一元二次方程知识点总结与易错题

一元二次方程知识点总结

考点一、一元二次方程

1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：ax2bxc0(a0)，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次 多项式，等式右边是零，其中ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法:

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如

2(xa)2b的一元二次方程。根据平方根的定义可知，xa是b的平方根，当b0时，xab，xab，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法:

配方法的理论根据是完全平方公式a22abb2(ab)2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x22bxb2(xb)2。

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程ax2bxc0(a0)的求根公式：

bb24ac2x(b4ac0)

2a公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c。

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 5、韦达定理

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利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于-为x1+x2=-

bc，二根之积等于，也可以表示aabc，x1 x2=。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用。 aa考点三、一元二次方程根的判别式

根的判别式：

一元二次方程ax2bxc0(a0)中，b4ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别式，通常用“”来表示，即b4ac I当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； III当△<0时，一元二次方程没有实数根。

考点四、一元二次方程根与系数的关系

如果方程ax2bxc0(a0)的两个实数根是x1，x2，那么x1x222bc，x1x2。也就是说，对aa于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反

数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

考点五、一元二次方程的二次函数的关系

大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。也就是该方程的解了

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一元二次方程专题

一、选择题

1、若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0有一个根为0，则m的值等于（ ） A．1 B. 2 C. 1或2 D. 0

2、巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x，则可列方程为（ ）

A．452x50 B．45(1x)250 C．50(1x)245

2D．45(12x)50

3、已知a，b是关于x的一元二次方程xnx10的两实数根，则

A．n2

2ba

的值是（ ） ab

B．n2

2C．n2

2

D．n2

24、已知a、b、c分别是三角形的三边，则(a + b)x2 + 2cx + (a + b)＝0的根的情况是（ ）

A．没有实数根

B．可能有且只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根

C．有两个相等的实数根

25、已知m,n是方程x2x10的两根，且(7m214ma)(3n26n7)8，则a的值等于 （ ）

A．－5 B.5 C.-9 D.9

6、已知方程xbxa0有一个根是a(a0)，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）

A．ab B．

22a C．ab D．ab b7、x2x20的一较小根为x1,下面对x1的估计正确的是 （ ）

A．2x11 B．1x10

2C．0x11

D．1x12

228、关于x的一元二次方程xmx2m10的两个实数根分别是x1、x2，且x1x27，则(x1x2)2的

值是（ ）

A．1

B．12 C．13 D．25

9、中江县2011年初中毕业生诊断考试)某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学

各送一张表示留念，全班共送了2450张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( )

A. x(x1)2450 B. x(x1)2450 C. 2x(x1)2450 D.

x(x1)2450 22210、设a，b是方程xx20090的两个实数根，则a2ab的值为（ ）

A．2006 B．2007 C．2008 D．2009

11、对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：

①若a+c=0，方程ax2+bx+c=0必有实数根； ②若b+4ac<0，则方程ax2+bx+c=0一定有实数根； ③若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=0一定有两个不等实数根；

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④若方程ax+bx+c=0有两个实数根，则方程cx+bx+a=0一定有两个实数根． 其中正确的是( )A．①② B．①③ C．②③ D．①③④

2212、下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）

A.3(x1)22(x1) B.1120x2y C.ax2bxc0 D.x22xx21

213、若2x3与2x4互为相反数，则x的值为( )

11

A．2 B、2 C、±2 D、±2 14、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25 C.2t2-7t-4=0

781(t)2化为416

D.3y2-4y-2=0

210(y)239 化为

15、关于x的一元二次方程

(m1)x2xm22m30的一个根为x=0，则m的值为（ ）

A．m=3或m=－1 B．m=－3或m= 1 C．m=－1 D．m=－3 16、若x1 ，x2 是方程x2 －5x+6=0的两个根，则x1 +x2的值是（ ） A .1 B.5 C. －5 D.6 17、 若x1 ，x2 是方程x2 －3x－1=0

11的两个根，则x1x2的值为（ ）

11 A.3 B.－3 C.3 D－3

18、 若x1 ，x2 是方程x2 －6x+k－1=0 A.8 B. －7 C.6 D.5

22xx24，则12的两个根，且

k的值为（）

19、 若关于x的方程kx2 －2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（） A.k＞－1 B. k＞－1且k≠0 C. k＜1 D. k＜1且k≠0 20.钟老师出示了小黑板上的题目(如图1－2－2）后，小敏回答：“方程有一根为1”，小聪回答：“方程有一根为2”．则你认为（ ）

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A．只有小敏回答正确 B．只有小聪回答正确 C．两人回答都正确 D．两人回答都不正确 21.解一元二次方程x2－x－12=0，结果正确的是（ ）

A．x1=－4，x2=3 B．x1=4，x2=－3 C．x1=－4，x2=－3 D．x1=4，x2=3 22.方程x(x3)(x3)解是（ ）

A．x1=1 B．x1=0，x2=－3 C．x1=1，x2=3 D．x1=1，x2=－3 23.若t是一元二次方程ax2＋bx+c=0(a≠0）的根，则判别式Δ=b2－4ac和完全平方式M=(2at+b)2的关系是（ ）

A．Δ=M B．Δ＞M C．Δ＜M D．大小关系不能确定 24.方程x(x1)0 的根是（ ）

A．0 B．1 C．0，－1 D．0，1

25.已知一元二次方程x2 －2x－7=0的两个根为x1，x2，则x1+ x2的值为（ ） A．－2 B．2 C．－7 D．7

26.已知x1、x2是方程x2－3x＋1 ＝0的两个实数根，则A、3

B、－3

1

C、3 D、1

11的值是( ) x1x2227.用换元法解方程(x2＋x)2＋(x2＋x)＝6时，如果设x2＋x＝y，那么原方程可变形为（ ）

A、y2＋y－6＝0 B、y2－y－6＝0 C、y2－y＋6＝0

D、y2＋y＋6＝0

28.方程x2－5x=0的根是（）A．0 B．0，5 C．5，5 D．5 29.若关于x的方程x2＋2x＋k=0有实数根，则（ ） A．k＜1，B．k≤1 C．k≤－1 D．k ≥－1

30.如果一元二次方程x2－4x＋2＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2等于（ ）

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A. 4 B. －4 C. 2 D. －2

31.用换元法解方程(x2－x)－x2x＝6时，设x2x＝y，那么原方程可化为（ ） A.y2＋y－6＝0 B. y2＋y＋6＝0C. y2－y－6＝0 D. y2－y＋6＝0 32.设x1，x2是方程2x2+3x-2=0的两个根，则x1＋x2的值是 ( ) 22 A．-3 B．3 C．－3 D．3

33.方程x3-x=0的解是（ ）A．0，1 B．1，-1 C．0，-1 D．0，1，－1

二、填空题

1、若一元二次方程x－(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b，则a+b= ． 2、方程（x﹣1）（x + 2）= 2（x + 2）的根是 ．

2ab3、关于x的一元二次方程ax+bx+1=0(a0)有两个相等实根，求 的值为____ ___． 22(a-2)b-42224、在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a=5，若关于x的方程x+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，则△ABC的周长为__________．

5、已知关于x的一元二次方程x-6x-k=0（k为常数）．设x1，x2为方程的两个实数根，且x1 +2x2=14，则k的值为__________．

226、已知一元二次方程x2 +2x－8=0的一根是2，则另一个根是______________. 7、 若关于x的方程－x2 +（2k+1）x+2－k2=0有实数根，则k的取值范围是_______ 用换元法解方程

(x25xx)40时，若设=y,则原方程x1x1x+1_ _

8.两个数的和为6，差（注意不是积）为8，以这两个数为根的一元二次方程 9.方程x2－x=0的解是______________

10.等腰△ABC中，BC=8， AB、BC的长是关于x的方程x2－10x+m= 0的两根，则m的值是________.

11.关于x的一元二次方程ax2 +2x+1=0的两个根同号，则a的取值范围是________ 12.已知关于x的一元二次方程x

2(k1)x606

的一个根是2，求方程的另一根和k

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的值________．

13.已知关于 x的一元 二次方程________．

14.如图1－2－3为长方形时钟钟面示意图，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形的宽为20厘米，钟面数字2在长方形的顶点处，则长方形的长为_________厘米．（此题用到三角函数） 8、解方程：(1)2(2x3)2(k4)x23xk23k40的一个根为0，求k的值

32; (2)3y(y1)2(y1);

(3) 3(4x2 －9)－(2x－3)=0; (4) x2 －6x+8=0

k12、关于x的方程kx2+(k+2)x+4=0有两个不相等的实数根，

(1)求k的取值范围；

(2)是否存在实数k使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在求出k的值；不存在说明理由。

中考预测题

一、基础经典题( 44分)

(一)选择题(每题4分，共28分 )

【备考1】如果在－1是方程x2+mx－1=0的一个根，那么m的值为（ ） A．－2 B．－3 C．1 D．2 【备考2】方程2x(x3)5(x3)的解是（ ）A．【备考3】若n是方程x2x3 B.x55 C.x13,x2 D.x322

mxn0的根，n≠0，则m+n等于（ ）

A．－7 B．6 C．1 D．－1 【备考4】关于x的方程x

2mxn0的两根中只有一个等于

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0，则下列条件中正确

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的是（ ）

A．m＝0，n＝0 B．m＝0，n ≠0 C．m≠0，n = 0 D．m≠0，n≠0 【备考5】以5－26 和5+26 为根的一元二次方程 是（ ） A．x210x10 B．x210x10 C．x210x10 D．x210x10

【备考6】已知x1，x2是方程x2－x－3=0的两根，

492 那么x12x2值是（ ） A．1 B．5 C．7 D、4 【备考7】关于x

12x(m3)xm20的方程4

有两个不相等的实根，那么m的最大整

数是（ ）A．2 B．－1 C．0 D．l （二）填空题（每题4分，共16分）

【备考8】已知一元二次方程x2＋3x+1=0的两个根为x1，x2那么（1+ x1）（1+ x2）的值等于_______.

【备考9】已知一个一元二次方程x2+px+l=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则P的值是_______.

【备考10】如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x－3=0的根，则□ABCD的周长是_______

A B D C E 2【备考11】关于x的方程(k1)x【备考12】关于x

3(k2)xk2420的一次项系数是－3，则k=_______

2a2a1x50 的方程(a1)x 是一元二次方程，则a=__________.

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