江西省南昌市新建二中2013届高三9月月考数学理试卷

卷

高三数学（理科）

命题人：邓国平 考试范围：函数与导数、集合与简易逻辑、概率与统计、 时量：120分钟 总分：150分

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填在答题卡上． 1．设集合P3,log2a，Qa,b，若PQ0，则PQ=（ B ）

A．3,0 B．3,0,1 C．3,0,2 D．3,0,1,22.若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝( D )

A．－2 B．－1 C．2 D．1 3.已知A是ABC内角,命题p:sinA13；命题q：cosA，则q是p的（ A ） 22A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 4.若函数f(x)＝ax＋bx＋c满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( B )

A．－1 B．－2 C．2 D．0 5.设集合P{x| A．1

4

2

x0(3t210t6)dt0,x0}，则集合P的非空子集个数是（ B ）

C．7 D．8

B．3

6．从5张10元，3张20元，2张50元的南昌市全运会门票中任选3张，则选取的3张中至少有2张价格相同的概率为（ D ） ．．

A．

17923 B． C． 412024 D．

3 427．已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)x，则f(1)（ A ）

A． 2 B．1 C．1 D．2

8．已知一组正数x1,x2,x3,x4的方差为S212222(x1x2x3x416)，则数据4x12,x22,x32,x42的平均数为（ C ）

A．2 B．3 C．4 D．6

1

9.在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为( D )

2

1173A. B. C. D. 4284

10.已知实数a、b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，M＝22，则M的整数部分是( B )

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.若空集是xx2a,aR的真子集，则实数a的取值范围是 0,

12.已知函数f(x)alog2x的图象经过点A(1,1)，则不等式fxab3的解集为 4x(0,42)

13.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x[0,1]时,f(x)x,则函数

yf(x)log3|x|的零点个数是 4个

14．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实根的

19

概率为________ 36

15.已知函数f(x)的导函数f（x）＝2x－9，且f(0)的值为整数，当x∈[n，n＋1](n∈N*)时，

f(x)所有可能取的整数值有且只有1个，则n＝________4

三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本题满分12分）设全集UR，集合A{x|6xx20}， 集合B{x| 解：(Ⅰ)

2x11}(Ⅰ)求集合A与B；(Ⅱ)求AB与(CUA)x3B.

6xx20,x2x60，A{x|3x2}………3分

2x12x1x41,10,即0,x3或x4， x3x3x3B{x|x3或x4} ………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知A{x|3x2}，B{x|x3或x4}，

AB ………9分

CUA{x|x3或x2}，(CUA)B{x|x3或x2}.………12分

17.（本题满分12分）已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值．解：(1)当a<0时，ymax＝f(0)＝1－a，1－a＝2，即a＝－1满足a<0，∴a＝－1；……4分

1±5

(2)当0≤a≤1时，ymax＝f(a)＝a2－a＋1.∴a2－a＋1＝2，解得a＝(舍去)；……8分

2(3)当a>1时，ymax＝f(1)＝2a－a＝2，∴a＝2满足a>1，∴a＝2. ……11分

综上可知，a的值为－1或2. ……12分 18.（本题满分12分）江西省重点高中新建二中打算用三辆校车从新校区把教职工接到老校区任教，已知从新校区到老校区有两条公路，校车走公路①堵车的概率为率为1，不堵车的概43；校车走公路②堵车的概率为p，不堵车的概率为1p．若甲、乙两辆校车走公路47，求走公路②堵车的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，16①，丙校车由于其他原因走公路②，且三辆校车是否堵车相互之间没有影响．（Ⅰ）若三辆校车中恰有一辆汽车被堵的概率为求三辆校车中被堵车辆的个数的分布列和数学期望。

1373解：（Ⅰ）由已知条件得 C(1p)p……3分

4416 4122 即3p1，则p1 ……5分 3（Ⅱ）可能的取值为0，1，2，3 ……6分 33237 ； P(1)443816 112111111131 ……10分 P(2)C2 ；P(3)443443644348 P(0)

的分布列为：

所以E0138711523 ……12分 16648619.（本题满分12分）已知函数f(x)lg(xa其中a是大于0的常数（.1） 当a(1,4)2)，

x时，求函数f(x)在[2,)上的最小值；（2）若对任意x[2,)恒有f(x)0，试确定a的取值范围

解:（1） 设g(x)xa2，当a(1,4)，x[2,)时 xax2aa则g(x)12恒成立，∴0g(x)x2在[2,)上是增函数

xxx2a∴f(x)lg(x2)在[2,)上是增函数 …………3分

x∴f(x)lg(xaa…………6分 2)在[2,)上的最小值为f(2)lgx2

a21对x[2,)恒成立………8分 x（2） 对任意x[2,)恒有f(x)0，即x39∴ a3xx2，而h(x)3xx2(x)2在x[2,)上是减函数 ………10分

24∴h(x)maxh(2)2，∴a2 ………12分

20.(本小题满分13分)某事业单位实行休年假制度三年以来，对50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示： 休假次数 人数 0 5 1 10 2 20 3 15

根据上表信息解答以下问题：(Ⅰ)从该单位任选两名职工，用h表示这两人休年假次数之和，记“函数f(x)=x-hx-1在区间(4，6)上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发．．．．生的概率P；(Ⅱ)从该单位任选两名职工，用x表示这两人休年假次数之差的绝对值，求．．．随机变量x的分布列及数学期望Ex.

解:(Ⅰ)函数fxxx1过(0,1)点，在区间(4,6)上有且只有一个零点，则必有

22f(4)0164101535即：，解得：所以，4或5 ……2分 46f(6)03661011211C20C15C20C10C1512685当4时，P，当时， ……4分 P2122C5049C50245所以PP1P26812128 ……6分 24549245(Ⅱ)从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之差的绝对值，则的可能取值分

别是0,1,2,3，

222111111C52C10C20C15C5C10C10C20C15C20222于是P0，， P(1)22C507C5049111111C5C153C5C20C10C1510， ………10分 P(3)P(2)22C5049C5049从而的分布列：

 0 1 2 3 222103 P 749494922210351的数学期望：E0123． …………13分

749494949121.(本小题满分14分)已知函数f(x)ax2(2a1)x2lnx(aR).(Ⅰ)若曲线

2yf(x)在x1和x3处的切线互相平行，求a的值；(Ⅱ)求f(x)的单调区间；(Ⅲ)

2设g(x)x2x，若对任意x1(0,2]，均存在x2(0,2]，使得f(x1)g(x2)，求a的

取值范围.

解：（Ⅰ）f(x)ax(2a1)（Ⅱ）f(x)22(x0).f(1)f(3)，解得a. ………2分

3x(ax1)(x2)(x0). ①当a0时，x0，ax10， 在区间(0,2)x上，f(x)0；在区间(2,)上f(x)0，故f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,). ………4分 ②当0a1111时，即2， 在区间(0,2)和(,)上，f(x)0；在区间(2,)上

aaa211f(x)0，故f(x)的单调递增区间是(0,2)和(,)，单调递减区间是(2,)……6分

aa(x2)21③当a时，f(x)， 故f(x)的单调递增区间是(0,). ………7分

2x2④当a111时，即02， f(x)的单调递增区间是(0,)和(2,)，单调递减区间是2aa1(,2). ………9分 a（Ⅲ）由已知，在(0,2]上有f(x)maxg(x)max. 由已知，g(x)max0，由（Ⅱ）可知，①当a1时，f(x)在(0,2]上单调递增， 2故f(x)maxf(2)2a2(2a1)2ln22a22ln2， 所以，2a22ln20，解得aln21，故ln21a②当a1. ………11分 2111时，f(x)在(0,]上单调递增，在[,2]上单调递减， 2aa故f(x)maxf()21a11112lna.由a可知lnalnln1，2lna2，

22e2a2lna2，所以，22lna0，f(x)max0恒成立。………13分

综上所述，aln21. ………14分