初二几何难题训练题
1，如图矩形ABCD对角线AC、BD交于O，E F分别是OA、OB的中点（1）求证△ADE≌△BCF：（2）若AD=4cm，AB=8cm，求CF的长。
证明：（1）在矩形ABCD中，AC,BD为对角线，
∴AO=OD=OB=OC
∴∠DAO=∠ADO=∠CBO=∠BCO
∵E,F为OA,OB中点
∴AE=BF=1/2AO=1/2OB
∵AD=BC, ∠DAO=∠CBO,AE=BF
∴△ADE≌△BCF
（2）过F作MN⊥DC于M,交AB于N
∵AD=4cm，AB=8cm
∴BD=4根号5
∵BF:BD=NF:MN=1：4
∴NF=1，MF=3
∵EF为△AOB中位线
∴EF=1/2AB=4cm
∵四边形DCFE为等腰梯形
∴MC=2cm
∴FC=根号13cm。
2，如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF∥AB，交AD于点E，CF=4cm．
（1）求证：四边形ABFE是等腰梯形；
（2）求AE的长．
（1）证明：过点D作DM⊥AB，
∵DC∥AB，∠CBA=90°，
∴四边形BCDM为矩形．
∴DC=MB．
∵AB=2DC，
∴AM=MB=DC．
∵DM⊥AB，
∴AD=BD．
∴∠DAB=∠DBA．
∵EF∥AB，AE与BF交于点D，即AE与FB不平行，
∴四边形ABFE是等腰梯形．
（2）解：∵DC∥AB，
∴△DCF∽△BAF．
∴CD AB =CF AF =1 2 ．
∵CF=4cm，
∴AF=8cm．
∵AC⊥BD，∠ABC=90°，
在△ABF与△BCF中，
∵∠ABC=∠BFC=90°，
∴∠FAB+∠ABF=90°，
∵∠FBC+∠ABF=90°，
∴∠FAB=∠FBC，
∴△ABF∽△BCF，即BF CF =AF BF ∴BF2=CF•AF．
，
∴BF=4 2 cm．
∴AE=BF=4 2 cm．
3，如图，用三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE与BG、CF分别交于P、Q，
（1）若AB=6，求线段BP的长；
（2）观察图形，是否有三角形与△ACQ全等？并证明你的结论
解：（1）∵菱形ABGH、BCFG、CDEF是全等菱形
∴BC=CD=DE=AB=6，BG∥DE
∴AD=3AB=3×6=18，∠ABG=∠D，∠APB=∠AED
∴△ABP∽△ADE
∴BP DE =AB AD∴BP=AB AD •DE=6 18 ×6=2；
（2）
∵菱形ABGH、BCFG、CDEF是全等的菱形
∴AB=BC=EF=FG
∴AB+BC=EF+FG
∴AC=EG
∵AD∥HE
∴∠1=∠2
∵BG∥CF
∴∠3=∠4
∴△EGP≌△ACQ．
4，已知点E,F在三角形ABC的边AB所在的直线上,且AE=BF，FH//EG//AC，FH、EC分别交边BC所在的直线于点H，G
1 如果点E。F在边AB上，那么EG+FH=AC，请证明这个结论
2 如果点E在AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG，FH，AC的长度关系是什么？
3 如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG，FH，AC的长度关系是什么？
4 请你就1，2，3的结论，选择一种情况给予证明
解：（1）∵FH∥EG∥AC，
∴∠BFH=∠BEG=∠A，△BFH∽△BEG∽△BAC．
∴BF/FH=BE/EG=BA/AC
∴BF+BE/FH+EG=BA/AC
又∵BF=EA，
∴EA+BE/FH+EG=AB/AC
∴AB/FH+EG=AB/AC．
∴AC=FH+EG．
（2）线段EG、FH、AC的长度的关系为：EG+FH=AC．
证明（2）：过点E作EP∥BC交AC于P，
∵EG∥AC，
∴四边形EPCG为平行四边形．
∴EG=PC．
∵HF∥EG∥AC，
∴∠F=∠A，∠FBH=∠ABC=∠AEP．
又∵AE=BF，
∴△BHF≌△EPA．
∴HF=AP．
∴AC=PC+AP=EG+HF．
即EG+FH=AC．
5，如图是一个常见铁夹的侧面示意图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA于点D，已知DA=15mm，DO=24mm，DC=10mm，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A、B两点间的距离．
解：连接AB，同时连接OC并延长交AB于E，
因为夹子是轴对称图形，故OE是对称轴，
∴OE⊥AB，AE=BE，
∴Rt△OCD∽Rt△OAE，
∴OC:OA = CD:AE
∵OC²=OD²+CD² ∴OC =26，∴AE= =15，∵AB=2AE ∴ AB =30（mm）．（8分）
答：AB两点间的距离为30mm．
6，如图,在平行四边形ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C，（1）求证：△ABF∽△EAD ；（2）若AB=5，AD=3，∠BAE=30°，求BF的长
解：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC
∴∠BAE=∠AED,∠D+∠C=180°
且∠BFE+∠AFB=180°
又∵∠BFE=∠C
∴∠D=∠AFB
∵∠BAE=∠AED，∠D=∠AFB
∴△ABF∽△EAD
（2）∵∠BAE=30°，且AB∥CD，BE⊥CD
∴△ABEA为Rt△，且∠BAE=30°
又 ∵AB=4
∴AE=3分之8倍根号3
7，如图,AB与CD相交于E,AE=EB,CE=ED,D为线段FB的中点,GF与AB相交于点G，若CF=15cm，求GF之长。
解∵CE=DE BE=AE ，
∴△ACE≌△BDE
∴∠ACE=∠BDE
∵∠BDE+∠FDE=180°
∴∠FDE+∠ACE=180°
∴AC∥FB
∴△AGC∽△BGF
∵D是FB中点 DB=AC
∴AC：FB=1：2
∴CG：GF=1：2 ；
设GF为x 则CG为15-X
GF=CF/3C×2=10cm
8，如图1，已知四边形ABCD是菱形，G是线段CD上的任意一点时，连接BG交AC于F，过F作FH∥CD交BC于H，可以证明结论FH/AB =FG /BG 成立．（考生不必证明）
（1）探究：如图2，上述条件中，若G在CD的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（2）计算：若菱形ABCD中AB=6，∠ADC=60°，G在直线CD上，且CG=16，连接BG交AC所在的直线于F，过F作FH∥CD交BC所在的直线于H，求BG与FG的长．
（3）发现：通过上述过程，你发现G在直线CD上时，结论FH /AB =FG /BG 还成立吗？
解：（1）结论FH AB =FG BG 成立
证明：由已知易得FH∥AB，
∴FH/ AB =HC/ BC ，
∵FH∥GC，HC BC =FG BG∴FH/ AB =FG/ BG （2）∵G在直线CD上，
∴分两种情况讨论如下：
①G在CD的延长线上时，DG=10，
如图1，过B作BQ⊥CD于Q，
由于四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，
∴BC=AB=6，∠BCQ=60°，
．
．
又由FH∥GC，可得FH/ GC =BH /BC ，
而△CFH是等边三角形，
∴BH=BC-HC=BC-FH=6-FH，
∴FH 16 =6-FH 6 ，
∴FH=48 11 ，
由（1）知FH/ AB =FG/ BG ，
②G在DC的延长线上时，CG=16，
如图2，过B作BQ⊥CG于Q，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，∴BC=AB=6，∠BCQ=60°．
．
又由FH∥CG，可得FH/ GC =BH/ BC
，
∴FH 16 =BH 6 ．
∵BH=HC-BC=FH-BC=FH-6，
9，如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=12cm，BC=8cm，DC=13cm，动点P沿A→D→C线路以2cm/秒的速度向C运动，动点Q沿B→C线路以1cm/秒的速度向C运动．P、Q两点分别从A、B同时出发，当其中一点到达C点时，另一点也随之停止．设运动时间为t秒，△PQB的面积为ycm2．
（1）求AD的长及t的取值范围；
（2）当1.5≤t≤t0（t0为（1）中t的最大值）时，求y关于t的函数关系式；
（3）请具体描述：在动点P、Q的运动过程中，△PQB的面积随着t的变化而变化的规律．
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