【题型1 菱形的性质（求角度）】
【例1】如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（ ）
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
【变式1-1】如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C落在AB边的垂直平分线上的点C′处，则∠DEC的大小为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
【变式1-2】如图，在菱形ABCD中，点M、N分别交于AB、CD上，AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠OBC＝62°，则∠DAC为 °．
【变式1-3】如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝110°，AB的垂直平分线交AC于点N，点
M为垂足，连接DN，则∠CDN的大小是 ．
【题型2 菱形的性质（求长度）】
【例2】如图，在菱形ABCD中，BC＝10，点E在BD上，F为AD的中点，FE⊥BD，垂足为E，EF＝4，则BD长为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．16
【变式2-1】如图四边形ABCD为菱形，点E为BC的中点，点F在CD上，若∠DAB＝60°，∠DFA＝2∠EAB，AD＝4，则CF的长为（ ）
A．
54
B．
4
√3
5
C． 5
6
D． 5
8
【变式2-2】如图，在菱形ABCD中，AB＝13cm，AC＝24cm，E，F分别是CD和BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG的长度为 cm．
【变式2-3】如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E，F分别在BC，CD边上，且CE＝DF，BF与DE交于点G，若BG＝3，DG＝5，则CD＝ ．
【题型3 菱形的性质（等积法）】
【例3】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．过O作OE⊥AB于点E．延长EO交CD于点F，若AC＝8，BD＝6，则EF的值为（ ）
A．5
B．
125
C．
245
D．
485
【变式3-1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则
𝐵𝐸𝐶𝐸
的值为（ ）
A．
512
B．
7
25
C．
7
18
D．
5
24
【变式3-2】如图，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝16，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为 ．
【变式3-3】如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，AB＝3，点E在BC上，且BE＝2EC，BF⊥AE，垂足为F，则BF的值为 ．
【题型4 菱形的判定（选择条件）】
【例4】在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是（ ） A．∠AOB＝60°
B．AC⊥BD
C．AC＝BD
D．AB⊥BC
【变式4-1】已知平行四边形ABCD，下列条件：①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD．其中能使平行四边形ABCD是菱形的有（ ） A．①③
B．②③
C．③④
D．①②③
【变式4-2】如图，在▱ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件是（ ）
A．OM=2AC
1
B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
【变式4-3】如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形； ③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形； ④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形． 其中，正确的有 ．（只填写序号）
【题型5 菱形的判定（证明题）】
【例5】如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE＝DF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若BD平分∠ABC，求证：四边形AECF是菱形．
【变式5-2】已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，联结OE，OC＝OE． （1）求证：OE=2AC；
（2）如果DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形．
1
【变式5-3】如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF．
（1）求证△ADE≌△CBF；
（2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：四边形AFCE是菱形．
【变式5-3】如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A＝50°，则当∠ADE＝ °时，四边形BECD是菱形．
【题型6 菱形的判定与性质综合（最值问题）】
【例6】如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（ ）
A．3√3 B．3+3√3 C．6+√3
D．6√3
【变式6-1】如图，菱形ABCD的边长为2√3，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且EF＝2，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是（ ）
A．4
B．4+√3 C．2+2√3
D．6
【变式6-2】如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N．连接
PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于 ．
【变式6-3】如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合． （1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．
【题型7 菱形的判定与性质综合（多结论问题）】
【例7】如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD=2AC，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点，下列结论： ①CN⊥BD； ②MN＝NP；
③四边形MNCP是菱形； ④ND平分∠PNM． 其中正确的有（ ）
1
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式7-1】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．下列结论正确的是（ ）
①EG＝EF； ②△EFG≌△GBE； ③FB平分∠EFG； ④EA平分∠GEF； ⑤四边形BEFG是菱形．
A．③⑤
B．①②④
C．①②③④
D．①②③④⑤
【变式7-2】如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD＝120°；②BG+DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④S菱形ABCD＝AB2；⑤2DE=√3DC；⑥BF＝BC，正确结论的有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式7-3】如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：①∠DBC＝60°：②△AED≌△DFB；③GC与BD一定不垂直；④∠BGE的大小为定值．其中结论正确的是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
【题型8 菱形的判定与性质综合（动点问题）】
【例8】如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（ ）
A．
43
B．
3
4
C． 2
3
D． 3
5
【变式8-1】如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝8，对角线AC，BD交于点O，E是线段OC上一动点，F是射线AD上一动点，若∠BEF＝120°，则在点E运动的过程中，EF长度为整数的个数有（ ）
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个
【变式8-2】如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O．AB＝10，AC＝12，BD＝16． （1）求证：▱ABCD是菱形；
（2）若点P是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PE+PF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【变式8-3】如图1，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC上的动点．
（1）当AD＝AE时，OE＝1，OD＝5，求菱形ABCD的面积；
（2）如图2，当OE＝OD时，过点A作CD的垂线，垂足为F，交ED延长线于点G，
GE=√2AO．
求证：
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