实验一：波形的分解与合成

宁波理工学院

机械工程测试技术基础

实践环节报告书

实验名称 实验一：信号的分解与合成 专业班级 机制124 姓 名 倪盼盼 学 号 **********

现代制造工程研究所2015.3

实验一 信号的分解与合成

一、实践目的

1、谐波分析是将周期函数展开为付氏级数，通过本实践环节熟悉常见信号的合成、分解原理，了解信号频谱的含义，加深对傅里叶级数理解；

2、认识非正弦周期信号幅频谱的实质，增强感性认识与了解； 3、认识吉布斯现象，了解吉布斯现象的意义。

二、实践原理

根据傅里叶分析的原理，任意周期信号都可以用一组三角函数{sin(n0t);cos(n0t)}的组合表示，即：

x(t)aacos(t)bsin(t)acos(2t)bsin(2t)......

010102020即可以用一组正弦波和余弦波来合成周期信号。

三、实践内容

1、方波的分解

下图所示方波为一奇对称周期信号，由傅里叶级数可知，它是由无穷个奇次谐波分量合成的，可以分解为:

1x(t)sin(2nft),n1,3,5,7,9,nn104A

图1、方波信号

若方波频率为f100Hz,幅值为1.5，请画出t0s到t0.1s这段时间内信号的波

0形。

a.画出基波分量y(t)6sin(0t)，其中02f0。

b.将1次谐波加到基波之上，画出结果，并显示。

y(t)66[sin(0t)sin(30t)/3]

c.再将1次、3次、5次、7次和9次谐波加在一起。

y(t)[sin(0t)sin(30t)/3sin(50t)/5sin(70t)/7sin(90t)/9]

d.合并从基频到9次谐波的各奇次谐波分量。

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e.将上述波形分别画在一幅图中，可以看出它们逼近方波的过程。

方波基频波形

方波三次谐波波形

方波五次谐波波形

图2 方波的1、3、5次谐波

2、方波的合成与吉布斯现象及其意义

图3为方波的合成示意图。周期信号傅里叶级数在信号的连续点收敛于该信号，在不连续点收敛于信号左右极限的平均值。如果我们用有限项傅里叶级数来近似周期信号，在不连续点附近将会出现起伏和超量。信号的低频分量主要影响脉冲的顶部，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿。

实际上，将具有不连续点的周期函数（如矩形脉冲）进行傅立叶级数展开后，当选取有限项进行合成时，是以有限项傅式级数去近似代替无限项傅氏级数，这样在不连续点附近会引起较大误差。这种现象称为吉布斯(Gibbs)效应。其特点是：

①当选取的项数越多，在所合成的波形中出现的峰起越靠近原信号的不连续点，合成波形越接近原波形；

②在所合成的波形中，波形顶部逐渐平坦，而跳变峰逐渐向间断点靠近；

③当选取的项数很大时，跳变峰所包面积趋于零，跳变峰高度趋于一个常数，大约等于间断点处幅值的9%。

吉布斯现象给人们一个启示：当从时域观察一个信号时，从波形变化的缓急程度就可以看出所包含的频率成分，即变化平缓的信号其频带窄，变化越快则频带越宽。在信号分析技术中，Gibbs现象是研究滤波器及窗函数的数学基础。

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A、基频分量 B、基频加3次谐波

C、前5次谐波相加 D、近似合成的方波（半周期）

图3 方波合成与吉布斯现象

四、实验报告要求

1、下述周期信号波形的幅值为10、频率1 Hz，计算各次谐波系数，写出三角函数形式的傅里叶级数展开式；【学号尾数1、6做b；2、7做c；3、8做d；4、9做e；5、0做f】 2、画出各次谐波曲线，然后合成原周期信号（使用软件不限），对比谐波项数不同时，合成波形的差异，画出合成波形的曲线图； 3、结合实验结果，分析吉布斯现象及其意义。

x (t) x (t)

a） （（b）

t t

x (t) x (t)

t （d） （ c） t

x (t) x (t)

t t （e） （f）

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实验报告页

一、实践目的

1、谐波分析的数学工具是将周期函数展开为付氏级数，通过本实践环节熟悉常见信号的合成、分解原理，了解信号频谱的含义，加深对傅里叶级数理解； 2、对非正弦周期信号的幅值频谱的物理实质建立感性认识与了解； 3、认识吉布斯现象，了解吉布斯现象的意义。 二、实验报告

1、从前页选择学号对应波形，复制粘贴在下方。

首先求出该信号傅里叶级数展开式中常值分量a0、余弦分量幅值an、正弦分量幅值bn，写出展开式；然后绘制该信号的幅频特性图、相频特性图。 x (t)

t

(1）所对应的原始信号波形

A4A1140∞1x(t)=+2(cosω0t+2cos3ω0t+2cos5ω0t+....)=5+2∑2cosn2πt(n=1,3,5....)

2π35πn=1n

2）该信号的傅里叶级数展开式（三角函数形式）

3）该信号的幅频特性图和相频特性图

5

2、首先根据幅相频特性，画出前6次谐波曲线；然后合成原周期信号（使用软件不限），要求按参与合成谐波数量的不同，给出两种合成波形图（建议取前5次和前10次谐波成分）。

6

1）前6次谐波曲线

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2）前5次谐波合成

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3）前10次谐波合成

3、对比参与合成的谐波项数不同时，所合成的波形有何差异？根据波形对比结果，阐述吉布斯现象及其在信号分析中的意义。

对比差异：参与合成的谐波的项数为五项和十项时，相对五项合成，十项合成更具有弯曲的线条和更多的拐点，以及在拐角处更加尖锐，更接近原始波形。

将具有不连续点的周期函数（如矩形脉冲）进行傅立叶级数展开后，当选取有限项进行合成时，是以有限项傅式级数去近似代替无限项傅氏级数，这样在不连续点附近会引起较大误差。这种现象称为吉布斯(Gibbs)效应。其特点是：

①当选取的项数越多，在所合成的波形中出现的峰起越靠近原信号的不连续点，合成波形越接近原波形；

②在所合成的波形中，波形顶部逐渐平坦，而跳变峰逐渐向间断点靠近；

③当选取的项数很大时，跳变峰所包面积趋于零，跳变峰高度趋于一个常数，大约等于间断点处幅值的9%。

吉布斯现象给人们一个启示：当从时域观察一个信号时，从波形变化的缓急程度就可以看出所包含的频率成分，即变化平缓的信号其频带窄，变化越快则频带越宽。在信号分析技术中，Gibbs现象是研究滤波器及窗函数的数学基础。

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