2016-2017学年湖南师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某学校为了了解高二年级学生对教师教学的意见，打算从高二年级883名学生中抽取80名进行座谈，若用系统抽样法抽样：先用简单随机抽样从883人中剔除n人，剩下的人再按系统抽样的方法进行，则抽样间隔和随机剔除的个体数n分别为（ ） A．11，3 B．3，11 C．3，80 D．80，3 2．在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知向量=（1，﹣3），=（4，﹣2），若实数λ使得λA．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 4．函数f（x）=sin（x+
）+cos（x﹣
+与 垂直，则λ=（ ）
）的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．3
5．下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩（成绩为整数，满分为100），其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是（ ） A．c⊥α，若c⊥β，则α∥β
B．b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则a⊥b C．b⊂β，若b⊥α则β⊥α
D．b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c 7．下列命题中正确的有（ ）
①命题∃x∈R，使sin x+cos x=的否定是“对∀x∈R，恒有sin x+cos x≠”； ②“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的充要条件； ③R2越小，模型的拟合效果越好；
④十进制数66化为二进制数是1 000 010（2）．
A．①②③④ B．①④ C．②③ D．③④
8．程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
9．椭圆
（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若
|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ） A．
B．
C．
D．
≤0的概率是（ ）
10．已知x，y∈[﹣2，2]，任取x、y，则使得（x2+y2﹣4）A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．
11．1 887与2 091的最大公约数是 ．
12．一个多面体内接于一个旋转体，其正视图、侧视图及俯视图都是一个圆的正中央含一个正方形，如图，若正方形的边长是1，则该旋转体的表面积是 ．
13．若椭圆+
=1（a＞b＞0）上的任意一点P到右焦点F的距离|PF|均满足|PF|2﹣
2a|PF|+c2≤0，则该椭圆的离心率e的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14．从一批土鸡蛋中，随机抽取n个得到一个样本，其重量（单位：克）的频数分布表如表：
[80，85） [85，[90，95） [95，100） 分组（重量）90） 10 50 m 15 频数（个） 已知从n个土鸡蛋中随机抽取一个，抽到重量在[90，95）的土鸡蛋的根底为
（1）求出n，m的值及该样本的众数；
（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的土鸡蛋中共抽取5个，再从这5个土鸡蛋中任取2 个，其重量分别是g1，g2，求|g1﹣g2|≥10的概率？ 15．已知命题p：方程x2﹣2mx+7m﹣10=0无解，命题q：x∈（0，+∞），x2﹣mx+4≥0恒成立，若p∨q是真命题，且￢（p∧q）也是真命题，求m的取值范围． 16．已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，其中左焦点为F（﹣2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段A，B的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．
一、选择题：本大题共2个小题，每小题5分，满分10分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
17．f（x）是定义在R的以3为周期的奇函数，且f（2）=0，则函数f（x）在区间[﹣3，3]内的零点个数的最小值是（ ） A．4 B．5 C．7 D．9 18．点P是椭圆
+
=1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为
1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为（ ） A．2
B．
C．
D．3
二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．
19．已知实数x，y使得x2+4y2﹣2x+8y+1=0，则x+2y的最小值等于 ．
三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC 1）求角C大小； （2）求
sinA﹣cos（B+
）的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．
21．已知等差数列{an}满足：a2=3，a5﹣2a3+1=0． （1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足：{bn}=（﹣1）nan+n（n∈N*），求{bn}的前n项和Sn． 22．如图，已知焦点在x轴上的椭圆
=1（b＞0）有一个内含圆x2+y2=，该圆的垂
直于x轴的切线交椭圆于点M，N，且⊥（O为原点）． （1）求b的值；
（2）设内含圆的任意切线l交椭圆于点A、B．求证：⊥，并求|
|的取值范围．
2016-2017学年湖南师大附中高二（上）期中数学试卷（文
科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某学校为了了解高二年级学生对教师教学的意见，打算从高二年级883名学生中抽取80名进行座谈，若用系统抽样法抽样：先用简单随机抽样从883人中剔除n人，剩下的人再按系统抽样的方法进行，则抽样间隔和随机剔除的个体数n分别为（ ） A．11，3 B．3，11 C．3，80 D．80，3 【考点】系统抽样方法．
【分析】根据系统抽样方法的定义，即可得出结论． 【解答】解：∵883=80×11+3，
∴抽样间隔和随机剔除的个体数n分别为11，3． 故选A
2．在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】要注意三角形内角和是180度，不要丢掉这个大前提． 【解答】解：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°， ∵A＞30°，
∴30°＜A＜180°， ∴0＜sin A＜1，
∴可判断它是sinA＞的必要而不充分条件．
故选：B．
3．已知向量=（1，﹣3），=（4，﹣2），若实数λ使得λA．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
+与 垂直，则λ=（ ）
【分析】利用向量的垂直的充要条件，列出方程，求解即可．
【解答】解：λ+=（λ+4，﹣3λ﹣2），代入（λ+）•=0， 即：λ+4+9λ+6=0，解得λ=﹣1． 故选：A．
4．函数f（x）=sin（x+A．
B．
C．2
）+cos（x﹣D．3
）的最大值为（ ）
【考点】三角函数的最值．
【分析】利用两角和与差的三角函数，化简三角函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求解最大值．
【解答】解：f（x）=sin（x+
）+cos（x﹣
）=sin x+
cos x=2sin（x+
），知其最大
值为2．
故选：C．
5．下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩（成绩为整数，满分为100），其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图．
【分析】由已知的茎叶图，我们可以求出甲乙两人的平均成绩，然后求出乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率，得到答案． 【解答】解：记其中被污损的数字为x．
依题意得甲的5 次综合测评的平均成绩为90， 乙的5 次综合测评的平均成绩为， 令≥90，由此解得x≥8， 即x的可能取值为8和9，
由此乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为：
=，
故选：D．
6．设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是（ ） A．c⊥α，若c⊥β，则α∥β
B．b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则a⊥b C．b⊂β，若b⊥α则β⊥α
D．b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】A：由面面平行的性质定理可得：若c⊥α，α∥β，则c⊥β；B：由三垂线定理得；C：当b⊂β，若β⊥α，则由面面垂直的性质定理得，未必有b⊥α；D：由线面平行的判定定理判断得；
【解答】解：对于A正确，c⊥α，α∥β，则c⊥β； 对于B正确，由三垂线定理得；
对于C不正确，当b⊂β，若β⊥α，则由面面垂直的性质定理得，未必有b⊥α； 对于D正确，由线面平行的判定定理判断得； 故选C．
7．下列命题中正确的有（ ）
①命题∃x∈R，使sin x+cos x=的否定是“对∀x∈R，恒有sin x+cos x≠”； ②“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的充要条件； ③R2越小，模型的拟合效果越好；
④十进制数66化为二进制数是1 000 010（2）．
A．①②③④ B．①④ C．②③ D．③④ 【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】利用命题的否定形式，判断①的正误；利用充要条件判断②的正误；利用独立检验判断③的正误；利用进位制求解判断④的正误．
①命题∃x∈R，【解答】解：使sin x+cos x=的否定是“对∀x∈R，恒有sin x+cos x≠”；
满足命题的否定形式，所以①正确；
②“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的充要条件；不是充要条件，所以②不正确； ③R2越小，模型的拟合效果越好；不满足独立检验的判断，所以不正确； ④1 000 010（2）=1×26+1×2=66（10）．十进制数66化为二进制数是1 000 010（2）． 故选：B．
8．程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
【考点】程序框图．
【分析】根据程序框图，进行运行，得到S的取值具备周期性，利用周期即可得到程序终止的条件，即可得到结论．
【解答】解：据程序框图，可看做是：已知a1=由已知有故a2016=﹣故选：C． 9．椭圆
（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若=
﹣1，求出通项an=﹣．
=﹣2，an+1=（或由前几项归纳），
，求a2016，
|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质；等比关系的确定．
【分析】由题意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，由|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列可得到e2=
=，从而得到答案．
【解答】解：设该椭圆的半焦距为c，由题意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，
∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列， ∴（2c）2=（a﹣c）（a+c）， ∴
=，即e2=，
∴e=，即此椭圆的离心率为．
故选B．
10．已知x，y∈[﹣2，2]，任取x、y，则使得（x2+y2﹣4）A．
B．
C．
D．
≤0的概率是（ ）
【考点】几何概型． 【分析】把（x2+y2﹣4）
≤0转化为不等式组
，画出图形求出图中阴
影部分占正方形的面积比即可． 【解答】解：（x2+y2﹣4）
≤0等价于
不等式，
画出图形，如图所示；
则不等式组表示的是图中的阴影部分， 所求的概率为P=
=
．
故选：D．
二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．
11．1 887与2 091的最大公约数是 51 ． 【考点】用辗转相除计算最大公约数．
【分析】本题考查的知识点是辗转相除法，根据辗转相除法的步骤，将1 887与2 091代入易得到答案．
【解答】解：∵2091=1×1887+204， 1887=9×204+51， 204=4×51，
故1 887与2 091的最大公约数是51， 故答案为：51．
12．一个多面体内接于一个旋转体，其正视图、侧视图及俯视图都是一个圆的正中央含一个正方形，如图，若正方形的边长是1，则该旋转体的表面积是 3π ．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】原几何体是一个棱长为1的正方体内接于一个球，则球的直径是的表面积．
【解答】解：原几何体是一个棱长为1的正方体内接于一个球， 则球的直径是故答案为3π． 13．若椭圆
+
，故球的表面积是4π•
=3π．
，即可求出球
=1（a＞b＞0）上的任意一点P到右焦点F的距离|PF|均满足|PF|2﹣
2a|PF|+c2≤0，则该椭圆的离心率e的取值范围为 （0，
] ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意可知：|PF|2﹣2a|PF|+c2≤0，即|PF|2﹣2a|PF|+a2﹣b2≤0，解得：a﹣b≤|PF|≤a+b，由椭圆的图象可知：a﹣c≤丨PF丨≤a+c，列不等式组，即可求得c≤b，根据椭圆的性质求得a≥2
c，由椭圆的离心率公式，可得e=≤
，由0≤e≤1，即可求得
椭圆的离心率e的取值范围． 【解答】解：由椭圆方程可得：可得a2﹣b2=c2，
∵|PF|2﹣2a|PF|+c2≤0，
+
=1（a＞b＞0），
|PF|2﹣2a|PF|+a2﹣b2≤0， ∴a﹣b≤|PF|≤a+b，
而椭圆中，a﹣c≤丨PF丨≤a+c， 故
，
∴c≤b，
∴c2≤a2﹣c2，即2c2≤a2， ∴a≥2c， ∴e=≤
，
∵0≤e≤1， ∴e∈（0，
]，
]．
故答案为：（0，
三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14．从一批土鸡蛋中，随机抽取n个得到一个样本，其重量（单位：克）的频数分布表如表：
[80，85） [85，[90，95） [95，100） 分组（重量）90） 10 50 m 15 频数（个） 已知从n个土鸡蛋中随机抽取一个，抽到重量在[90，95）的土鸡蛋的根底为
（1）求出n，m的值及该样本的众数；
（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的土鸡蛋中共抽取5个，再从这5个土鸡蛋中任取2 个，其重量分别是g1，g2，求|g1﹣g2|≥10的概率？ 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】（1）依频数分布表性质列出方程组，能求出n，m的值及该样本的众数．
（2）若采用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100]的土鸡蛋中共抽取5个，则重量在[80，85）的有职有2个，在[95，100]的个数有3个，从抽出的5个土鸡蛋中，任取2个共有10种情况，要|g1﹣g2|＞10，则必须是“重量在[80，85）和[95，100]中各有一个”，由此能求出从抽出的5个土鸡蛋中，任取2个，重量满足|g1﹣g2|≥10的概率． 【解答】解：（1）依题意可得，解得m=20，n=95． 众数是：
=87.5．
，
（2）若采用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100]的土鸡蛋中共抽取5个， 则重量在[80，85）的个数为在[95，100]的个数为
，记为x，y，
=3，记为a，b，c，
从抽出的5个土鸡蛋中，任取2个共有：
（x，a），（x，b），（x，c），（a，b），（a，c），（b，c），（y，a），（y，b），（y，c），（x，y）10种情况．
要|g1﹣g2|＞10，则必须是“重量在[80，85）和[95，100]中各有一个”， 这样的情况共有（x，a），（x，b），（x，c），（y，a），（y，b），（y，c）6种． 设事件A表示“抽出的5个土鸡蛋中，任取2个，重量满足|g1﹣g2|＞10”， 则P（A）=
，
∴从抽出的5个土鸡蛋中，任取2个，重量满足|g1﹣g2|≥10的概率为．
15．已知命题p：方程x2﹣2mx+7m﹣10=0无解，命题q：x∈（0，+∞），x2﹣mx+4≥0恒成立，若p∨q是真命题，且￢（p∧q）也是真命题，求m的取值范围． 【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】由p∨q是真命题，且￢（p∧q）也是真命题得：p与q为一真一假；分别求出命题p，q为真假时参数m的范围，可得答案．
【解答】解：当命题p为真时，有：△=（﹣2m）2﹣4（7m﹣10）＜0， 解得：2＜m＜5； 当命题q为真时，有：m≤即m≤（x+）min，
而x∈（0，+∞）时，（x+）min=4，当x=2时取等号．
即m≤4．
由p∨q是真命题，且￢（p∧q）也是真命题得：p与q为一真一假； 当p真q假时，
，即4＜m＜5；
=x+，对x∈（0，+∞）恒成立，
当p假q真时，，即m≤2或m≥5，
综上，所求m的取值范围是（﹣∞，2]∪（4，5）．
16．已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，其中左焦点为F（﹣2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段A，B的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．
【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程． 【分析】（1）由椭圆的离心率为由此能求出椭圆C的方程．
，其中左焦点为F（﹣2，0），列出方程组求出a，b，
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由
，得
3x2+4mx+2m2﹣8=0，由此利用要根的判别式、韦达定理、中点坐标公式能求出m的值． 【解答】解：（1）∵椭圆C：2，0），
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，其中左焦点为F（﹣
∴由题意得，
解得a=2，b=2，
．
∴椭圆C的方程为
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0）， 由
，消去y得3x2+4mx+2m2﹣8=0，
△=96﹣8m2＞0， ∴﹣2＜m＜2， ∵x0=
=﹣
，
∴y0=x0+m=，
∵点M（x0，y0）在圆x2+y2=1上， ∴（﹣∴m=±
）2+（）2=1， ．
一、选择题：本大题共2个小题，每小题5分，满分10分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
17．f（x）是定义在R的以3为周期的奇函数，且f（2）=0，则函数f（x）在区间[﹣3，3]内的零点个数的最小值是（ ） A．4 B．5 C．7 D．9
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】利用函数的周期以及奇函数求解函数的零点即可． 【解答】解：f（2）=0，f（﹣2）=0，f（1）=0，f（﹣1）=0， f（0）=0，f（3）=0，f（﹣3）=0，
f（）=f（﹣+3）=f（），又f（﹣）=﹣f（），则f（）=f（﹣）=0，
故至少可得9个零点．
故选：D．
18．点P是椭圆
+
=1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为
1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为（ ） A．2
B．
C．
D．3
【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．
【分析】利用椭圆方程求出a，c，△PF1F2的内切圆半径为1，利用三角形的面积公式，化简求解即可．
【解答】解：|PF1|+|PF2|=10，|F1F2|=6， 点P是椭圆
+
=1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，
=（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）×1=8=|F1F2|•yP，
yP=．
故选：C．
二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．
19．已知实数x，y使得x2+4y2﹣2x+8y+1=0，则x+2y的最小值等于 ﹣2【考点】三角函数的最值．
22
=4，【分析】将x2+4y2﹣2x+8y+1=9化简为（x﹣1）+4（y+1）利用换元法，令
﹣1 ．
，
通过三角函数的有界性，求出最小值即可．
【解答】解：由题意：x2+4y2﹣2x+8y+1=0，化简为（x﹣1）2+4（y+1）2=4， 令
，θ∈[0，2π）．
则：x=2cosθ+1，y=sinθ﹣1．
所以：x+2y=2cosθ+1+2sinθ﹣2=2cos θ+2sin θ﹣1=2∵sin（
）的最小值为﹣1，
sin（
）﹣1
∴x+2y的最小值﹣2﹣1．
故答案为：﹣2﹣1．
三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC 1）求角C大小； （2）求
sinA﹣cos（B+
）的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．
【考点】正弦定理的应用；三角函数的最值．
【分析】（1）利用正弦定理化简csinA=acosC．求出tanC=1，得到C=B=（2）
﹣A，化简
sinA﹣cos（B+
），通过0＜A＜
，推出
． ＜A+
＜
，
求出2sin（A+）取得最大值2．得到A，B．
【解答】解：（1）由正弦定理得 sinCsinA=sinAcosC， 因为0＜A＜π，所以sinA＞0．从而sinC=cosC， 又cosC≠0，所以tanC=1，C=（2）有（1）知，B=sinA﹣cos（B+=2sin（A+因为0＜A＜从而当A+2sin（A+综上所述
=）．
，所以，即A=
＜A+时
＜
，
）=
．
﹣A，于是 sinA+cosA
）取得最大值2． sinA﹣cos（B+
）的最大值为2，此时A=
，B=
．
21．已知等差数列{an}满足：a2=3，a5﹣2a3+1=0． （1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足：{bn}=（﹣1）nan+n（n∈N*），求{bn}的前n项和Sn． 【考点】数列递推式；数列的求和． 【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）由已知得bn=（﹣1）n（2n﹣1）+n，对n分类讨论即可得出． 【解答】解：（1）令等差数列{an}的公差为d，由a2=3，a5﹣2a3+1=0，得
，
解得a1=1，d=2，
故数列{an}的通项公式为an=2n﹣1（n∈N*）． （2）由已知得bn=（﹣1）n（2n﹣1）+n，
若n为偶数，结合an﹣an﹣1=2，得
Sn=（﹣a1+a2）+（﹣a3+a4）+…+（﹣an﹣1+an）+（1+2+…+n）=2•+若n为奇数，则Sn=Sn﹣1+bn=
22．如图，已知焦点在x轴上的椭圆
=1（b＞0）有一个内含圆x2+y2=，该圆的垂
﹣（2n﹣1）+n=
=
；
．
直于x轴的切线交椭圆于点M，N，且⊥（O为原点）． （1）求b的值；
（2）设内含圆的任意切线l交椭圆于点A、B．求证：⊥，并求|
|的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（1）设出M，N的坐标，利用代入椭圆方程，即可求b的值；
（2）分类讨论，当l⊥x轴时，由（1）知
⊥
知|y1|=
，即点（
，
）在椭圆上，
⊥；当l不与x轴垂直时，设l的方程是：
y=kx+m，代入椭圆方程可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，利用韦达定理证明x1x2+y1y2=0即可，利用弦长公式，结合换元、配方法，即可确定|AB|的取值范围． 【解答】（1）解：当MN⊥x轴时，MN的方程是x=±设M（±由
⊥
，y1），N（±知|y1|=，
，
，﹣y1），
，
即点（）在椭圆上，代入椭圆方程得b=2．
（2）证明：当l⊥x轴时，由（1）知⊥；
当l不与x轴垂直时，设l的方程是：y=kx+m，即kx﹣y+m=0 则
=
，即3m2=8（1+k2）
y=kx+m代入椭圆方程可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0， △=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=
（4k2+1）＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2） 则x1+x2=
，x1x2=
，
所以x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=
即椭圆的内含圆x2+y2=的任意切线l交椭圆于点A、B时总有当l⊥x轴时，易知|AB|=2
=
=0，即⊥．
⊥．
当l不与x轴垂直时，|AB|=设t=1+2k2∈[1，+∞），∈（0，1]
=•
则|AB|=•=•
所以当=即k=±时|AB|取最大值2
，
，
当=1即k=0时|AB|取最小值综上|AB|∈
．
2016年12月10日
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