武川县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

一、选择题

1． 下列给出的几个关系中：①a,b；②④0,正确的有（ ）个

A.个 B.个 C.个 D.个 a,ba,b；③a,bb,a；

2． （+

）2n（n∈N*

）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（ ）

A．120

B．210 C．252 D．45

3． 下列说法正确的是（ ）

A.圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形；

B.棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体； C.任何一个棱台都可以补一个棱锥使他们组成一个新的棱锥； D.通过圆台侧面上的一点，有无数条母线.

4． 设公差不为零的等差数列aSn的前n项和为Sn，若a742(a2a3)，则a（ ）4 A．

74 B．145 C．7 D．14 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式及其前n项和，意在考查运算求解能力.

5． 数列{an}中，a11，对所有的n2，都有a1a2a3ann2，则a3a5等于（ A．

259 B．2516 C．6116 6． 函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，－ππφ

2≤φ≤2）的部分图象如图所示，则ω

的值为（

A.1

8 B．14

C.12

D．1

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D．3115 ）

） 7． 对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=12，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是（ ） A．10个 B．15个 C．16个 D．18个

8． 在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA1=角的正切值为（ ） A．

B．

C．

，M为A1B1的中点，则AM与平面AA1C1C所成

D．

x2y29． 已知双曲线221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线于P,Q两点且

ab54PQPF1，若|PQ||PF1|，，则双曲线离心率e的取值范围为（ ）.

1231037371010] B. (1,] C. [,] D. [,) A. (1,25252第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

10．函数f(x)(xÎR)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)=íìïx(1-x),0＃x1，则

ïîsinpx,116161616【命题意图】本题考查函数的奇偶性和周期性、分段函数等基础知识，意在考查转化和化归思想和基本运算能力．

11．若函数f(x)x1,x0,则f(3)的值为（ ）

f(x2),x0,A．5 B．1 C．7 D．2 12．将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为（ ） A．1372 B．2024 C．3136 D．4495

二、填空题

13．在正方形ABCD中，ABAD2,M,N分别是边BC,CD上的动点，当AMAN4时，则MN 的取值范围为 ．

【命题意图】本题考查平面向量数量积、点到直线距离公式等基础知识，意在考查坐标法思想、数形结合思想和基本运算能力．

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14．设函数f（x）=若f[f（a）]，则a的取值范围是 ．

15．AA1=2cm， 长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB=AD=4cm，则点A1到平面AB1D1的距离等于 cm．

16．已知命题p：实数m满足m2+12a2＜7am（a＞0），命题q：实数m满足方程在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，a的取值范围为 ． 题：

①若点P总保持PA⊥BD1，则动点P的轨迹所在曲线是直线； ②若点P到点A的距离为

，则动点P的轨迹所在曲线是圆；

+

=1表示的焦点

17．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动．现有下列命

③若P满足∠MAP=∠MAC1，则动点P的轨迹所在曲线是椭圆；

④若P到直线BC与直线C1D1的距离比为1：2，则动点P的轨迹所在曲线是双曲线； ⑤若P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹所在曲线是抛物丝． 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）

18．若数列{an}满足：存在正整数T，对于任意的正整数n，都有an+T=an成立，则称数列{an}为周期为T的周期数列．已知数列{an}满足：a1＞=m （m＞a ），an+1=

，现给出以下三个命题：

①若 m=，则a5=2；

②若 a3=3，则m可以取3个不同的值； ③若 m=

，则数列{an}是周期为5的周期数列．

其中正确命题的序号是 ．

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三、解答题

19．在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（0，4）；B（﹣3，0），C（1，1） （1）求点C到直线AB的距离； （2）求AB边的高所在直线的方程．

20．已知三次函数f（x）的导函数f′（x）=3x2﹣3ax，f（0）=b，a、b为实数． （1）若曲线y=f（x）在点（a+1，f（a+1））处切线的斜率为12，求a的值；

（2）若f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值、最大值分别为﹣2、1，且1＜a＜2，求函数f（x）的解析式．

21．已知斜率为1的直线l经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，|AB|=4．

（I）求p的值；

（II）若经过点D（﹣2，﹣1），斜率为k的直线m与抛物线有两个不同的公共点，求k的取值范围．

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22．（本题满分12分）在ABC中，已知角A,B,C所对的边分别是a,b,c，边c7，且 2tanAtanB3tanAtanB3，又ABC的面积为SABC

33，求ab的值． 223．如图的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）．

（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；

（3）在所给直观图中连结BC′，证明：BC′∥面EFG．

24．已知an是等差数列，bn是等比数列，Sn为数列an的前项和，a1b11，且b3S336，

b2S28（nN*）．

（1）求an和bn；

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（2）若anan1，求数列

1的前项和Tn． aann1第 6 页，共 18 页

武川县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】C 【解析】

试题分析：由题意得，根据集合之间的关系可知：a,bb,a和0是正确的，故选C. 考点：集合间的关系. 2． 【答案】 B

【解析】

【专题】二项式定理．

【分析】由已知得到展开式的通项，得到第6项系数，根据二项展开式的系数性质得到n，可求常数项． 【解答】解：由已知（

+

2n*

）（n∈N）展开式中只有第6项系数为

最大，

所以展开式有11项，所以2n=10，即n=5， 又展开式的通项为令5﹣

=0解得k=6，

=210；

=

，

所以展开式的常数项为故选：B 3． 【答案】C 【解析】

【点评】本题考查了二项展开式的系数以及求特征项；解得本题的关键是求出n，利用通项求特征项．

考

点：几何体的结构特征. 4． 【答案】C.

)化简得a1d，∴【解析】根据等差数列的性质，a42(a2a3)a13d2(a，1da12dS7a47a176d14d27，故选C.

a13d2d第 7 页，共 18 页

5． 【答案】C 【解析】

试题分析：由a1a2a3ann，则a1a2a32n2a1)，两式作商，可得an，所以n1(n2(n1)2325261a3a522，故选C．

2416考点：数列的通项公式． 6． 【答案】

【解析】解析：选B.由图象知函数的周期T＝2， 2π

∴ω＝＝π，

2

1

即f（x）＝sin（πx＋φ），由f（－）＝0得

4ππ－＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ＋. 44πππ又－≤φ≤，∴当k＝0时，φ＝，

2241

则＝，故选B. ω47． 【答案】B

【解析】解：a※b=12，a、b∈N，

*

φ

若a和b一奇一偶，则ab=12，满足此条件的有1×12=3×4，故点（a，b）有4个；

若a和b同奇偶，则a+b=12，满足此条件的有1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6共6组，故点（a，b）有2×6﹣1=11个，

所以满足条件的个数为4+11=15个． 故选B

8． 【答案】D 【解析】解：双曲线

（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x

联立方程组，解得A（，），B（，﹣），

设直线x=与x轴交于点D

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∵F为双曲线的右焦点，∴F（C，0）

∵△ABF为钝角三角形，且AF=BF，∴∠AFB＞90°，∴∠AFD＞45°，即DF＜DA ∴c﹣

＜

222222

，b＜a，c﹣a＜a∴c＜2a，e＜2，e＜

又∵e＞1

∴离心率的取值范围是1＜e＜故选D

【点评】本题主要考查双曲线的离心率的范围的求法，关键是找到含a，c的齐次式，再解不等式．

9． 【答案】C

【解析】如图，由双曲线的定义知，|PF1||PF2|2a，|QF1||QF2|2a，两式相加得

2PQPF|PF||QF||PQ|4a|PQ||PF||QF|1|PF1|， 11111 ，又，，

4a|PF|12|PF||QF||PQ|(11)|PF|4a112①， 111 ，

|PF2|

2a(112)1122②，在

PF1F2222|PF||PF||FF|1212中，，将①②代入得

()(221111

(112)222(11)

4a2a(112))24c24，化简得：(11)22

e254,]22y1111t，令，易知在123上单调递减，故

[37104(2t)2t24t84511213752e[,]t[,]e28()[,]225233tttt42252 ，，，故答案 选

C.

10．【答案】C

11．【答案】D111] 【解析】

试题分析：f3f1f1112. 考点：分段函数求值．

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12．【答案】 C

【解析】

【专题】排列组合．

点在另一条边，根据分类计数原理可得． 上，有4种方法，

【分析】分两类，第一类，三点分别在三条边上，第二类，三角形的两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶【解答】解：首先注意到三角形的三个顶点不在正方形的同一边上．任选正方形的三边，使三个顶点分别在其

33

再在选出的三条边上各选一点，有7种方法．这类三角形共有4×7=1372个．

另外，若三角形有两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶点在另一条边上，则先取一边使其上有三角形的两个顶点，有4种方法， 4×21×21=1764个． 故选：C．

再在这条边上任取两点有21种方法，然后在其余的21个分点中任取一点作为第三个顶点．这类三角形共有综上可知，可得不同三角形的个数为1372+1764=3136．

【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，还要结合几何图形，属于中档题．

二、填空题

13．【答案】[2,2]

（0＃x2，0＃y2）上的点(x,y)到定点(2,2)的距离，其最小值为2，最大值为2，故MN的取值

范围为[2,2]．

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yD2NCMA14．【答案】

【解析】解：当∵当

，由

B2或a=1 ．

时，

x

． ，解得：

，所以

；

，f（a）=2（1﹣a），

，则

，

∵0≤2（1﹣a）≤1，若分析可得a=1． 若由综上得：故答案为：中档题．

15．【答案】

，即，得：或a=1． 或a=1．

．

，因为2[1﹣2（1﹣a）]=4a﹣2，

【点评】本题考查了函数的值域，考查了分类讨论的数学思想，此题涉及二次讨论，解答时容易出错，此题为

【解析】解：由题意可得三棱锥B1﹣AA1D1的体积是三角形AB1D1的面积为4

，设点A1到平面AB1D1的距离等于h，则

=，

，

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则h=

．

故点A1到平面AB1D1的距离为故答案为：

16．【答案】 [，] ．

．

22

【解析】解：由m﹣7am+12a＜0（a＞0），则3a＜m＜4a 即命题p：3a＜m＜4a， 实数m满足方程

+

=1表示的焦点在y轴上的椭圆，

则，

，解得1＜m＜2，

若p是q的充分不必要条件， 则解得

，

，

故答案为[，]．

【点评】本题考查充分条件、必要条件，一元二次不等式的解法，根据不等式的性质和椭圆的性质求出p，q的等价条件是解决本题的关键．

17．【答案】 ①②④

【解析】解：对于①，∵BD1⊥面AB1C，∴动点P的轨迹所在曲线是直线B1C，①正确； 对于②，满足到点A的距离为②正确；

对于③，满足条件∠MAP=∠MAC1 的点P应为以AM为轴，以AC1 为母线的圆锥，平面BB1C1C是一个与轴AM平行的平面，

又点P在BB1C1C所在的平面上，故P点轨迹所在曲线是双曲线一支，③错误； 对于④，P到直线C1D1 的距离，即到点C1的距离与到直线BC的距离比为2：1， ∴动点P的轨迹所在曲线是以C1 为焦点，以直线BC为准线的双曲线，④正确； 对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE⊥BC，EF⊥AD，PG⊥CC1，连接PF，

的点集是球，∴点P应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，

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设点P坐标为（x，y，0），由|PF|=|PG|，得∴P点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误． 故答案为：①②④．

22

，即x﹣y=1，

【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．

18．【答案】 ①② ．

【解析】解：对于①由an+1=所以，

＞1，

，

，且a1=m=＜1，

，∴a5=2 故①正确；

对于②由a3=3，若a3=a2﹣1=3，则a2=4，若a1﹣1=4，则a1=5=m． 若

，则

．

若a1＞1a1=，若0＜a1≤1则a1=3，不合题意． 所以，a3=2时，m即a1的不同取值由3个． 故②正确； 若a1=m=故在a1=

＞1，则a2=

，所a3=

＞1，a4=

时，数列{an}是周期为3的周期数列，③错；

故答案为：①②

【点评】本题主要考查新定义题目，属于创新性题目，但又让学生能有较大的数列的知识应用空间，是较好的题目

三、解答题

19．【答案】

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【解析】解（1）∵

∴根据直线的斜截式方程，直线AB：

，

，化成一般式为：4x﹣3y+12=0，

； ，

∴根据点到直线的距离公式，点C到直线AB的距离为

（2）由（1）得直线AB的斜率为，∴AB边的高所在直线的斜率为由直线的点斜式方程为：

∴AB边的高所在直线的方程为3x+4y﹣7=0．

20．【答案】

【解析】解：（1）由导数的几何意义f′（a+1）=12

2

∴3（a+1）﹣3a（a+1）=12 ∴3a=9∴a=3

2

（2）∵f′（x）=3x﹣3ax，f（0）=b

，化成一般式方程为：3x+4y﹣7=0，

∴

由f′（x）=3x（x﹣a）=0得x1=0，x2=a ∵x∈[﹣1，1]，1＜a＜2

∴当x∈[﹣1，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x∈（0，1]时，f′（x）＜0，f（x）递减． ∴f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值为f（0） ∵f（0）=b， ∴b=1 ∵

∴f（﹣1）＜f（1）

∴f（﹣1）是函数f（x）的最小值， ∴∴

，

32

∴f（x）=x﹣2x+1

【点评】曲线在切点处的导数值为曲线的切线斜率；求函数的最值，一定要注意导数为0的根与定义域的关系．

21．【答案】

2

【解析】解：（I）由题意可知，抛物线y=2px（p＞0）的焦点坐标为

，准线方程为．

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所以，直线l的方程为由

消y并整理，得

… …

．…

设A（x1，y1），B（x2，y2） 则x1+x2=3p，

又|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4， 所以，3p+p=4，所以p=1…

2

（II）由（I）可知，抛物线的方程为y=2x．

由题意，直线m的方程为y=kx+（2k﹣1）．… 由方程组

2

（1）

可得ky﹣2y+4k﹣2=0（2）… 当k=0时，由方程（2），得y=﹣1．

2

把y=﹣1代入y=2x，得

．

这时．直线m与抛物线只有一个公共点

2

当k≠0时，方程（2）得判别式为△=4﹣4k（4k﹣2）． 由△＞0，即4﹣4k（4k﹣2）＞0，亦即4k﹣2k﹣1＜0． 解得于是，当

．

且k≠0时，方程（2）有两个不同的实根，从而方程组（1）有两组不同的解，这

．…

时，直线m与抛物线有两个不同的公共点，… 因此，所求m的取值范围是

【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

22．【答案】【解析】

11． 2第 15 页，共 18 页

试

题解析：由tanAtanB3tanAtanB3 tanAtanB3，即tan(AB)3. 1tanAtanB∴tan(C)3，∴tanC3，∴tanC3. 可得

∵C(0,)，∴C3.

331331333，∴absinC，即ab，∴ab6.

2222227222222又由余弦定理可得cab2abcosC，∴()ab2abcos，

2372121112222∴()abab(ab)3ab，∴(ab)，∵ab0，∴ab.1 242又ABC的面积为SABC考点：解三角形问题．

【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到两角和与两角差的正切函数公式、三角形的面积、正弦定理和余弦定理，以及特殊角的三角函数值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，其中熟练掌握基本公式和灵活运用公式是解答本题的关键，属于中档试题． 23．【答案】 【解析】解：（1）如图

（2）它可以看成一个长方体截去一个小三棱锥，

设长方体体积为V1，小三棱锥的体积为V2，则根据图中所给条件得：V1=6×4×4=96cm，

3

V2=••2•2•2=cm3，

∴V=v1﹣v2=

cm3

（3）证明：如图，

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在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，连接AD′，则AD′∥BC′

因为E，G分别为AA′，A′D′中点，所以AD′∥EG，从而EG∥BC′， 又EG⊂平面EFG，所以BC′∥平面EFG；

2016年4月26日

n124．【答案】（1）an2n1，bn2或an1n. (52n)，bn6n1；（2）

32n1【解析】

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试题解析：（1）设an的公差为d，bn的公比为，

2q2(33d)36,d2,d,由题意得解得或3

q2,q(2d)8,q6.1n1n1∴an2n1，bn2或an(52n)，bn6．

3（2）若anan+1，由（1）知an2n1，

11111()， ∴

anan1(2n1)(2n1)22n12n1111111n∴Tn(1…． )23352n12n12n1考点：1、等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式；2、裂项相消法求和的应用.

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