为（－∞，4］，所以2a2＝ 4，因此f(x）＝－2x2＋4。 （2）解法一:（一般式） 设f（x)＝ax2＋bx＋c(a≠0）， 则错误!⇒错误! ∴f(x)＝－x2＋2x。 解法二:（两根式)∵对称轴方程为x＝1, ∴f（2）＝f(0)＝0，f(x)＝0的两根分别为0,2。∴可设其解析式为f（x）＝ax(x－2）． 又∵f(1）＝1，可得a＝－1, ∴f(x)＝－x（x－2）＝－x2＋2x. 解法三：(顶点式）由已知,可得顶点为（1，1）∴可设其解析式为f(x)＝a（x－1)2＋1. 又由f（0）＝0，可得a＝－1, ∴f（x）＝－（x－1)2＋1. 考向2 二次函数的图象和性质-—多维探究 角度1 二次函数的图象 , - 10 - 学必求其心得，业必贵于专精 例3 一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是（ C ) ［解析] 若a〉0，则一次函数y＝ax＋b为增函数,二次函数y＝ ax2＋bx＋c的开口向上,故可排除A；若a〈0，一次函数y＝ax＋b为减函数,二次函数y＝ax2＋bx＋c开口向下，故可排除D;对于选项 bB，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y2a轴的右侧，故应排除B． 名师点拨 ☞ 二次函数图象的识别方法 二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面识别． 角度2 利用二次函数的图象和性质求参数 例4 已知f(x)＝x2－2x＋5。 (1)若x∈R,则函数f（x)的最小值为4； (2)若x∈[－1,2]，则函数f(x)的最小值为4，最大值为8； - 11 - 学必求其心得，业必贵于专精 （3）若x∈［t，t＋1],则函数f(x)的最小值为 错误! .［分析] 对于（1）（2）直接利用二次函数的图象性质求解；对于(3)由于函数f(x）的对称轴确定为x＝1，但函数的定义域不确定，因此解题时要以定义域内是否含有对称轴为标准分情况讨论． [解析] (1）f(x）＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4≥4， ∴f（x)的最小值为4. (2)∵f(x)的对称轴为x＝1，又1∈[－1,2］， ∴f(x)min＝f（1）＝4，由二次函数的图象知，f(x)在[－1，1]上单调递减，在［1，2]上单调递增． 又f（－1)＝(－1)2－2×（－1）＋5＝8,f（2)＝22－2×2＋5＝5，∴f(x)max＝8，f（x）min＝4. （3)∵f(x）的对称轴为x＝1. 当t≥1时，f（x）在[t,t＋1］上单调递增, ∴f（x)min＝f(t）＝t2－2t＋5， 当t<1 - 12 - 学必求其心得，业必贵于专精 ＋1)＝t2＋4. ∴f(x）min＝错误! ［引申]在（3）的条件下,求f（x)的最大值． [解析］ ①当错误!≥1即t≥错误!时f（x)最大值为f（t＋1)＝t2＋4 ②当 t＋t＋1 2 〈1，即t〈错误!时f（x)最大值为f(t）＝t2－2t＋5. 综上所述，f（x）max＝错误! 名师点拨 ☞ 二次函数求最值问题，一般先用配方法化成形如y＝a(x＋b）2＋c的形式，若x∈R,a>0，则ymin＝c,若x∈R，a<0,则ymax＝c.当定义域不是R时，常见的题型有三种:（1）区间确定，对称轴确定，此类题型只需结合二次函数便可求出最值;(2)区间确定，对称轴变化(含参）;(3）对称轴确定，区间不确定（含参)．（2）(3）两类问题，通 b常要把－与区间端点、中点比较，分类求解． 2a角度3 二次函数中的恒成立问题 例5 （2020·石家庄模拟)设函数f(x）＝ax2－2x＋2，对于满足1〈x<4的一切x值都有f（x)〉0，则实数a的取值范围为（错误!， - 13 - 学必求其心得，业必贵于专精 ＋∞). [解析］ 解法一：由f(x)〉0，即ax2－2x＋2>0，x∈（1，4)，得 a〉－2＋错误!在(1,4）上恒成立． x令g（x）＝－错误!＋错误!＝－2(错误!－错误!)2＋错误!， 错误! 2 ∈(错误!，1）,所以g(x）max＝g(2)＝错误!， 所以要使f（x)>0在（1,4)上恒成立，只要a>错误!即可． 解法二：当a＝0时,f（x）＝－2x＋2， 显然f(4）＝－6，不合题意，∴a≠0 （1）当a>0时，二次函数f(x）开口向上,对称轴为x＝错误!. ①若错误!≤1即a≥1时，fmin（x)＝f（1)＝a>0，即a≥1。 ②若错误!≥4即0〈a≤错误!时，fmin(x)＝f（4）＝16a－6>0得a〉错误!矛盾． ③若1〈错误!〈4即错误! 得a>.即错误!〈a<1。 2 f1≥0 （2）当a〈0时，由题意知，即错误!，解得a〉错误!矛 f4≥0盾． - 14 - 学必求其心得，业必贵于专精 综上可知a的取值范围是（错误!，＋∞）． [引申]若将“一切x值都有f(x)〉0”改为“f（x）>0有解”呢？ ［解析］ 由解法一知a〉－2＋错误!在（1,4）上有解． 2 x即a〉(－错误!＋错误!)min＝g(1）＝0, ∴a的取值范围是（0,＋∞）． 名师点拨 ☞ 二次函数中恒成立问题的求解思路 (1）一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，分类求解． (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否能分离．这两个思路的依据是:a≥f(x)恒成立⇔ a≥f(x）max，a≤f(x）恒成立⇔a≤f（x）min. 注：a≥f（x)有解⇔a≥f(x）min，a≤f（x)有解⇔a≤f（x)max。 〔变式训练2〕 （1)(多选题）（角度1）设b≥0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为（ ABD ) - 15 - 学必求其心得，业必贵于专精 A．错误! C．1 B．错误! D．－1 (2）（角度2)(2020·河北唐山一中模拟)若函数f（x）＝ax2＋2ax＋1在［1，2]上有最大值4，则a的值为（ B ） A．1 C．1或错误! B．错误! D．－3 (3）(角度3）（2020·杭州模拟)已知x∈［－1，1]时，f（x)＝x2－ax＋错误!>0恒成立，则实数a的取值范围是( A ) A．（0,2) C．（0,＋∞） B．（2，＋∞) D．(0,4） [解析] (1)当b＝0时，对称轴为y轴,a＝错误!时开口向下，a2－1>0，A正确．a＝错误!时开口向上，a2－1<0,B正确;当b>0时,对称轴不可能为y轴,由给出的图可知对称轴在y轴右侧，故a<0，所以二次函数的图象为第三个图，图象过原点,故a2－1＝0，a＝±1，又a<0,所以a＝－1。故选A、B、D． (2)f（x）＝a（x＋1）2＋1－a， ①当a＝0时，函数f(x）在区间[1,2]上的值为常数1，不符合题意 - 16 - 学必求其心得，业必贵于专精 舍去； ②当a>0时，函数f(x）在区间［1,2]上是增函数，最大值为f(2）＝8a＋1＝4，解得a＝错误!; ③当a〈0时，函数f（x)在区间［1,2]上是减函数，最大值为f（1）＝3a＋1＝4，解得a＝1,不符合题意舍去。 综上可知a的值为错误!,故选B． （3）对称轴为x＝错误!，当错误!≤－1即a≤－2时，由题意得f(x） min ＝f(－1)＝1＋a＋错误!>0，得a>－错误!，又a≤－2,∴无解;当－1<错误! <1即－2 转换变量——解决二次函数问题中的核心素养 例6 (2020·衡阳模拟）设奇函数f（x)在[－1，1]上是增函数，且f(－1）＝－1，若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈［－1,1］都成立，当a∈[－1，1]时，则t的取值范围是（ D ) - 17 - 学必求其心得，业必贵于专精 A．－错误!≤t≤错误! B．t≥错误!或t≤－错误!或t＝0 C．－2≤t≤2 D．t≥2或t≤－2或t＝0 ［解析] 奇函数f（x)在[－1,1]上是增函数，且f（－1）＝－1,在［－1，1］上最大值是1,所以1≤t2－2at＋1，当t＝0时，恒成立;当t≠0时，则t2－2at≥0成立，又a∈[－1，1］，令r（a）＝－2ta＋t2,a∈[－1,1］，当t〉0时，r(a)是减函数，故令r(1)≥0得t≥2，当 t<0时,r（a)是增函数，故令r（－1)≥0，解得t≤－2,综上知,t≥2 或t≤－2或t＝0. 名师点拨 ☞ 转换变量有时会起到意想不到的效果，一般已知给出谁的范围，通常让它作变量，求谁的范围,谁作参数． 〔变式训练3〕 已知f(x）＝x2－ax＋1，当a∈［－1，2]时恒有f（x）〈3，则x的取值范围为（1－错误!，1)。 [解析］ 设x2－ax＋1＝g(a）,则g(a）＝－xa＋x2＋1,a∈［－1，2］，由已知得g（a)<3， 只需满足错误!，即错误! - 18 - 学必求其心得，业必贵于专精 解得：1－错误!〈x<1.故填（1－错误!，1）． - 19 - 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容